5 | Applications of Frequency Anal- Anal-ysis of Light Transport
5.3 Participating media
Neste trabalho a migra¸c˜ao Kirchhoff p´os-empilhamento no tempo foi feita usando o mo- delo de velocidade m´edia quadr´atica vRM S(t) mostrado na Figura 5.8 obtido durante a an´alise
de velocidade no mapa semblance, onde foram marcados os eventos de reflex˜ao de maior coerˆencia. Analisando esta se¸c˜ao (ver Figura 5.13) se percebe que as estruturas de sub- superf´ıcie pouco se deslocaram em compara¸c˜ao `a se¸c˜ao empilhada mostrada na Figura 5.11. Uma das vantagens da an´alise desta se¸c˜ao migrada ´e que se pode identificar estruturas pouco percebidas na se¸c˜ao empilhada e na se¸c˜ao afastamento-m´ınimo, e com isto se pode observar melhor continuidade nas interfaces refletoras.
O modelo de velocidade em profundidade ´e obtido a partir da convers˜ao do modelo de velocidade RMS para intervalar usando o programa velconv. O modelo de velocidade em profundidade obtido neste trabalho est´a mostrado na Figura 5.12
Figura 5.12: Mapa de distribui¸c˜ao de velocidades em profundidade da linha L5519 do Camamu obtido a partir da Figura 5.8 pela convers˜ao das velocidades vRMS(t) para vINT(z).
A se¸c˜ao empilhada em profundidade ´e obtida a partir da reamostragem da se¸c˜ao em- pilhada em tempo para profundidade usando a fun¸c˜ao suttoz no SU. Esta fun¸c˜ao requer o uso do modelo modelo de velocidade reamostrado em profundidade exibido na Figura 5.12. A se¸c˜ao empilhada em profundidade ´e apresentada na Figura 5.14. A se¸c˜ao migrada em profundidade obtida neste trabalho est´a mostrada na Figura 5.15.
57
5.11, utilizando o modelo de velocidade RMS da Figura 5.8, onde se observa o colapso parcial das difra¸c˜oes e a recupera¸c˜ao de v´arios eventos refletores em grandes profundidades. Contudo, se observam arcos sobre os pontos difratores nas regi˜oes mais profundas da se¸c˜ao.
58
Figura 5.14: Se¸c˜ao empilhada NMO (Figura 5.11) da linha L5519 do Camamu remapeada para profundidade utilizando o modelo de velocidade da Figura 5.12, atrav´es de uma interpola¸c˜ao linear e de uma extrapola¸c˜ao constante nos pontos marcados no mapa semblance para determinar as velocidades vINT(z) em intervalos temporais n˜ao especificados. Observar que a se¸c˜ao foi remapeada somente at´e a
59
o modelo de velocidade da Figura 5.12, onde se observa a recupera¸c˜ao da subhorizontaliza¸c˜ao das estruturas, desenhada pela melhor continuidade dos eventos refletores, o colapso das difra¸c˜oes, a corre¸c˜ao das falhas geol´ogicas, a recupera¸c˜ao de v´arios eventos refletores em grandes profundidades e a ausˆencia de arcos sobre os pontos difratores (‘sorrisos’), existentes na migra¸c˜ao da Figura 5.13. Devido a falta de informa¸c˜ao na se¸c˜ao geol´ogica a profundidade considerada foi de 3.380 m. O parˆametro de abertura lateral da migra¸c˜ao usado foi de 300 m.
6
CONCLUS ˜OES
O operador WH para deconvolu¸c˜ao de m´ultiplas no dom´ınio do tempo ´e teoricamente desenhado para ser aplicado em se¸c˜oes s´ısmicas onde se pode conhecer a priori a posi¸c˜ao temporal da prim´aria e sua m´ultipla(s). H´a, portanto, necessidade de informa¸c˜ao de peri- odicidade do evento. Neste sentido, foi desenhado um operador que serviu para predizer a prim´aria do contato ´agua/subsolo (fundo do mar) e suas m´ultiplas correspondentes. A partir desta informa¸c˜ao obteve-se os parˆametros do filtro de deconvolu¸c˜ao cujos resultados podem ser vistos com ˆexito nas Figuras 5.9 e 5.10.
