A avaliação diagnóstica (Apêndice C) foi elaborada com base nas definições e teoremas constantes do ApêndiceAdeste trabalho, levando em consideração as habilidades apresentadas nesta seção e necessárias para o estudo. Nesta subseção, são descritas as etapas de aplicação e análise da avaliação diagnóstica.
A avaliação diagnóstica foi aplicada a 16 alunos da turma participante da pesquisa em 06 de novembro de 2014 das 7h às 8h40min, durante a aula de Matemática. A professora de Matemática da turma havia realizado, na mesma semana, uma revisão dos principais conceitos de Polinômios, pois a mesma relatou que os alunos da turma em questão, em sua maioria, não têm o hábito de estudar em casa, por isso em suas avaliações se torna necessária uma revisão. São considerados como sujeitos da pesquisa, apenas os 14 alunos que participaram de todas as etapas desse estudo, respondendo a todas as atividades propostas.
A questão 1, apresentada na figura 4 teve por objetivo avaliar se os alunos seriam capazes de identificar se as expressões algébricas apresentadas se classificavam como
Figura 4 – Questão 1 da Avaliação Diagnóstica
1. Classifique as express˜oes alg´ebricas a seguir em POLIN ˆOMIOSou N ˜AO PO- LIN ˆOMIOSno conjunto C[x]. Justifique sua resposta quando classificar as ex press˜oes alg´ebricas como n˜ao polinomiais.
(a) f (x) = 2ix3+ 3x2+ 1 (b) h(x) =x 2− π 4x2 − 1 (c) g(x) = 3√x− 6x + 1 (d) u(x) = 7 (e) m(x) = 3x−2+ ix−1 − 1 (f) n(x) = 7x5+ 2x3 − 1 x (g) o(x) = 0x3 + 0x2
Fonte: elaboração própria
O resultado da análise do número de acertos dos itens da questão 1 da Avaliação Diagnóstica estão apresentadas na tabela1:
Tabela 1 – Acertos da questão 1 da Avaliação Diagnóstica
ITEM QUANT.
DE ACER- TOS
DESCRIÇÃO DO ERRO
(a) f(x) = 2ix3+ 3x2+ 1 13 Um aluno classificou como não polinômio,
pois não identificou a possibilidade dos núme- ros imaginários como coeficientes.
(b) h(x) = x 2 −
π 4x
2
− 1 10 Quatro alunos classificaram como não polinô-
mio, um justificou por considerar, equivoca-
damente, que o x estava no denominador; um não reconheceu o π
4 como número; um justifi-
cou que o x estava junto à fração e o outro justificou que era porque o número estava negativo.
(c) g(x) = 3√x − 6x + 1 13 Um aluno classificou como polinômio equivo- cadamente, mas não justificou sua resposta, desconsiderando o que os demais perceberam: "o x não pode estar dentro da raiz".
(d) u(x) = 7 12 Dois alunos classificaram como não polinômio, desconsiderando o polinômio constante. (e) m(x) = 3x−2+ ix−1− 1 11 Três alunos classificaram como polinômio não
reconhecendo o que os demais apresentaram na justificativa, ou seja, que o expoente não pode assumir valores negativos.
(f) n(x) = 7x5+ 2x3
− 1
x 11 Três alunos classificaram como polinômio. Dos 11, apenas 9 justificaram, indicando que o x não pode estar no denominador.
(g) o(x) = 0x3+ 0x2 13 Apenas um aluno classificou como não polinô-
mio, não reconhecendo o polinômio identica-
mente nulo.
Fonte: elaboração própria
A questão 1 foi elaborada levando em consideração os possíveis entraves na identificação do Polinômio, confirmando as previsões para os possíveis raciocínios realizados pelos alunos. Foi diagnosticado que a maioria dos alunos sabia identificar um polinômio, visto que houve um rendimento de aproximadamente 85%8 da questão 1.
A questão 2 teve por objetivo avaliar se o aluno seria capaz de determinar o grau de um polinômio constante, nulo ou na sua forma fatorada, bem quando fosse necessário desenvolver os termos para chegar à sua forma mais simples. Isso pode ser melhor verificado, analisando os itens que compõem a questão 2 (Figura5).
8 O valor do rendimento (R) foi dado por R = 0, 93 · 3 + 0, 86 + 0, 79 · 2 + 0, 71
Figura 5 – Questão 2 da Avaliação Diagnóstica
2. Determine o grau dos seguintes polinˆomios: (a) f (x) = x2 − (x + 2) 2 + x (b) g(x) = 7 (c) h(x) = x6 − 4x 2 + 3x7 (d) n(x) = 0 (e) p(x) = 2(x − 1)7 (x + 2)5
Fonte: elaboração própria
Alguns comportamentos eram esperados em cada um dos itens propostos: no item (a), esperava-se que o aluno percebesse que deveria desenvolver a potência da soma e simplificar; no item (b), esperava-se que o aluno soubesse que o grau de um polinômio constante é zero; no item (c), esperava-se que o aluno percebesse que o grau independe da posição dos termos; no item (d), esperava-se que o aluno identificasse que o polinômio era nulo e, portanto, não se define o grau de um polinômio nulo; no item (e), esperava-se que o aluno percebesse que o polinômio estava na sua forma fatorada e, portanto, o grau era a soma dos expoentes. A análise das respostas se encontra na Tabela 2.
