3. Materials and methods
3.1 Paper 1 and 2: The EnvIMS study
Duval (2009) refere que a ideia de relacionar conhecimento com a mobilização de representações por parte do sujeito não é um aspeto novo; pelo contrário, nas reflexões de Descartes e Kant podemos encontrar este aspeto e é uma noção a ter em conta na psicologia para o estudo da aquisição de conhecimentos ou para o seu tratamento. O autor refere ainda que historicamente a noção de representação é referenciada em três momentos, com determinações totalmente diferentes do fenômeno a ser designado
Primeiramente foi referida como representação mental, no período de 1924-1926 fundamentada nos estudos de Piaget sobre a representação do mundo da criança. A segunda foi referida como representação interna ou computacional, no período d 1955-1960, no âmbito das teorias sobre processamento de informação, e da terceira vez foi referida como representação semiótica, sendo desenvolvida “no quadro dos trabalhos sobre aquisição de conhecimentos matemáticos e sobre os problemas consideráveis que sua aprendizagem origina” (Duval, 2009, p. 32).
Duval (2009) refere que alguns trabalhos de psicologia cognitiva consideraram alguns elementos das representações semióticas, mas voltados para questões essenciais da representação semiótica na atividade cognitiva. De facto, a noção de representação semiótica pressupõe “a consideração de sistemas semióticos diferentes e de uma operação cognitiva de conversão das representações de um sistema semiótico para outro” (p. 32). O autor esclarece ainda que as representações semióticas têm determinadas particularidades já que, por um lado, são relativas a um sistema particular de signos, como é o caso da linguagem, a simbologia algébrica ou os gráficos cartesianos e, por outro “podem ser convertidas em representações ‘equivalentes’ em outro sistema semiótico, mas podendo tomar significações diferente para os sujeitos que as utiliza” (p. 32). Duval (2009) alerta ainda que ao considerar a representação semiótica como parte da função de comunicação, deve-se ter em conta as funções primordiais de tratamento de informação e de objetivação, razão pela qual as representações semióticas são consideradas como um suporte para as representações mentais.
Duval (2009) destaca o papel da íntima relação existente entre a semiósis que é a apreensão ou produção de uma representação semiótica, e a noésis que é a apreensão conceptual de um objeto. Para o autor, a compreensão do papel da semiósis no funcionamento do pensamento e na forma como se desenvolve o conhecimento está relacionada com a variedade dos tipos de signos que podem ser utilizados. Por isso, reconhece o precioso contributo de Peirce (1931) por ser o primeiro a reconhecer o facto de que a semiósis não pode ser separada da diversidade de tipos de signos. Ele distinguiu três tipos de signos: os ícones, os símbolos e os índices, cuja classificação contribuiu para fundar a sua semiótica. Mas Peirce não considerou “as relações possíveis entre sistemas semióticos e a possibilidade de converter uma representação formada dentro de um sistema em uma representação de outro sistema” (Duval, 2009, p. 35).
Outros estudos e demais investigações contribuíram para o esclarecimento da noção de ‘sistema semiótico’. Todavia, segundo Duval (2009) essas investigações não enfatizaram o papel da diversidade dos sistemas semióticos no funcionamento do pensamento, nem a complexidade da conversão das representações de um sistema para outro (p. 36). Essas foram questões consideradas por Duval para desenvolver a sua teoria, enfatizando os registos de representação semiótica.
Registos de representação semiótica
Duval referiu-se a semiose como a criação e a transformação de signos, no entanto a TRRS pretendeu ser mais específica sobre as três atividades cognitivas que jogam um papel principal na atividade de representação. As atividades cognitivas fundamentais da semiose são:
a) Formação de representações num registo semiótico específico para exprimir
representações mentais ou para recordar um objeto ‘real’;
b) Tratamento de um registo de representação de modo a transformá-lo num outro
registo de representação do mesmo sistema semiótico em que foi formado;
c) Conversão de um registo de representação de modo a transformá-lo num registo de
representação pertencente a um sistema semiótico diferente.
Duval (2009, 2011) diz ainda que um sistema de representação é designado como um registo de representação semiótica, quando:
1- Contém um conjunto de traços percetíveis que permitem identificá-lo com uma representação de algo num determinado sistema.