Para que a aplica¸c˜ao do filtro WH seja satisfat´oria se torna necess´ario melhorar a rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo, e isto ´e feito realizando opera¸c˜oes de filtragens no dado. As filtragens banda- passante trapezoidal f (Figura 5.3) e f -k (Figura 5.4) foram aplicadas acentuando os eventos de reflex˜ao no dado.
Ap´os as filtragens f e f -k foi aplicada uma forma de corre¸c˜ao de divergˆencia esf´erica com parˆametro de velocidade constante para analisar o ganho de amplitude, uma vez que etapas posteriores do processamento necessitam desta corre¸c˜ao. O resultado mostrou o tra¸co equilibrado, como pode ser visto na Figura 5.5. Os parˆametros utilizados nesta corre¸c˜ao foram vRMS = 1.500 m/s e tRMS= 4, 5s.
A an´alise de velocidade NMO foi realizada no mapa semblance para marcar os eventos de reflex˜ao em 92 CDPs de um total de 4628 CDPs. O modelo de velocidade obtido ´e apresentado na Figura 5.8 onde se observa a estrutura do talude continental.
A atenua¸c˜ao das m´ultiplas presentes no dado foi realizada ap´os a corre¸c˜ao NMO, uma vez que os eventos de reflex˜ao est˜ao horizontalizados. Os parˆametros usados neste processo foram obtidos do experimento de marca¸c˜ao de m´ultiplas descrito no cap´ıtulo 4.
O resultado da deconvolu¸c˜ao preditiva pode ser observado nas Figuras 5.9 e 5.10, onde ocorre a atenua¸c˜ao das m´ultiplas nas se¸c˜oes CMP 400, 450, 500 e 550, respectivamente, contudo se observa que o filtro tem boa funcionalidade para pequenos afastamentos, n˜ao apresentando bons resultados `a medida que se aumenta o afastamento.
Ap´os a deconvolu¸c˜ao preditiva foi feito o empilhamento no dom´ınio do tempo. No re- sultado da Figura 5.11 se observa um significativo aumento da rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo, onde
se destaca os eventos rasos e a atenua¸c˜ao da m´ultipla de superf´ıcie livre na janela de 4s. Compare com a Figura 5.2.
A migra¸c˜ao Kirchhoff p´os-empilhamento no tempo mostrada na Figura 5.13 foi realizada sobre a se¸c˜ao empilhada NMO da Figura 5.11, utilizando o modelo de velocidade da Figura 5.8. Se observa o colapso parcial de algumas difra¸c˜oes e a recupera¸c˜ao de eventos refletores em profundidade. Contudo, se observam arcos indesej´aveis sobre os pontos difratores nas regi˜oes mais profundas da se¸c˜ao.
Foi realizada a convers˜ao do modelo de velocidade RMS em tempo da Figura 5.8 para a profundidade (velocidade intervalar) da Figura 5.12 e tamb´em a mudan¸ca de escala da se¸c˜ao empilhada NMO em tempo da Figura 5.11 para profundidade. Para isto foi utilizado o modelo de velocidade intervalar da Figura 5.12, atrav´es de uma interpola¸c˜ao linear e de uma extrapola¸c˜ao constante nos pontos marcados no mapa semblance para determinar as veloci- dades vINT(z) em intervalos temporais n˜ao especificados. Neste caso, a se¸c˜ao foi remapeada
at´e a profundidade de 4612 m.
