1. Introduction
1.3 Pathogenesis
No modelo hipercubo, o número de estados (m) e, por consequência, de equações de equilíbrio, é obtido fazendo-se m = 2N, onde N representa o número de
servidores. Nesse sistema são utilizados apenas dois servidores. Assim, tem-se 4 estados associados ao hipercubo, os quais são {00}, {01}, {10} e {11}. Esses estados representam as possíveis combinações dos dois possíveis estados associados a cada servidor: ocupado (1) ou ocioso (0). Além disso, nesse estudo, toda a descrição dos estados considera a ordem dos servidores da esquerda para a direita.
A esses estados associou-se uma notação relacionada ao número de chamadas no sistema. Esse número de chamadas inclui as chamadas sendo atendidas e a fila de espera. Essa notação é representada por {𝑆𝑟}, onde r representa o número de chamadas no sistema. No estado {00}, nenhum dos servidores está ocupado, logo tem-se {𝑆0}. Nos estados {01} e {10}, apenas um servidor está ocupado, logo esses estados pertencem ao nível {𝑆1}. Já no
estado {11}, os dois servidores estão ocupados, logo {𝑆2}.
O sistema em estudo utiliza fila de espera ilimitada como um mecanismo de representação dos chamados que esperam por atendimento. Isso significa que todos os chamados que chegam a esse sistema serão atendidos, ou seja, não existe perda de chamados ou transferência de chamados para outros sistemas.
No caso do modelo hipercubo de filas, a cauda surge nos sistemas que utilizam
backup total a partir do estado {11}, ou seja, os chamados são direcionados à fila de espera quando todos os servidores estão ocupados. Em consequência disso, além dos estados do hipercubo, existem infinitos estados na fila de espera denotados por: {𝑆3}, {𝑆4}, {𝑆5}, {𝑆6},...
Assim, o primeiro estado da cauda {𝑆3} conta com um chamado em fila e dois chamados sendo atendidos, o segundo {𝑆4} conta com dois chamados em fila e dois sendo atendidos, e assim por diante.
A Figura 10 apresenta uma representação dos estados do hipercubo e da fila de espera para o sistema estudado. Nesse caso, pode-se visualizar um losango (ao invés de um cubo ou hipercubo) na figura, pois o número de servidores é igual a dois. A extensão para mais de dois servidores é simples e direta e poderia ser utilizada para análise de cenários alternativos com três ou mais servidores. A taxa de chegada total (𝜆), a taxa de atendimento
(𝜇) e a taxa de utilização (𝜌) para esse sistema podem ser obtidas, respectivamente, pelas equações (50), (51) e (53).
Figura 10 – Representação dos Estados do Hipercubo e da Cauda
𝜆 = 𝜆1+ 𝜆2+ 𝜆3+ 𝜆4+ 𝜆5+ 𝜆6+ 𝜆7+ 𝜆8+ 𝜆9+ 𝜆10 (50)
𝜇 = 𝜇1+ 𝜇2 (51)
𝜌 = 𝜇𝜆 (52)
Quando o sistema está em equilíbrio, o fluxo para “fora” do estado (lado esquerdo) é igual ao fluxo para “dentro” do estado (lado direito) (LARSON, 1974). Baseando- se nisso, podem ser obtidas as equações de equilíbrio para cada um dos estados associados ao hipercubo, mostradas em (53), (54), (55) e (56). Para desenvolver essas equações, considerou- se que esse é um sistema com servidores centralizados e despacho aleatório e incorporou-se as frequências de despacho diretamente nas equações de equilíbrio, baseando-se em Chiyoshi et al. (2011).
Para o estado {00}, o sistema sai desse estado com a chegada de um chamado em qualquer um dos átomos, com taxa 𝜆, uma vez que o sistema funciona com backup total. Já para entrar nesse estado, o sistema tem que estar no estado {10} e o servidor 1 terminar o atendimento que ele está realizando ou estar no estado {01} e o servidor 2 terminar o atendimento que ele está realizando, com taxas 𝜇1 e 𝜇2, respectivamente. A equação de equilíbrio para o estado {00} é mostrada em (53).
𝑃00(𝜆) = 𝑃10𝜇1+ 𝑃01𝜇2 (53)
O sistema sai do estado {01} com a chegada de um chamado em qualquer um dos átomos (backup total), com taxa 𝜆, ou com o término do atendimento do servidor 2, com taxa 𝜇2. Para entrar nesse estado, o sistema deve estar no estado {11} e o servidor 1 terminar o atendimento que ele está realizando, com taxa 𝜇1, ou estar no estado {00}. Como nesse
estado os dois servidores estão disponíveis, a probabilidade de o servidor enviado ser o servidor 2 é de 50 %, levando a uma taxa de transição de 𝜆2, conforme a Equação (54).
