1.5 MITT GRUNNSYN - PRESENTASJON AV SENTRALE TEORETISKE
1.5.2 Perspektiver på musikkterapi
Nesta seção, apresentaremos métodos para determinar limitação uniforme e limitação eventual uni- forme de soluções de EDFRs.
Consideremos a EDFR
x′(t) = f (x
t,t). (5.10)
com condição inicial
xt0 = φ (5.11)
onde f : C([−r,0],Rn) × R → Rné uma função contínua e φ ∈ C([−r,0],Rn).
Seja t0∈ R. Consideraremos a solução do problema de valor inicial (5.10)-(5.11) passando por (t0, φ )
e denotada por x(t0, φ , f ).
Definição 5.20. A solução x = x(t0, φ , f ) do sistema (5.10)-(5.11) será dita
(i) Uniformemente limitada, se para todo α > 0, existir M = M(α) > 0 tal que se kφ k < α,
então
|x(s)| < M, s ≥ t0.
(ii) Quase uniformemente eventualmente limitada, se existir uma constante B > 0 tal que para todo α > 0, existe T = T (α) > 0 tal que se
kφ k < α, então
|x(s)| < B, s ≥ t0+ T (α).
(iii) Uniformemente eventualmente limitada, se for uniformemente limitada e quase uniformemente eventualmente limitada.
Funcionais de Lyapunov também são usados para dar condições suficientes para a limitação uniforme da solução do problema de valor inicial (5.10)-(5.11). Veja o próximo resultado.
Teorema 5.21 ([15], Teorema 5.2.1). Suponha que f : C([−r,0],Rn) × R → Rnleve subconjuntos limita- dos de C([−r,0],Rn) × R em subconjuntos limitados de Rn. Sejam u,v,w : R
+→ R+funções contínuas e
não decrescentes tais que u(s) > 0 e v(s) > 0 para s > 0, u(0) = v(0) = 0 e u(s) → +∞ quando s → +∞. Se existir um funcional de Lyapunov U: R ×C([−r,0],Rn) → R com respeito a EDFR (5.10) tal que
u(|φ(0)|) ≤ U(t,φ) ≤ v(kφk) e
D+U(t,φ) ≤ −w(|φ(0)|)
então a solução x(t0, φ , f ) do problema de valor inicial (5.10)-(5.11) será uniformemente limitada.
Note que D+U(t,φ) é como em (5.4).
Observação 5.22. No Exemplo5.15, a função u(s) =s22 é tal que u(s) → +∞ quando s → +∞. Portanto,
5.21, que a solução da equação(5.5) que passa por (t0, φ ) é uniformemente limitada.
A seguir, veremos que um teorema do tipo Razumikhin nos dá condições suficientes para que a solução do problema de valor inicial (5.10)-(5.11) seja uniformemente eventualmente limitada. Conside- raremos D+U(t,φ(0)) dada por (5.6).
Teorema 5.23 ([15], Teorema 5.4.3). Suponha que f : C([−r,0],Rn) × R → Rn leve subconjuntos li- mitados de C([−r,0],Rn) × R em subconjuntos limitados de Rn e considere a EDFR (5.10). Sejam
u,v,w : R+→ R+ funções contínuas e não decrescentes, com u(s) → +∞ quando s → +∞. Se existir
uma função de Lyapunov U : R × Rn→ R tal que
u(|x|) ≤ U(t,x) ≤ v(|x|), t ∈ R, x ∈ Rn, e
D+U(t,φ(0)) ≤ −w(|φ(0)|), (5.12)
sempre que
|φ (0)| ≥ H e U(t + θ ,φ(θ )) ≤ p(U(t,φ(0)))
para φ ∈ C([−r,0],Rn), θ ∈ [−r, 0], onde H é uma constante positiva, então a solução x(t
0, φ )(s) do
problema de valor inicial(5.10)-(5.11) será uniformemente eventualmente limitada. Segue, abaixo, uma aplicação do Teorema5.23.
Exemplo 5.24. Consideremos o sistema de segunda ordem
˙x(t) = y(t)
˙y(t) = −Φ(t,y(t)) − f (x(t)) + p(t) +R−r0 g(x(t + θ ))y(t + θ )dθ . (5.13)
Se g(x) = d f (x)dx , então o sistema(5.13) incluirá a equação escalar de segunda ordem ¨x(t) + Φ(t, ˙x(t)) + f (x(t − r)) = p(t).
Faremos as seguintes hipóteses sobre o sistema(5.13):
existem constantes a > 0 e H > 0, tais que Φ(t, y)
y > a > 0 para |y| ≥ H;
(ii) f : R → R é contínua e f (x) sgn x → +∞ quando |x| → +∞, onde sgn x =
+1, se x > 0 −1, se x < 0 .
(iii) g: R → R é contínua e |g(x)| ≤ L para todo x ∈ R;
(iv) Lr < a.
Nestas condições, é possível mostrar que as soluções do sistema(5.13) são uniformemente eventual- mente limitadas. Para a verificação deste fato, veja [15], página 160.
[1] S. M. Afonso; E. Bonotto; M. Federson; L. P. Gimenes, Boundedness of solutions of functional differential equations with variable impulses via generalized ordinary differential equations, sub- metido.
[2] S. M. Afonso; E. Bonotto; M. Federson; L. P. Gimenes, Stability of functional differential equations with variable impulsive perturbations via generalized ordinary differential equations, submetido.
[3] S. M. Afonso; E. Bonotto; M. Federson, On exponential stability of functional differential equations with variable impulsive perturbations, preprint.
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correspondência entre EDFRs impulsivas e EDOs generalizadas,53
Equação
diferencial funcional com retardo e impulsos em tempo variável,50
diferencial funcional retardada,102
diferencial ordinária generalizada,19
função de Lyapunov,108 funcional de Lyapunov,35,72,105 integral de Kurzweil,16 Lema de Saks-Henstock,17 solução de uma EDFR,102
de uma EDFR impulsiva ,51
de uma EDO generalizada,19
estável,74,104
exponencialmente estável,89
quase uniformemente eventualmente limitada,
44,92
uniformemente assintoticamente estável,74,104
uniformemente estável,74,104
uniformemente eventualmente limitada,45,92
uniformemente limitada,44,92
variacionalmente assintoticamente estável,34
variacionalmente atratora,34
variacionalmente estável,34
variacionalmente exponencialmente estável,42
Teorema
de existência local de solução de uma EDFR,
102
de existência local e unicidade de solução de uma EDFR impulsiva,69
de existência local e unicidade de solução de uma EDO generalizada,27
de unicidade de solução de uma EDFR,103