2- As representações podem ser transformadas dentro do sistema semiótico de tal maneira que a representação obtida constitui um ganho de conhecimento em comparação com a representação inicial.
3- As representações podem ser convertidas, de um sistema para outro, de tal modo que a representação resultante permite que se explicitem outros significados relacionados com o que é representado.
Duval (2009) refere que as atividades cognitivas acima referidas devem ser levadas a cabo de acordo com as regras inerentes aos sistemas semióticos implicados.
Na perspetiva da TRRS, advoga-se que a formação de uma representação identificável, enquanto operação cognitiva, pode ser estabelecida através de um enunciado compreensível numa determinada língua natural e deve respeitar regras internas do sistema semiótico de representação usado para garantir as condições de identificação e possibilidade de tratamento. Por exemplo, o sistema posicional e a base dez são duas regras básicas de conformidade a considerar na escrita da numeração decimal.
Duval (2009, p. 57) afirma que o “tratamento é uma transformação de uma representação interna a um registo de representação ou a um sistema”; porém é preciso obedecer às regras de tratamento próprias de cada registo, sendo que a sua natureza varia consideravelmente de um registo para outro. Partindo do princípio de que “o tratamento de uma representação semiótica corresponde à sua expansão informativa”, Duval (2009, p. 57) afirma que: “as regras para expandir uma representação são definidas como regras que, uma vez aplicadas, resultam numa representação do mesmo registo que o de partida”.
Duval (2006) enfatiza que a função dos signos e representações em matemática não se restringe a comunicar e a representar objetos mas abarca uma terceira função e que é ainda mais importante. Essa função prende-se com o tratamento da informação, ou seja, a transformação intrínseca das representações em outras representações para produzir novas informações ou novos conhecimentos. Existem procedimentos bem definidos para a realização de uma conversão de um registo de representação e devem-se estabelecer relações entre elementos das unidades significantes em cada registo. A operação cognitiva de conversão é responsável pela manifestação dos fenómenos de congruência e de não-congruência entre representações pertencentes a dois sistemas semióticos.
Classificação de representações
De uma forma breve, para Duval, podem ser considerados três tipos de representações: representações mentais, computacionais e semióticas. No entanto, com base nos seus estudos, interessa-nos sobretudo a análise das representações semióticas. Antes, porém, importa referir duas distinções consideradas imprescindíveis quando é feita uma
caracterização das representações; estas são: consciente/não-consciente e externa/interna. As representações externas são as representações produzidas por um sujeito através da aplicação de um sistema semiótico; a produção de uma representação externa torna-se acessível a todos os indivíduos que conhecem o sistema semiótico utilizado, ao passo que as representações internas são as representações intrínsecas de um sujeito e não são comunicadas.
A oposição consciente/não-consciente é evidenciada quando um individuo se propõe percecionar representações. A esse respeito Duval (2009) refere que aquilo que um sujeito perceciona é consciente e aquilo que ele não perceciona nem pode percecionar é não consciente. Quando uma representação não consciente passa a ser consciente para um indivíduo diz-se que ocorreu uma tomada de consciência por parte do indivíduo e isso é fruto de alguma descoberta feita pelo próprio sujeito de algo que não percebia, mesmo que alguém lhe tivesse explicado. O autor acrescenta ainda que as representações conscientes têm um caráter intencional e que contemplam uma função de objetivação.
A Tabela 3 resume as caraterísticas das representações, de acordo, com as oposições anteriores:
Tabela 3: Tipos e funções das representações segundo Duval (2009, p. 43)
Interna Externa Consciente (intencional) Mental Função de Objetivação Semiótica
Funções de objetivação, expressão e tratamento intencional Não-consciente (não intencional) Computacional Função de tratamento automático ou quase-instantâneo
Os sistemas que cumulativamente viabilizam as funções de comunicação, tratamento de informação e objetivação podem ser chamados de sistemas de representações semióticas. Em geral, as representações utilizadas nestes sistemas são conscientes e externas; ao mesmo tempo, os signos utilizados não apenas produzem estímulos mas também têm valor significante e a sua produção segue regras sintáticas de formação e de tratamento das unidades de significado.
Duval (2009) refere que a propriedade fundamental das representações semióticas é que elas podem ser transformadas em diferentes representações; e estas transformações podem ser completas, quando transformam todo o conteúdo da representação inicial, ou parciais, quando é transformada somente uma parte do conteúdo. Isto significa que existe um grau da liberdade em todo o tratamento de informações.
