Na Figura 9.12 vê-se que o maior entrelaçamento médio de todas as bipartições é alcançado pelo estado |S3ni, sendo ele o que mais se aproxima do limite teórico previsto pela
medida, superando ambos os estados Primo e Happy. Vê-se que os estados gerados pelas sequências S1 e S2 possuem ambos o entrelaçamento com comportamento oscilatório e cuja superioridade de intensidades se alternam entre si. Esse comportamento oscilatório e alternân- cia de intensidades se repetem quando analisado o entrelaçamento médio dos k-ésimos (Eth
avg)
qubits, conforme mostrado na Figura 9.13. Neste quesito, também se observa a superioridade da sequência S3 frente às demais analisadas. O mesmo ocorre quando analisado o entrela- çamento do k-ésimo qubit, visto na Figura 9.14, em um estado de 28 qubits. Neste aspecto ocorrem diferenças entre os estados |S1ni e |S2ni, o primeiro tem seus qubits individuais ma-
ximamente entrelaçados, com exceção dos dois últimos. Por outro lado, o segundo apresenta um crescimento gradual (com viés oscilatório) do entrelaçamento do k-ésimo qubit. Por fim, a eficiência na preparação, mostrado na Figura 9.15, usando o algoritmo de Grover também mostra algumas diferenças entre |S1ni e |S2ni. Agora, enquanto o primeiro é que apresenta
um comportamento oscilatório, o segundo parece implicar em um crescimento linear. Por ou- tro lado, neste aspecto o estado |S3ni se mostra ligeiramente menos eficiente que o estado
Primo. Por fim, fica claramente caracterizado que a sequência S3 apresenta o conjunto mais interessante de propriedades dentre todas as sequências analisadas.
9.5. NOVAS SEQUÊNCIAS 121
Figura 9.12: Comparação das novas sequências enunciadas com os estados Primo e Happy no que se refere ao entrelaçamento médio de todas as bipartições Eall
avg.
Figura 9.13: Comparação das novas sequências enunciadas com os estados Primo e Happy no que se refere ao entrelaçamento médio dos k-ésimos qubits Eth
9.5. NOVAS SEQUÊNCIAS 122
Figura 9.14: Comparação das novas sequências enunciadas com os estados Primo e Happy no que se refere ao entrelaçamento do k-ésimo qubit Eth
k .
Figura 9.15: Comparação das novas sequências enunciadas com os estados Primo e Happy no que se refere ao número de iterações para preparação via Grover G(n).
9.6. CONCLUSÃO 123
9.6
Conclusão
Neste capítulo foi enunciado o estado quântico sequência, construído a partir de sequências de números inteiros, estudadas as propriedades de seu entrelaçamento e também sua preparação usando o algoritmo de Grover. Foram mostrados exemplos para mostrar o quão complexo pode ser discutir o grau de entrelaçamento de um dado estado. Apresentou-se algumas comparações sobre propriedades do entrelaçamento que sugerem maiores similaridades entre estados oriundos de sequências que emergem de padrões/abordagem similares que entre estados oriundos de sequências com maior interseção entre si. Os estados Primo e Lucky são bons exemplos, também o são os estados Fibonacci e Padovan.
Foram apresentados diversos estados sequências que superam o estado Primo em alguns aspectos, mas se mostrou evidente que qualquer tipo de associação de propriedades clássicas com o entrelaçamento são muito difíceis. Pôde-se ver que mesmo o estado PA[r], que emerge de um padrão trivial de incremento, contém mais entrelaçamento entre seus k- ésimos qubits que o estado Primo. A comparação entre os estados Fibonacci e PA[3], mostrada na Figura 9.2, mostra uma armadilha que pode levar a conclusões inadequadas, permitindo concluir que Eth
avg não é suficiente para entender o cenário geral acerca do entrelaçamento de
um dado estado.
Os estados propostos Happy e SPrime também superam as propriedades gerais de entrelaçamento do estado Primo, Eall
avg e Eavgth , ambos sem a desvantagem de ter o último qubit
desentrelaçado dos demais. Na Figura9.5foi possível ver que, entre todos os estados baseados em sequências conhecidas analisados, o estado Happy é aquele que carrega mais entrelaçamento, entretanto, ele é superado pelo estado associado à nova sequência S3, conforme pôde ser visto na Figura 9.12. Também foi apresentado uma análise do comportamento do entrelaçamento presente no estado PA[r] em função de r. Mostrou-se ainda que também é possível seguir o caminho inverso, gerando novas sequências de inteiros a partir de estados quânticos, tais como
S1, S2 e S3.
Por fim, foi analisada a eficiência de preparação de alguns estados sequências usando o algoritmo de Grover, incluindo a análise do comportamento de k interações em função de τ, a função de contagem da sequência subjacente.
Capítulo 10
Circuito Quântico de Riemann
Resumo
A teoria dos números é um campo da matemática abstrata que tem encon- trado um ambiente fértil na física teórica. Em particular, vários sistemas físicos estão relacionados aos zeros da função zeta de Riemann. Neste capítulo, será apresentada como contribuição a teoria de um circuito quântico relacionado a um número finito de zeros da função zeta de Riemann.
10.1
Introdução
Tem-se percebido um crescente interesse em sistemas quânticos relacionados a pro- blemas na teoria dos números [29,103,104]. Este interesse advém desde o estágio inicial da mecânica quântica, quando Hilbert e Pólya discutiram a possibilidade de uma solução física para a hipótese de Riemann: os zeros da função zeta de Riemann poderiam ser o espectro de um operador R = I/2 + iH, em que iH é autoadjunto e interpretado como um Hamiltoniano. Atualmente, tem-se discutido [105–107] vários sistemas físicos relacionados aos zeros da função zeta de Riemann. Em [108] os autores, tendo um número finito de zeros da função zeta de Riemann, usaram um método numérico para encontrar um potencial quântico para reproduzir tais zeros como autovalores de energia. No contexto da mecânica clássica, foi demonstrado em [109] que a transformada de Mellin da probabilidade de um corpo escapar de um sistema de bilhar circular aberto, quando as aberturas estão separadas por 0◦, 60◦, 90◦, 120◦ ou 180◦, é unicamente determinada pela função Zeta de Riemann. No contexto da física quântica, [110] estabeleceu um mapeamento entre a função Zeta de Riemann e um sistema mecânico quântico caótico ainda desconhecido. De modo mais específico, modelos foram propostos [105] tanto em associação com o espectro de energia positiva quanto com