A atividade 1 foi, inicialmente, estruturada em 3 partes: a 1ª parte correspon- dente ao reconhecimento do aplicativo xGraphing; a 2ª parte, com atividades exploratórias utilizando o aplicativo xGraphing e a 3ª parte, contendo atividades de interpretação do comportamento dos gráficos das funções polinomiais, a partir das variações das unidades significantes, como o grau do polinômio e o sinal do coeficiente dominante, conforme mencionado no quadro 3.1. A Atividade 1, em sua versão preliminar (Apêndice I), foi aplicada, em 05 de novembro de 2014, a duas professoras de Matemática do curso de Licenciatura em Matemática de uma instituição pública de ensino a fim de verificar a adequação das atividades pedagógicas a seus objetivos e ao público alvo. Para, a seguir, realizar as melhorias que se fizerem necessárias, para aplicá-las a alunos do Ensino Médio. As alterações sugeridas no teste exploratório tiveram por objetivo separar as unidades significantes, ou seja, as variáveis cognitivas a serem investigadas, tais como o grau do polinômio e o sinal do coeficiente líder, de forma que cada variação fosse estudada se- paradamente, fazendo variar uma de cada vez, pois essas estavam todas em uma única questão.
A Atividade 1, após o teste exploratório, foi reestruturada e sua versão final (Apêndice D) foi dividida em cinco partes, considerando que, em cada uma delas, as atividades propostas tiveram um objetivo específico, ou seja, uma habilidade específica a ser desenvolvida.
A 1ª e 2ª partes da Atividade 1 foram estruturadas de forma a apresentar o aplicativo para tablets denominado xGraphing. Primeiramente, foi apresentado ao aluno que
xGraphing é um aplicativo para dispositivos com sistema operacional Android, gratuito,
desenvolvido pela empresa Propane e que possibilita plotagem de gráficos no plano cartesiano R2 e que se encontra disponível em português, no endereço eletrônico:
Foi apresentado, ainda, que para utilizar o aplicativo xGraphing, quando o mesmo já está instalado no dispositivo móvel que, no caso deste estudo, é o tablet, o aluno teria que tocar no ícone (Figura 13) na área de trabalho (Figura 14) do tablet.
Figura 13 – Ícone do xGraphing
Fonte: <https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pierwiastek.xgraphing&hl=pt_BR>
Figura 14 – Área de Trabalho do tablet
Ao tocar o ícone do xGraphing na área de trabalho, o aluno acessa a tela inicial apresentada na figura 15.
Figura 15 – Tela Inicial do Aplicativo xGraphing
Fonte: tela capturada pela autora
Os alunos foram deixados livres para manipular a ferramenta da forma que quisessem e, depois, por meio de atividades direcionadas, conheceram algumas funções das ferramentas do xGraphing, necessárias para a resolução das futuras atividades, tais como os comandos da multiplicação e da potência no momento da digitação (Figura 16), a plotagem de gráficos por meio de pontos determinados com o toque na tela ou pela lei de formação como, por exemplo, digitar 2x3+ 3x2
− x − 2 (Figura17) e solicitar a plotagem. Figura 16 – Tela capturada do xGraphing para edição
Fonte: tela capturada pela autora
Figura 17 – Edição no xGraphing do polinômio p(x) = 2x3+ 3x2
− x − 2
A 3ª parte foi elaborada com a finalidade de ampliar os conhecimentos de polinômios por meio da análise do comportamento do gráfico de um polinômio, de grau par, para valores de x tais que |x| fosse um número suficientemente grande ou suficientemente pequeno. As atividades propostas nessa parte foram divididas em dois momentos: o primeiro para o estudo do comportamento do gráfico de polinômios de grau par com o coeficiente do termo de maior grau positivo e o segundo para o estudo do comportamento do gráfico de polinômios de grau par com o coeficiente do termo de maior grau negativo. Foi esperado, nessa etapa, que o aluno compreendesse que num polinômio p(x) = anxn+
an−1xn−1+ · · · + a
3x3 + a2x2 + a1x+ a0, com an 6= 0:
1. se n é par então, para |x| suficientemente grande, p(x) tem o mesmo sinal de an, ou seja, quando an >0, p(x) assume valores positivos tanto para valores de x muito grandes, quanto para valores de x muito pequenos e, quando an<0, p(x) assume valores negativos tanto para valores de x muito grandes quanto para valores de x muito pequenos;
2. os termos independentes representam os valores de p(x) quando x = 0, ou seja, o gráfico de p(x) intersecta o eixo y no ponto de abscissa 0 e ordenada igual ao termo independente.