Tabela 2 – Acertos da questão 2 da Avaliação Diagnóstica ITEM QUANT. DE ACER- TOS DESCRIÇÃO DO ERRO (a) f(x) = x2
− (x + 2)2+ x 3 Um dos três alunos que acertaram o item (a)
encontrou a resposta correta por meio de uma resolução errada (Figura 6). Pôde-se verificar que o mesmo desconsiderou o oposto de todo o resultado da potência da soma, realizando a operação apenas para o primeiro termo. Sete alunos responderam que o grau era 2 e quatro alunos que o grau era 4, mostrando que somaram as potências como se o polinômio estivesse em sua forma fatorada.
(b) g(x) = 7 6 Cinco alunos responderam que o grau de um polinômio constante é 1; um respondeu que o grau era 5; outro que o grau era 7, o valor do termo independente e um não respondeu. (c) h(x) = x6+ −4x21 + 3x7 7 Três alunos responderam que o grau era 6
mostrando que consideraram que o termo de maior grau é o primeiro (Figura 7); um não respondeu; um respondeu que o grau era 15, ou seja, somou os expoentes como havia reali- zado também no item (a); outro respondeu 3, o coeficiente do termo de maior grau e outro 2.
(d) n(x) = 0 7 Cinco alunos responderam que o grau do po- linômio nulo era zero e dois identificaram como grau 1.
(e) p(x) = 2(x − 1)7(x + 2)5 7 Quatro responderam que o grau era 7, consi-
derando apenas o expoente do primeiro fator que era de maior grau; um respondeu 2 e outro 4 e um deixou em branco.
Figura 6 – Resolução incorreta do aluno E para a questão 2, item (a) da Avaliação Diag- nóstica
Fonte: protocolo de pesquisa
Figura 7 – Resolução incorreta do aluno H para a questão 2, item (c) da Avaliação Diagnóstica
Fonte: protocolo de pesquisa
Foi diagnosticado que, aproximadamente, 43% dos alunos não reconhecem que o grau de um polinômio constante é zero e, metade não reconhece que o grau de um polinômio nulo é indeterminado. Vale ressaltar que o nível de acerto em relação às respostas relativas ao grau de um polinômio em sua forma geral foi a mesma obtida para o polinômio em sua forma fatorada, 50%. Avaliando de forma global, pode-se afirmar que a turma teve uma aproveitamento inferior ao esperado, visto que o rendimento foi de aproximadamente 43%9.
A questão 3 teve por objetivo identificar se os alunos utilizariam o Teorema do Resto para resolver a questão, porém dos 14 alunos que responderam à avaliação diagnóstica, apenas um tentou substituir o valor de x por 1, esquecendo-se de substituir um dos valores de x e não igualando a 0. Portanto, não se pode afirmar que tenha utilizado o conceito do Teorema do Resto, conforme pode ser verificado na figura8. Dos 13 restantes, 11 deixaram a questão em branco; dois usaram a divisão de Polinômios. Apenas um dos dois alunos que usaram o método das chaves para a divisão de polinômios encontrou o resultado correto (Figura 9).
9 O valor do rendimento (R) foi obtido a partir do cálculo R = 0, 21 + 0, 42 + 3 · 0, 5
Figura 8 – Resolução do aluno A para a questão 3 da Avaliação Diagnóstica
Fonte: protocolo de pesquisa
Figura 9 – Resolução do aluno J para a questão 3 da Avaliação Diagnóstica
Fonte: protocolo de pesquisa
Foi diagnosticado que os alunos não se lembraram do Teorema do Resto, embora fosse de conhecimento da turma, visto que a professora apresentou todo o conteúdo trabalhado, por meio do caderno de um aluno. Embora fosse apenas necessário encontrar
g(1) = 0 para determinar o valor de d, foi considerado correto o cálculo elaborado pelo
aluno J e, portanto, a turma obteve um rendimento de, aproximadamente, 7%10 nessa
questão.
A questão 4 tinha por objetivo verificar se os alunos seriam capazes de decompor o polinômio em um produto de fatores de primeiro grau, conhecendo-se apenas uma de suas raízes. Verificou-se que 10 alunos não responderam; um aluno esboçou o início de uma divisão de polinômios identificando corretamente dividendo e divisor; um esboçou o início do cálculo, usando o dispositivo de Briot-Ruffini; três realizaram a divisão pelo método das chaves sendo que, dois de forma incompleta e apenas um aluno concluiu corretamente a divisão, encontrando as raízes do polinômio e os fatores solicitados esquecendo-se, apenas, de igualar a p(x) (Figura 10).
10 O valor do rendimento (R) foi obtido a partir do cálculo R = 1
Figura 10 – Resolução do aluno J para a questão 4 da Avaliação Diagnóstica
Fonte: protocolo de pesquisa
A partir da análise das respostas da questão 4, foi diagnosticado que a questão teve um rendimento de, aproximadamente, 7%11. Portanto, a maioria dos alunos não é
capaz de decompor o polinômio em um produto de fatores de primeiro grau, conhecendo-se uma de suas raízes.