A migra¸c˜ao Kirchhoff p´os-empilhamento na profundidade (Figura 5.15) foi realizada sobre a se¸c˜ao empilhada NMO da Figura 5.11 utilizando o modelo de velocidade intervalar em pro- fundidade da Figura 5.12. Nesta migra¸c˜ao se observa a recupera¸c˜ao da sub-horizontaliza¸c˜ao das estruturas, indicada pela melhor continuidade dos eventos refletores, o colapso das di- fra¸c˜oes, a corre¸c˜ao das falhas geol´ogicas, a recupera¸c˜ao de v´arios eventos refletores em pro- fundidades e a ausˆencia de arcos-artefatos sobre os pontos difratores, existentes na migra¸c˜ao Kirchhoff em tempo da Figura 5.13. Sem outra informa¸c˜ao complementar para a se¸c˜ao geol´ogica, a profundidade considerada foi de 3300 m. Foram utilizadas v´arias aberturas: 200, 300, 400, 500 m, onde se observou que com o aumento da abertura, a quantidade de artefatos aumenta rapidamente e a abertura que mostrou melhor resultado foi de 300 m.
Como sugest˜oes para trabalhos futuros, se prop˜oe a aplica¸c˜ao de outras t´ecnicas de de- convolu¸c˜ao de m´ultiplas e de migra¸c˜ao pr´e e p´os-empilhamento no tempo e na profundidade baseadas na equa¸c˜ao da onda ac´ustica, como as metodologias PSPI (phase-shift plus inter- polation), SS (split-step), RTM (reverse time migration) e FFD (Fourier finite difference), para efeito de compara¸c˜ao com a migra¸c˜ao Kirchhoff e aplica¸c˜ao das t´ecnicas CRS e nipto- mogr´afica, voltado `a obten¸c˜ao de melhores imagens ´uteis para a interpreta¸c˜ao geol´ogica.
62
REFERˆENCIAS
AKI, K.; RICHARDS, P.G. Quantitative seismology. New York, USA. WH Freeman and Company, 1980.
BERKHOUT, A. J.; ZAANEN, P. R. A comparison between Wiener Filtering, Kalman Filtering and Deterministic Least Squares Estimation . Geophysical Prospecting, v.24, n. 3, p. 141-197, 1979.
BEYLKIN, G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem by inversion of a generalized radon transformed. Journal Mathematical Physics, v. 26, p. 99–108, 1985a. BEYLKIN, G. Reconstructing discontinuities in multidimensional inverse scattering problems. Applied Optics, v. 24, p. 4086–4088, 1985b.
BLEISTEIN, N. Mathematical methods for wave phenomena. New York: Academic Press Inc., 1984.
COHEN, J. K.; STOCKWELL, J. J. W., Seismic un*x release n.39: a free package for seismic research and processing. Colorado: Center for Wave Phenomena, Colorado School of Mines, 2005.
ˇ
CERVEN ´Y, V. Seismic Ray Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
COMPANHIA DE PESQUISA E RECURSOS MINERAIS (CPRM). Geologia, tectˆonica e recursos minerais do Brasil. 2003. Dispon´ıvel em <http://www.cprm.gov.br>. Acesso em 11/10/2011.
DI BARTOLO, L.; DORS, C.; MANSUR, W.J.; MONTEIRO, C. da S. G. Evaluation of the inuence of density in the acoustic waves amplitudes. In: CONGRESS , 7., 2011, Rio de Janeiro. Extended abstract. Rio de Janeiro: Brasilian Geophysical Society, COOPE/UFRJ, 2011.
DURBAUM, H. Zur bestimmung von wellenge-schwindigkeiten reflexionxseismichen messungen. Geophysical Prospecting, v. 2, p. 151–167, 1954.
FOREL, D.; BENZ, T.; PENNINGTON, W. D. Seismic data processing with seismic un*x - A 2D seismic data processing primer. [Colorado]: Society of Exploration Geophysicists, 2005.
GAMBOA, F. Aplica¸c˜oes do m´etodo de superf´ıcie comum de reflex˜ao (CRS) ao
processamento s´ısmico. 2007. 213f. Tese de Doutorado-Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecˆanica e Instituto de Geociˆencias, Campinas, SP. 2007.
GUTENBERG, B. The Amplitudes of waves to be expected in seismic prospecting. Geophysics, v.1. p.252-256, 1936.