A 4ª parte foi elaborada com a finalidade de ampliar os conhecimentos de polinômios por meio da análise do comportamento do gráfico de um polinômio, de grau ímpar, para valores de x tais que |x| assume valores suficientemente grandes ou suficiente- mente pequenos. As atividades propostas nessa parte foram divididas em dois momentos: o primeiro para o estudo do comportamento do gráfico de polinômios de grau ímpar com o coeficiente do termo de maior grau positivo e o segundo para o estudo do compor- tamento do gráfico de polinômios de grau ímpar com o coeficiente do termo de maior grau negativo. Foi esperado, nessa etapa, que o aluno compreendesse que num polinômio
p(x) = anxn+ a
n−1xn−1+ · · · + a3x3+ a2x2+ a1x+ a0, com an6= 0: se n é ímpar então,
p(x) tem o mesmo sinal de an para valores positivos muito grandes de x e tem o sinal
oposto de an para valores negativos de x muito pequenos, ou seja, quando an >0, p(x) assume valores positivos para valores de x muito grandes e negativo para valores de x muito pequenos e, quando an <0, p(x) assume valores negativos para valores de x muito grandes e positivo para valores de x muito pequenos.
A 5ª parte foi elaborada com a finalidade de verificar a aprendizagem dos conceitos relativos ao comportamento do gráfico das funções polinomiais quanto ao sinal do coeficiente do termo de maior grau, quanto ao grau do polinômio, para valores de x tais que |x| é um número suficientemente grande ou suficientemente pequeno. Foi esperado, nessa etapa, que o aluno verificasse que num polinômio p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · +
1. se n é par então, para |x| suficientemente grande, p(x) tem o mesmo sinal de an, ou seja, quando an >0, p(x) assume valores positivos tanto para valores de x muito grandes quanto para valores de x muito pequenos e, quando an <0, p(x) assume valores negativos tanto para valores de x muito grandes quanto para valores de x muito pequenos;
2. os termos independentes representam os valores de p(x) quando x = 0, ou seja, o gráfico de p(x) intersecta o eixo y no ponto de abscissa 0 e ordenada igual ao termo independente;
3. se n é ímpar então, p(x) tem o mesmo sinal de an para valores positivos muito grandes de x e tem o sinal oposto de an para valores negativos muito grandes, em módulo, de x, ou seja, quando an >0, p(x) assume valores positivos para valores de
x muito grandes e negativo para valores de x muito pequenos e, quando an <0, p(x)
assume valores negativos para valores de x muito grandes e positivo para valores de
x muito pequenos.
A figura 18 ilustra o comportamento do gráfico de polinômios de grau par (n é par) com coeficientes dominantes positivo (a) e negativo (b) (an>0 ou an <0).
Figura 18 – Registro gráfico das funções polinomiais p(x) = 2(x − 2)(x + 2)(x2 + 1) e
g(x) = −2(x − 2)(x + 2)(x2+ 1) (a) p(x) de grau par (n = 4) e coefi-
ciente líder positivo (an= 2 > 0)
(b) g(x) de grau par (n = 4) e coeficiente líder negativo (an= −2 < 0)
A figura 19 ilustra o comportamento do gráfico de polinômios de grau ímpar (n é ímpar) com coeficientes dominantes positivo (a) e negativo (b) (an >0 ou an<0). Figura 19 – Registro gráfico das funções polinomiais f(x) = 2(x − 2)(x + 2)(x + 1) e
h(x) = −2(x − 2)(x + 2)(x + 1)
(a) f(x) de grau ímpar (n = 3) e coeficiente líder posi- tivo (an = 2 > 0)
(b) h(x) de grau ímpar (n = 3) e coeficiente líder nega- tivo (an = −2 < 0)
Observando as figuras18e19, é possível identificar o ponto de intersecção do grá- fico com o eixo dos y. Será representado, aqui, apenas a interpretação geométrica para o po- linômio p(x). Para isso, será necessário desenvolver a expressão p(x) = 2(x−2)(x+2)(x2+1):
p(x) = 2(x − 2)(x + 2)(x2+ 1) = 2(x2
− 4)(x2+ 1) = 2(x4
− 3x2
− 4)
p(x) = 2x4− 6x2− 8
Sendo o termo independente igual a −8, identifica-se no gráfico de p(x) que esse intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, −8).
Vale ressaltar que todas as funções polinomiais de que tratam a Atividade 1 e a 2 são da forma:
p: R −→ R
x7−→ anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x+ a0
ou
p(x) = anxn+ an−1xn−1+ ... + a1x+ a0