As representações mentais incluem conceitos, noções, ideias, crenças e idealizações e o seu desenvolvimento está ligado à aquisição e internalização dos sistemas semióticos de representação.
As representações computacionais têm uma natureza homogênea, não necessitam de evidenciar o objeto, permitem uma transformação algorítmica dos significantes e permitem expressar as informações externas (do sistema) de tal modo que ficam manejáveis, recuperáveis e combináveis dentro do sistema.
Transformação de representações: tratamentos e conversões
A conversão e o tratamento de representações são duas atividades semelhantes, apesar de muito diferentes na sua essência. Por isso, é importante notar as diferenças fundamentais e destrinçá-las.
Reiteramos que o tratamento se realiza dentro do mesmo registo, obedecendo obviamente às regras inerentes ao tipo de registo em que ocorre. É importante sublinhar que no tratamento das representações o sujeito mobiliza apenas um registo de representação. E tem-se sempre a transformação de uma representação inicial em uma representação final. Um tratamento é uma transformação interna de uma representação, já que ocorre dentro de um registo de representação.
Duval (2009) cataloga os tratamentos em duas categorias complementares: os tratamentos quase instantâneos e os tratamentos intencionais. Os tratamentos quase instantâneos são realizados de forma imediata; são fortes indicadores para se inferir ou pelo menos intuir que a informação representada é do domínio do sujeito e, como tal, estes tipos de tratamentos evidenciam a experiência/familiaridade que geralmente é resultante de uma longa prática ou desempenho adquirido num domínio (Duval 2009). Estes tipos de tratamentos podem ser feitos em simultâneo e podem integrar grande quantidade de elementos.
Os tratamentos intencionais são realizáveis apenas quando já se consegue fazer algum tratamento quase-instantâneo. Isso quer dizer que somente podem ser feitos um após o outro, ou seja, sequencialmente, e nem todos os indivíduos são capazes de compreendê-los imediatamente (Duval, 2009).
Como se pode constatar, existe uma forte relação entre os dois tipos de tratamentos; quando um aluno consegue realizar tratamentos quase-instantâneos envolvendo muitos objetos geralmente isto significa que avança para um nível mais elevado de conhecimento. A condição necessária e suficiente para que um aluno realize tratamentos intencionais é o domínio de tratamentos quase-instantâneos. Mas chega um momento em que o aluno não consegue progredir (instantaneamente), o que indica que ele necessita de fazer algum
esforço para novas aquisições, portanto, essas novas aquisições passam necessariamente por uma fase de tratamentos intencional.
Tal como foi dito, o tratamento não é a única transformação de representação que ocorre ou que pode ocorrer. Pode ainda acontecer que uma representação de um objeto se transforme de um registo para outro; neste caso, considera-se que houve uma conversão, ou seja, tal como foi mencionado, a conversão é uma transformação que produz uma representação do objeto num registo diferente do registo da representação inicial. A conversão torna-se ainda interessante por ser uma transformação que necessariamente tem que coordenar os dois registos, um inicial e outro final, pelo que a conversão é uma transformação externa em relação ao registo inicial de representação (Duval, 2009). É importante realçar que uma conversão implica alteração do conteúdo, isto é, durante a conversão, é feita uma reorganização dos elementos de uma representação pelo que o conteúdo passa por uma seleção; desta forma o conteúdo da representação inicial não é necessariamente o mesmo conteúdo na representação final. Na análise de uma conversão também deve se ponderar a irreversibilidade ou difícil reversibilidade do conteúdo pois durante a conversão o conteúdo da representação muda sem garantia do processo inverso, ou seja, sem possibilidade de “recuperar” a representação original a partir da transformada, ou pelo menos o custo cognitivo de fazê-lo não é sempre o mesmo na conversão.
Na análise da atividade matemática é importante observar como é que os alunos são capazes de fazer e como fazem a distinção dos três polos constitutivos de cada representação, isto é: o objeto representado, o conteúdo da representação e a forma como é representado.