HENRY, Georges. Geophysics for sedimentary basins. Geophysical Research Department at Elf-Aquitaine Production, 1997.
HERTWECK, T. Practical aspects of the unified approach to seismic imaging. Tese de Doutorado, Karlsruhe University, Karlsruhe, April 2000.
HUBRAL, P.; KREY, T. Interval velocities from seismic reflection time Measurements. Tulsa, OK: Society of Exploration Geophysicists, 1980.
HUBRAL, P.; SCHLEICHER, J.; TYGEL, M. Geometrical-spreading and ray-caustic decomposition of elementary seismic waves. Geophysics, v. 60, n. 4, p. 1195–1202, 1995. HUGONNET, P. Partial surface related multiple elimination. In: ANN. INTL. MTG., 71st,
2002, San Antonio. Extended abstract. San Antonio: SEG, 2002.
IKELLE, L. T.; AMUNDSEN, L. Introduction to petroleum seismology. Society of Exploration Geophysicists, 2005.
LEITE, L. W. B. Introdu¸c˜ao a an´alise espectral em geof´ısica. FADESP/CNPQ, Bel´em, Par´a 1998.
LIENBACH, J. Wiener spiking deconvolution and minimum-phase wavelets: A tutorial. The Leading Edge, Tulsa, OK, v.14, n.03, p.189-192, 1995.
LINES, L. R. A not on the application of Wiener multichannel deconvolution. Jour. Can. Soc. Exp. Geophys., Canada, v.10, n.01, p. 65-70, 1974 Par´a 1998.
MAGNAVITA, L. P. et al. Salt tectonics control on the distribution of drift sedimentary facies in the jequitinhonha basin. American association of petroleum geologist, Tulsa, OK, p. 878–879, 1998.
MAKHOUL, J. Linear prediction: a tutorial review. In Childers D. G. (ed), “Modern Spectral Analysis”, IEEE Pes, p. 99–118, 1978.
MESK ´O, A. Digital Filtering: Application in Geophysical Exploration for Oil. Pittman Advanced Publishing Program, Londres, Inglaterra, 1984.
NEIDELL, N. S.; TANER, M. T. Semblance and other coherency measures for multichannel data. Geophysics, Tulsa, OK, v.36, n.3, p.482–497, 1971.
NEWMAN, P. Divergence effects in a layered earth. Geophysics, n. 38, p. 481–488, 1973. OLHOVICH, V.A. The causes of noise in seismic reflection and refraction work. Exploration Manager’s Staff, Petr´oleos Mexicanos (Mexican National Oil Co.), v.XXIX, n.6 p. 1015-1030, 10 Dec. 1964.
64
POPOV, M. M. Ray theory and Gaussian Beam Method for Geophysicists. Salvador: EDUFBA, 1996.
PEACOCK, K. L.; TREITEL, S. Predictive deconvolution: Theory and practice. Geophysics, 34: 155-169, 1969.
RAVVE, I.; KOREN, Z. Exponential asymptotically bounded velocity model: Part I - Effective models and velocity transformations Geophysics, v.71 P.T-53-T65 2006.
ROBINSON, E. A.; SILVIA, M. T. Digital foundations of times series analysis: wave-equation space-time processing. [Robinson.]: Holden-Day, 1981.
ROBINSON, E. A.; TREITEL, S. Principles of digital Wiener filtering. Geophysical Prospecting, 15 (3): 311-333, 1969.
ROBINSON, E. Seismic Inversion and deconvolution, Part A: Classical methods. Geophysical Press. London – Amsterdam, The Netherlands. 1984.
ROBINSON, E. Model-driven predictive deconvolution. Geophysics, 63, 2: 713-722, 1998. ROBINSON, E. Geophysical signal analysis. Tulsa, OK: Exploration Geophysicists, p. 278-279, 2000.
SANDMEIER, K-J. Untersuchung der ausbreitungseigenschaften seismischer wellen in geschichteten und streuenden medien Alemanha, Instituto de Geof´ısica da Universidade de Karlsruhe., Tese de Doutorado, 1990.