A questão 5 (Figura 11) teve por objetivo avaliar se os alunos seriam capazes de determinar as raízes dos Polinômios em sua forma fatorada e indicar as multiplicidades de cada uma delas.
Figura 11 – Questão 5 da Avaliação Diagnóstica
Fonte: elaboração própria
O resultado da análise do número de acertos dos itens da questão 5 da Avaliação Diagnóstica estão apresentadas na Tabela 3:
11 O valor do rendimento (R) foi obtido a partir do cálculo R = 1
Tabela 3 – Acertos da questão 5 da Avaliação Diagnóstica
ITEM QUANT.
DE ACER- TOS
DESCRIÇÃO DO ERRO
(a) p(x) = 3(x − 1)(x + 4)2 8 Um aluno acertou as raízes dos polinômios,
porém errou a multiplicidade, afirmando que era 3, levando a observadora a entender que te- nha somado os expoentes e considerado o grau do polinômio como a multiplicidade. Quatro deixaram a questão em branco e um aluno, apenas, respondeu de forma equivocada que as raízes eram −1 e 4, exatamente o oposto das raízes e as multiplicidades 0 e 2, assim demonstrando não identificar que na ausência do expoente, este seria o grau 1.
(b) p(x) = 5(x − 1)3(x2+ 4) 0 Verificou-se que os mesmos 9 alunos que acer-
taram as raízes do item (a) responderam que as raízes eram 1 e −4, não observando que, no item (b), o fator (x2 + 4) não era de 1º
grau. Os mesmos quatro alunos que deixaram em branco o item (a), deixaram o item (b) e, o estudante que respondera o oposto da raiz, repetiu o mesmo erro.
(c) p(x) = 7(2x − 5)3 0 Verificou-se que nenhum aluno respondeu que
a raiz era 5
2 no item (c), não identificando que o fator não era mônico, sendo que 3 alunos acertaram a multiplicidade da raiz, respon- dendo corretamente que era 3. Os mesmos quatro alunos que deixaram em branco o item (a) e (b), deixaram o item (c).
Fonte: elaboração própria
Ao realizar a análise do erro relativo à multiplicidade do fator de 1º grau realizada pelo aluno E, porque os considerou de grau 0 (Figura 12) , verificou-se que nas habilidades avaliadas relativas ao grau do polinômio, o grau 1 não foi explorado, ficando aqui como sugestão para futuras pesquisas. A partir da análise dos erros e acertos da questão 5, pode-se afirmar que o rendimento médio nesta questão foi de 19%12
12 O valor do rendimento (R) foi obtido a partir do cálculo R = 0, 57 + 0 + 0
Figura 12 – Resolução do aluno E para a questão 5 da Avaliação Diagnóstica
Fonte: protocolo de pesquisa
Considerando a avaliação dos erros e acertos apresentados nas questões e realizando uma análise global da Avaliação Diagnóstica, considerou-se uma aproveitamento aproximado de 32%13. Embora os alunos já tenham estudado sobre Polinômios e, inclusive,
a professora tenha realizado uma revisão com os alunos, a avaliação permitiu perceber a existência de lacunas, o que torna o trabalho importante para o processo de ensino e aprendizagem do tema em questão. Cabe ressaltar ainda que, após análise das respostas, um pouco menos da metade conseguiu identificar o grau do polinômio em sua forma fatorada e, um pouco mais da metade dos alunos conseguiu identificar corretamente as raízes e suas multiplicidades quando o polinômio se apresenta em fatores mônicos de 1º grau. Portanto, a partir dessa análise, a pesquisadora decidiu privilegiar em seu estudo, os polinômios apresentados em forma de fatores mônicos de 1º grau.
A avaliação diagnóstica teve por objetivo identificar requisitos de certos conceitos necessários para a compreensão dos novos conhecimentos de Polinômios a serem explorados nesta pesquisa. Numa pesquisa em que se privilegia a compreensão e não os resultados certos, é importante buscar procedimentos que permitam compreender o fenômeno a ser estudado (BORBA; ARAÚJO, 2006, p. 44). Na análise das resposta dos alunos, o importante não é o acerto ou o erro em si, mas o modo em que o aluno se apropria do conhecimento, o que surge na produção escrita evidenciando facilidades e/ou dificuldades no processo de ensino e aprendizagem (CURY, 2007, p. 63).
A análise dos resultados da avaliação diagnóstica, sejam os erros, acertos e até mesmo a ausência de respostas, auxiliou a pesquisadora a aprofundar algumas questões, sugerindo mudanças na concepção da sequência didática a ser aplicada e na forma como as observações seguintes seriam realizadas. Uma das observações que mereceram ser destacadas foi a decisão por trabalhar, preferencialmente, com polinômios em sua forma fatorada, visto que facilita a identificação das raízes reais.
13 O valor do aproveitamento (A) foi obtido por A = 0, 85 + 0, 43 + 0, 07 · 2 + 0, 19