= k X j=1 1 + 2 k X j,l=1 (j>l) cos(θj − θl) (10.16b) ≈ k + 2 k X j,l=0 (j>l) cos 1 bj − 1 bl ! (10.16c) ≈ k + 2 k X j,l=0 (j>l) 1 −(b−1j − b−1l )2 2 ! (10.16d) ≈ k + 2 k X j,l=0 (j>l) 1 = k + 2k(k − 1) 2 = k2. (10.16e)
Observa-se que foi utilizado cos(φ) ∼ 1 − φ2 ∼ 1, uma vez que (b−1
j − b−1l ) é muito pequeno.
Retomando a fidelidade, após alguma álgebra se conclui que
F = 1 k2 k X j=1
eiθj − eiθ2+ (√2 − 1)eiθ1
2 , (10.17)
de onde se pode notar que quando k cresce, o termo fora do somatório permanece constante enquanto o somatório cresce, tornando-se dominante. Deste modo, usando Equação (10.16) se percebe que F ∼ 1 quando k cresce.
Comparando o entrelaçamento do estado de Riemann com o entrelaçamento cal- culado para o estado Primo dado em [29], pode-se ver que o estado Primo tem uma maior quantidade de entrelaçamento médio. Esta diferença é, de algum modo, esperada, embora ambos os estados estejam relacionados aos números primos essa relação se dá de diferentes formas. O estado de Riemann está releacionado aos números primos por seus coeficientes se- rem uma função dos zeros da função zeta de Riemann. Por outro lado, o estado Primo é uma superposição equiprovável de estados cujas codificações decimais são números primos.
10.5
Construção do circuito quântico Riemanniano
A partir da matriz unitária k × k dada na Equação (10.3), é sempre possível obter um circuito quântico que representa sua realização física. Sem perda de generalidade, será considerado o caso em que k = 2n para que se obtenha um circuito para n qubits. Diferentes
procedimentos podem ser utilizados para obter o circuito quântico associado a uma matriz, em geral, procedimentos diferentes levarão a circuitos diferentes, ainda que equivalentes, um exemplo é a CSD (Cosine-Sine Decomposition) [119]. Seguramente é possível montar um circuito composto apenas de CNOT ’s e portas de um qubit cujas parametrizações de rotações dependem dos zeros. Entretanto, optou-se por uma abordagem simples usando os autovetores
10.6. CONCLUSÃO 133
de UR.
Figura 10.4: Circuito quântico de Riemann.
Os autoestados do circuito quântico mostrado na Figura 10.4 são os autovetores de UR (o último qubit está sempre no estado 1 e, portanto, pode ser ignorado):
|ψki = |00...000i (10.18a)
|ψk−1i = |00...001i (10.18b)
|ψk−2i = |00...010i (10.18c)
|ψk−3i = |00...011i (10.18d)
...
|ψ2i = |11...11i (−eiπ/4|0i + |1i)/ √
2 (10.18e)
|ψ1i = |11...11i (|0i + eiπ/4|1i)/ √
2. (10.18f)
Deste modo, a Figura 10.4 apresenta o circuito quântico que mostra como programar (uma vez que demanda o conhecimento acerca dos zeros) um computador quântico universal para funcionar como um sistema físico relacionado aos zeros da função zeta de Riemann.
10.6
Conclusão
Primeiramente, pode-se notar que a abordagem aqui apresentada é diferente da- quela tradicionalmente encontrada na literatura em que se busca um sistema quântico relacio- nado aos infinitos zeros da função zeta de Riemann. Em geral, o potencial quântico usado em tais sistemas são difíceis de encontrar na natureza ou mesmo construir artificialmente. Em se-
10.6. CONCLUSÃO 134
gundo lugar, faz-se importante salientar que, embora tenha-se considerado os primeiros k zeros da função zeta de Riemann, a teoria aqui descrita pode ser aplicada para um valor arbitrário de k.
Deste modo, pode-se tomar qualquer quantidade finita de zeros, evidentemente na linha crítica, e construir o circuito quântico cujos autovalores estão relacionados aos zeros de uma maneira muito clara: cada autovalor depende exclusivamente de um zero da função. Assim, pode-se afirmar que todos os zeros da função zeta de Riemann são relacionados a um sistema físico. Portanto, a abordagem aqui descrita mostra como construir um sistema físico, com recursos finitos (número de portas quânticas), capaz de lidar com um conjunto de qualquer quantidade (finita) de zeros.
Este circuito quântico pode ser útil para algumas tarefas, por exemplo, para es- tudar as propriedades dos zeros da função em diferentes partes da linha crítica. Ainda, como o sistema físico em questão é um circuito quântico, ele pode ser, ao menos em princípio, pro- gramado em um computador quântico universal e, deste modo, implementado usando óptica, supercondutores, pontos quânticos ou outra tecnologia estudada na implementação de compu- tadores quânticos.
Por outro lado, pode-se arguir que é fácil produzir uma matriz unitária e, conse- quentemente, um circuito quântico cujos autovalores estejam relacionados aos zeros da função zeta de Riemann. Por exemplo, uma matriz unitária k × k relacionada poderia ser montada como uma matriz diagonal cujos elementos seriam θj∀j ∈ {1, 2, · · · , k}, em que θj seria o
exposto na Equação (10.4). Neste caso, os autoestados seriam estados da base canônica. Con- tudo, considera-se esta abordagem demasiadamente artificial uma vez que a parte real dos zeros da função não são levadas em consideração em nenhum momento. Além disso, ela não decorreria da sugestão de Hilbert-Pólya que aponta para a busca de um operador do tipo
Capítulo 11
Conclusões e trabalhos futuros
11.1
Conclusões
Esta tese tratou essencialmente os temas da separabilidade, da teleportação de portas quânticas e sobre algumas conexões com a teoria dos números. Temas para os quais as conclusões são apresentadas, de modo agrupado, nas seções seguintes.
11.1.1 Separabilidade
⋄ Foi demonstrado um teorema acerca da preservação da separabilidade sob conjugação para elementos em U(4), ou seja, quando U · (VA⊗ VB) · U†= VA′ ⊗ VB′, em que U ∈ U(4)
e VA, VB, VA′, VB′ ∈ U(2).
⋄ Foi demonstrado um teorema que define a forma geral de um elemento do grupo de Clifford.
⋄ Foram formulados os critérios para separabilidade de estados quânticos em partições e dimensões arbitrárias.
⋄ A noção de separabilidade de estados quânticos foi aplicada na busca por entrelaçado- res universais achando alguns bons candidatos construídos a partir de portas quânticas largamente conhecidas.
11.1.2 Teleportabilidade
⋄ Foi realizada uma formulação analítica que explicita o papel da base de medição na teleportação de um estado quântico arbitrário.
⋄ Foi demonstrado o teorema da teleportabilidade que descreve as condições, necessárias e suficientes, sob as quais se obtém uma teleportação determinística de portas de dois qubits.