SCALES, J. A; SNIEDER, R. What is a noise? Geophysicists, v.63 p.1122-1124 1998. SCHLEICHER, J. et al. Modeling, migration, and demigration. submitted to the Leading edge, Unicamp, 1998.
SCHLEICHER, J.; TYGEL, M.; HUBRAL, P. 3-d true-amplitude finite-offset migration. Geophysics, Unicamp, v. 58, n. 8, p. 1112–1126, 1993a.
SCHLEICHER, J.; TYGEL, M.; HUBRAL, P. Parabolic and hyperbolic paraxial two-point traveltimes in 3D media. Geophysical Prospecting, Unicamp, v. 41, p. 495-513, 1993.
SCHLEICHER, J. et al. Minimum apertures and fresnel zones in migration and demigration. Geophysics, Tulsa, OK, v. 62, n. 1, p. 183-194, 1997.
SCHNEIDER, W. A. Integral formulation for migration in two-dimensions and three-dimensions. Geophysics, v. 43, n. 01, p. 49-76, 1978.
SGUAZZERO, P.; VESNAVER, A. A comparative analysis of algorithms for stackincg velocity estimation: deconvolution and inversion. Oxford: Blackwell Scientific Publications, 1987.
SHAH, P. M. Use of wavefront curvature to relate seismic data with subsurface parameters. Geophysics, Tulsa, OK, v.38, n.5, p. 812–825, Oct. 1973.
SHERIFF, T. Factors affecting seismic amplitude. Geophysical Prospecting, Amsterdan, v.23, n.1, p. 125–138, 1975.
SHERIFF, T; L. P. Geldart. History, theory, and data acquisition. Exploration seismology, Cambridge University Press 1982 , v.1, 1985.
TANER, M. T.; KOEHLER, F. 1969. Velocity Spectra-Digital Computer Derivation and applications of Velocity Functions. Geophysics, 34 (6): p. 859-881, 1969.
URSIN, B. Offset-dependent geometrical spreading in a layred medium. Geophysics, v. 4, n. 55, p. 492-496, 1990.
VERSCHURR, D. J. Surface Related Multiple Elimination. Tese de Doutorado - Delft University of Technology, Netherlands, 1991.
VERSCHURR, D. J.; BERKOUT, A. J.; WAPENAAR, P. A. Adaptive surface-related multiple elimination. Geophysics, v. 57, n.9, p. 1166–1177, Sep. 1992.
WALDEN, A. T. 1988. Robust deconvolution by modified wiener filtering. Geophysics, Tulsa, OK, v.53, n.02, p. 186-191, 1988.
WATERS, K. H. Reflection Seismology. [Waters]: Society of Exploration Geophysicists, 1986.
YILMAZ, O. Seismic Data Processing. Society of Exploration Geophysics, Tulsa, USA. 1994. ZIOLKOWSKI, R. W.; DESCHAMPS, G. A. The Maslov method and the asymptotic Fourier transform: Caustic analysis. University of Illinois, Electromagnetic Laboratory Scientific report 80-9, United States of America, 1980.
APˆENDICE A -- MIGRAC¸ ˜AO KIRCHHOFF
Neste apˆendice s˜ao descritas partes da teoria do raio com a finalidade de complementar o entendimento dos processos de modelagem e imageamento por migra¸c˜ao, ambos baseados na teoria do raio s´ısmico, onde uma das obras principais para ser seguida ´e ( ˇCERVEN ´Y, 2000).
Migra¸c˜ao Kirchhoff no Tempo
A migra¸c˜ao ´e descrita a partir da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda escalar sem varia¸c˜ao de densidade e dada por:
∇2u(~r, t) − 1 c2
∂2u(~r, t)
∂t2 = −4πq(~r, t), (A.1)
onde u(~r, t) ´e a amplitude do campo, c a velocidade no meio, q(~r, t) a fonte, e ~r = (x, y, z) o ponto de observa¸c˜ao.