A conversão está frequentemente presente nas atividades matemáticas quando se faz a leitura de um problema ou trecho de um manual de matemática com o objetivo de perceber os conceitos neles dissecados. Necessariamente têm de se coordenar os diferentes registos em que os objetos matemáticos estiverem representados, portanto inevitavelmente enfrentam-se inúmeras e contínuas mudanças de registo: da linguagem natural para símbolos matemáticos, passando por figuras, gráficos, sistemas numéricos, etc., da mesma forma como um sujeito que pretende solucionar um problema terá de passar necessariamente o enunciado da linguagem natural para linguagem matemática o que implica que terá que recorrer a símbolos algébricos, símbolos relacionais e operacionais, figuras, gráficos, ou números. No âmbito da TRRS, Duval (2009, 2011) explica que a mobilização simultânea de pelo menos dois registos de representação é uma propriedade característica da atividade matemática e que durante a atividade matemática um dos desafios é refletir sobre e demostrar a possibilidade de mudar de um registro para outro, a qualquer momento. É um atributo a constatar durante a apreciação do trabalho dos alunos pois a variedade de mudanças de registos que o aluno realiza ou é capaz de realizar, em simultâneo, demonstra algumas qualidades das funções cognitivas mobilizadas para tal sucesso.
A mudança de registo nem sempre é tão fácil como se pode pensar, no entanto, este pingue- pongue que um aluno faz entre diferentes registos enquanto realiza atividades matemáticas atribui algum cunho artístico à matemática em si e, ao mesmo tempo, requer um desempenho cognitivo do indivíduo a fim de coordenar todos os registos numa determinada atividade, o que pode em muitas ocasiões significar um grande desafio.
Para um perito matemático, as conversões são naturais e fruto de uma experiencia matemática acumulada, pelo que o matemático faz mudanças de registos com grande agilidade. Fazer tais mudanças pode, contudo, criar grandes dificuldades na aprendizagem e nos processos de compreensão de um aluno que estiver, por exemplo, a seguir a resolução de um problema. Já para um perito ou para os professores, uma conversão, na maioria das vezes, é algo descrito como ‘uma operação simples’, o que leva a que as atividades de conversão sejam tendencialmente esquecidas no processo de ensino-aprendizagem.
Em todo o processo de ensino-aprendizagem e em todos os níveis de conceção do currículo deverá ter-se em conta a necessidade e a presença da conversão na atividade matemática e não a considerar erroneamente como uma operação natural. É importante sublinhar, que de acordo com Duval (2009, 2011), a pouca ou lenta apropriação dos objetos matemáticos por parte dos alunos é, por um lado, devida à diversidade dos sistemas de representação e, por outro lado, a fenómenos de não congruência que resultam da conversão de representações. Tal como foi referido anteriormente, a conversão implica a alteração do conteúdo da representação inicial e isto, por sua vez, implica a reorganização da informação. Então, depois de se mudar o registo, o objeto pode incluir informações diferentes que podem ou não complementar as informações da representação inicial. Assim, dá-se um fenômeno que está intimamente relacionado com as operações de conversão: a congruência e a não-congruência entre duas representações de dois registos diferentes.
Ao lidarmos com representações em diferentes registos, por vezes sentimos dificuldade em ‘passar’ de uma representação para outra mas noutras alturas essa passagem torna-se tão fácil que nem a notamos. Ora isto não nos deve deixar a impressão de que a conversão é uma operação simples e natural. Duval (2009) diz que para perceber como a conversão pode ser complicada e difícil, é necessário estabelecer uma correspondência entre duas representações (em diferentes registos) que associe as unidades de significação elementares que constituem cada registo. Duval (2009) alerta assim que o fenómeno da congruência e não- congruência entre representações pertencentes a dois sistemas semióticos tem por base as dificuldades na coordenação de registos de representação pertencentes a sistemas semióticos diferentes.
Segundo Duval (2009), para que haja congruência na mudança de um registo de representação para outro, têm de ser cumpridos três critérios:
Correspondência semântica entre unidades significantes;
Unicidade “semântica” terminal, que pressupõe a conversão de uma unidade significante do registo de representação de partida para uma só unidade significante do registro de chegada;
Correspondência na mesma ordem de apreensão das unidades significantes, ou seja, a correspondência deve ocorrer de tal modo que, ao serem comparadas, as unidades semânticas em correspondência estejam segundo a mesma ordem nas duas representações.