𝑃01(𝜆 + 𝜇2) = 𝑃11𝜇1+ 𝑃00(𝜆2) (54)
Para o estado {10}, como mostra a Equação (55), o sistema sai desse estado com a chegada de um chamado em qualquer um dos átomos devido ao backup total ou com o término do atendimento do servidor 1, com taxas 𝜆 e 𝜇1, respectivamente. Para entrar nesse estado, o sistema deve estar no estado {11} e o servidor 2 terminar o atendimento que ele está realizando (com taxa 𝜇2) ou estar no estado {00} no qual os dois servidores estão disponíveis. Devido a isso, apresenta probabilidade igual a 0,5 (50 %) do servidor 1 ser enviado, levando também a uma taxa de 𝜆
2.
𝑃10(𝜆 + 𝜇1) = 𝑃11𝜇2+ 𝑃00(𝜆2) (55)
Para o estado {11}, o sistema sai desse estado com a chegada de um chamado em qualquer um dos átomos, o qual é direcionado à fila de espera ou com o término do atendimento dos servidores 1 ou 2, com taxa 𝜆 e 𝜇, respectivamente, como é mostrado em (56). Para entrar nesse estado o sistema tem que estar nos estados {10} ou {01} e, como em cada um desses estados existe apenas um único servidor disponível (servidor 2 e servidor 1, respectivamente) para realizar o atendimento, a probabilidade do servidor disponível ser enviado é de 1 (100%), ou seja, para ambos os estados a taxa de transição ao estado {11} é 𝜆. Além disso, ao se considerar a existência da fila de espera, o sistema pode estar no estado {𝑆3}
e um dos dois servidores terminar o atendimento, com taxa 𝜇.
𝑃11(𝜆 + 𝜇) = 𝑃10𝜆 + 𝑃01𝜆 + 𝑃𝑆3𝜇 (56)
Em função dessa condição de equilíbrio, a Equação (56) pode ser simplificada e representada pela Equação (57), conforme descrito na Seção 3.2. Assim, tem-se um sistema finito de equações formado pelas equações (53), (54), (55) e (57) para os estados do hipercubo independente dos estados da cauda.
Entretanto, como esse sistema é indeterminado, deve-se substituir uma das equações pela equação de normalização (58), como descrito na Seção 3.2.
𝑃00+ 𝑃01+ 𝑃10+ 1 − 𝜌 = 1𝑃11 (58)
Vários métodos podem ser utilizados para resolver esse sistema de equações lineares (ver Seção 3.2.1). Nesse estudo, optou-se por utilizar o método de Gauss-Seidel.
4.1.3 Medidas de Desempenho
Muitas medidas de desempenho podem ser calculadas para o sistema em estudo. As equações para as medidas de desempenho de interesse para o sistema emergencial em estudo são apresentadas na Seção 3.2.2. A única medida de desempenho que difere destas é a frequência ou fração de despacho dos chamados que não incorrem em fila. Essa diferença acontece em função do sistema original descrito na Seção 3.2 não considerar o caráter aleatório do despacho no sistema estudado.
4.1.3.1 Frequência de despacho que não incorre em fila de espera
A fração de despachos que não incorre em fila de espera (𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞) deve considerar a natureza aleatória da política de despacho. A Equação (59) foi construída baseando-se nas frequências de despacho para sistemas centralizados e com despacho aleatório mostradas em Chiyoshi et al. (2011). 𝑓𝑖𝑗𝑛𝑞=𝜆𝜆 ∑𝑗 ∑ 1 𝑇 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑃𝐵 𝐵∈𝐸3𝑖 (59)
O termo 𝐸3𝑖 representa o subconjunto de estados do conjunto 𝐵 nos quais o servidor i está disponível. Nesse sistema, os estados em que o servidor 1 está disponível são {00} e {01} e os estados em que o servidor 2 está disponível são {00} e {10}. Logo, 𝐸31 =
{{00}, {01}} e 𝐸32 = {{00}, {10}}.
Para cada um dos estados membros de cada um dos subconjuntos 𝐸3𝑖, calcula- se a soma de todos os servidores desocupados no estado (∑𝑛𝑖=1𝑇𝑖). 𝑇𝑖 é uma variável binária que assume valor 1, quanto o servidor i está desocupado, e valor 0, quando o servidor i está ocupado. No sistema estudado, para o subconjunto associado ao servidor 1 (𝐸31), no estado {00}, tem-se 2 servidores desocupados, e no estado {01} apenas um servidor desocupado. Assim, tem-se que a fração de despacho que não incorre em fila (𝑓12𝑛𝑞) é dada por (60).
𝑓12𝑛𝑞=𝜆𝜆 (2 12 𝑃00+ 𝑃01) (60)