A solu¸c˜ao para a Eq. (A.1) sem presen¸ca de fonte, considerando um volume V0 delimitado
por uma superf´ıcie S0, ´e expressa pelo teorema de Green (SCHNEIDER, 1978), e dada por:
u(~r, t) = 1 4π Z t0 dt0 Z S0 dS0 G ∂ ∂nu(~r0, t0) − u(~r0, t0) ∂ ∂nG ; (A.2)
onde ~n = nˆn ´e um vetor normal `a superf´ıcie S0, que inclui a superf´ıcie de aquisi¸c˜ao A0, e
a superf´ıcie de forma semi-esf´erica A′
que ´e extrapolada para o infinito de forma que sua contribui¸c˜ao seja desprez´ıvel (ver Figura A.1). Sendo assim, a fronteira fica expressa pela integral na superf´ıcie de aquisi¸c˜ao, e a solu¸c˜ao ´e baseada na fun¸c˜ao de Green que consiste da resposta de uma fonte pontual em ~r0 e sua imagem em ~r′0, dada por:
G(~r, t|~r0, t0) = δ t − t 0− Rc R − δ t − t0− R ′ c R′ , (A.3) onde R = [(x − x0)2 + (y − y0)2+ (z − z0)2] 1 2, (A.4) R′ = [(x − x0)2+ (y − y0)2+ (z + z0)2] 1 2. (A.5)
68 Figura A.1: Meio escalar (3D) com volume V0 delimitado pela fronteira S0 = A0 + A′, com um
ponto fonte em ~r0, sua imagem em ~r′0 e um ponto de observa¸c˜ao em ~r.
x z y
͚
V0 r0 A0 R’ R r r’0 A’ Fonte: (SCHNEIDER, 1978).Na pr´atica, o campo u(~r0, t0) ´e medido na fronteira S0 = A0 + A′, onde a fun¸c˜ao de
Green se anula (G = 0), e a componente ∂u(~r0,t0)
∂n ´e anulada. Com isto, a equa¸c˜ao (A.2) ´e
simplificada `a forma: u(~r, t) = 1 2π Z t0 dt0 Z A0 dA0 ( u(~r0, t0) ∂ ∂z0 " δ t − t0− Rc R #) . (A.6)
Trocando ∂z∂0 por ∂z∂ e resolvendo a parte temporal da equa¸c˜ao (A.6), se obt´em:
u(~r, t) = −1π∂z∂ Z A0 dA0 u ~r0, t −Rc R . (A.7)
Esta representa¸c˜ao indica que a Eq. (A.2) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao da onda em virtude da forma
f (t−R c)
R no integrando.
Uma forma de descrever fisicamente uma se¸c˜ao empilhada ´e atrav´es de um experimento hipot´etico denominado refletor em explos˜ao, onde os receptores s˜ao localizados numa su- perf´ıcie de aquisi¸c˜ao e as fontes ao longo das interfaces refletoras onde s˜ao acionadas simulta- neamente. O campo produzido se propaga at´e a superf´ıcie de aquisi¸c˜ao segundo o Princ´ıpio de Huygens (ver Figura A.2). Com este modelo, as velocidades ou tempo relacionados a esta se¸c˜ao devem ser modificadas pela multiplica¸c˜ao do fator 1/2 (ver Figura A.3).
Para uma se¸c˜ao empilhada, o campo registrado u(x, y, z = 0, t) pode ser continuado para profundidades maiores segundo a forma:
u(x, y, z, t) = − 1 2π ∂ ∂z Z A0 dA0 u x, y, z = 0, t + Rc R . (A.8)
Figura A.2: Representa¸c˜ao do modelo (2D) refletor-em-explos˜ao. As fontes est˜ao localizadas nas interfaces refletoras e s˜ao acionadas simultaneamente. O campo produzido se propaga de acordo com o Princ´ıpio de Huygens at´e a superf´ıcie de aquisi¸c˜ao z = 0.
z
x
t=0 t
Fonte: (SCHNEIDER, 1978).
Figura A.3: Modelo afastamento-nulo (esquerda) e modelo do refletor-em-explos˜ao (direita). Na esquerda, o campo de onda parte da superf´ıcie no instante t = 0, reflete em D e retorna a superf´ıcie onde ´e registrado no tempo t. Na direita, se tem outra forma de representar o afastamento-nulo, onde o campo de onda parte de um ponto da subsuperf´ıcie no tempo t = 0 e ´e registrado na superf´ıcie no tempo 2t. A velocidade do campo de onda no modelo afastamento-nulo (esquerda) ´e a metade da velocidade no modelo refletor-em-explos˜ao (direita).
x z y G(x,y,z=0,2t) x z y G(x,y,z=0,t) D Fonte: (SCHNEIDER, 1978).
O campo continuado em profundidade at´e o refletor tem, de princ´ıpio, as amplitudes proporcionais `a refletividade da interface. Para a Eq. (A.8), considerando o modelo refletor- em-explos˜ao para os pontos em subsuperf´ıcie no tempo t = 0 de acionamento das fontes, a integral para a ´area de interesse (x, y, z), tem a forma:
u(x, y, z, t = 0) = − 1 2π ∂ ∂z Z x0 Z y0 dx0dy0 u x, y, z = 0,Rc R . (A.9)
A Eq. (A.9) descreve a se¸c˜ao migrada, e ´e denominada de condi¸c˜ao de imagem, e que mapea o campo no dom´ınio (x, y, z, t) para o dom´ınio (x, y, z).
70
A Figura A.4 mostra a rela¸c˜ao entre o dado de entrada e de sa´ıda no mapeamento. A entrada ´e um tra¸co empilhado registrado no plano z = 0, e a sa´ıda ´e um tra¸co na posi¸c˜ao (x, y) apresentado em fun¸c˜ao de z e do tempo t = z/c. Como os refletores est˜ao em sucessivas posi¸c˜oes, mapea-se um ponto em cada uma destas etapas, e calcula-se para este ponto a integral para o tempo t = 0. Por exemplo, o receptor r1 em z1 mapea-se um valor nulo para
t = 0 devido ao receptor n˜ao estar no ponto de reflex˜ao; da mesma forma o valor se anula tamb´em para o receptor r2 em z2. O valor desta integral n˜ao ´e nulo quando o receptor estiver
muito pr´oximo ou em cima do refletor, como ocorre em z3.
Figura A.4: Rela¸c˜ao entre o dado de entrada u(x, y, z = 0, t) e o de sa´ıda u(x, y, z, t = 0) no mapeamento do campo de onda em (x, y, z, t) para x, y, z, t = zc.
x z t z1 z2 z3 z4 r2 r4 r1 z /c3 y r0 z0 Entrada: u(x,y,z=0,t) saída: u(x,y,z,t=0) r3 Fonte: (SCHNEIDER, 1978).
Segundo o modelo refletor-em-explos˜ao, a Eq. (A.9) ´e entendida como o processo que permite conhecer o valor do campo no tempo t = 0 a partir de seus valores registrados pelos receptores no tempo t. Ou ainda, um processo de continua¸c˜ao do campo u(~r0, t0), conhecido
na fronteira A0, para u(~r, t = 0) em um ponto em subsuperf´ıcie.
Migra¸c˜ao Kirchhoff na Profundidade
Esta migra¸c˜ao ´e baseada nas equa¸c˜oes iconal e de transporte, e no sistema de tra¸camento do raio para o c´alculo do tempo, e do termo para divergˆencia esf´erica e de amplitude do campo de onda. A teoria paraxial do raio ´e um conceito central para se obter o fator de espalhamento geom´etrico do campo de onda.
Equa¸c˜ao iconal
A equa¸c˜ao iconal para um meio isotr´opico tem a forma: (∇τ)2 = 1
v2, (A.10)
onde τ = τ (~x) ´e o tempo de trˆansito fonte-receptor, denominado termo iconal, e v = v(~x) ´e a velocidade da onda. A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao diferencial parcial n˜ao-linear ´e obtida por meio de seis equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias que formam o sistema de tra¸camento de raio, e em coordenadas cartesianas tem a forma:
dxi dτ = v 2p i, (i = 1, 2, 3, ) (A.11) dpi dτ = − 1 v dv dxi , (i = 1, 2, 3, ) (A.12)
onde pi s˜ao os componentes do vetor vagarosidade ~p = ∇τ (ˇCERVEN ´Y, 2000).
Equa¸c˜ao do transporte
A equa¸c˜ao do transporte ´e dada por:
2∇τ · ∇A + ∆τA = 0, (A.13)
onde A = A(τ, x, y, z) ´e o termo de amplitude do campo de onda. A Eq. (A.13) pode ser reescrita como uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de coordenadas do raio na forma:
2 v2 dA dτ + A vJ d dτ J v = 0, (A.14)
onde J ´e o Jacobiano do raio que representa a densidade do campo, e escrito na forma de um determinante funcional: J(x, y, z; τ, γ1, γ2) = 1 v d(x, y, z) d(τ, γ1, γ2) , (A.15)
onde τ, γ1, γ2 s˜ao as coordenadas do raio, τ o iconal, e γ1 e γ2 os parˆametros de partida do
raio (ver Figura A.5).
A Eq. (A.14) pode ser resolvida pelo m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, de onde se obt´em o termo principal para a amplitude do campo dado por:
A = P(γq1, γ2)
J v
72
onde P ´e a constante de integra¸c˜ao dependente dos parˆametros de partida do raio.
Figura A.5: Sistema de coordenadas do raio. Para uma fonte pontual S em 3D, as coordenadas do raio s˜ao dadas pelos ˆangulos γ1 e γ2, e o argumento eiconal τ = τ (x) que especifica uma posi¸c˜ao
de um ponto sobre o raio. Se usa tamb´em o comprimento do arco S em vez do eiconal τ = τ (x) atrav´es do termo de velocidade.
+x -x τ raio central raio unitário tangente em S S γ1 planohorizontal γ2 Fonte: (HERTWECK, 2000).
Teoria paraxial e tra¸camento dinˆamico do raio
O sistema de tra¸camento dinˆamico do raio ´e descrito em coordenadas (q1, q2, q3) centradas no
raio, que ´e um sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonais, onde o raio representa o terceiro eixo do sistema. Os outros dois eixos s˜ao ortogonais e situados em um plano perpendicular ao raio (Figura A.6).
Figura A.6: Sistema de coordenadas centradas no raio, o vetor e3 ´e o raio unit´ario tangente em
S, os vetores e1 e e2 est˜ao localizados em um plano perpendicular ao raio em S. As coordenadas
atuais s˜ao dadas por (q1, q2 e q3).
e3 e2 e1 S Raio central Plano perpendicular ao raio central Fonte: (HERTWECK, 2000).
Usando o sistema de coordenadas centradas no raio, a rela¸c˜ao para o Jacobiano do raio tem a forma simplificada para:
J γ1=γ10,γ2=γ20 = d(x, y, z) d(τ, γ1, γ2) γ1=γ10,γ2=γ20 = v0 d(q1, q2) d(γ1, γ2) γ1=γ10,γ2=γ20 , (A.17)
onde o ´ındice adicional 0 indica os parˆametros do raio central. A Eq. (A.16) para a amplitude do campo passa `a forma:
A = rP(γ1, γ2) 1 v d(q1,q2) d(γ1,γ2) γ1=γ10,γ2=γ20 . (A.18)
A partir da Eq. (A.18), o fator de espalhamento geom´etrico normalizado |Ln|, que descreve
a divergˆencia esf´erica de uma fonte pontual S, ´e dado por: |Ln| = √cos α Scos αR √v SvR r det B , (A.19)
onde vS e vR s˜ao as velocidades de propaga¸c˜ao da onda na fonte pontual S para o ponto
receptor R, respectivamente (POPOV, 1996); B ´e uma matriz que se relaciona ao fator de