No ítem anterior, discutimos sobre sistemas que obedecem ao critério de balance- amento detalhado, ou seja, sistemas reversíveis que evoluem para estados de equilíbrio, onde toda a informação do sistema é dada por uma função de partição, representada por Z, estabelecida segundo os critérios da estatística de equilibrio de Boltzmann-Gibbs. Aqui, trataremos de sistemas irrevesíveis cuja evolução temporal é governada por uma equação mestra. Neste caso, as taxas de transição que os definem impedem que obede- çam à condição de balanceamento detalhado. Aqui as taxas de transição tomam o lugar das variáveis intensivas, como a temperatura ou o campo externo. Uma pequena variação nessas taxas pode causar uma mudança global no sistema, caracterizando uma transição de fase. A seguir apresentamos uma tabela comparativa (tabela 4.2), referente a alguns modelos considerados de equilíbrio e fora do equilíbrio.
Tabela 4.2: A tabela resume alguns dos modelos pertencentes a processos de equilíbrio e fora do equilíbrio. Esta tabela é proveniente da referência [147].
Modelos de Equilíbrio
Ising ferromagnético Modelo de Heisenberg Modelo XY
Modelos de Potts e Ashkin-Teller
Modelo Ising com vínculos microcanônicos Vidro de Spin
Modelo de Ising em campos aleatórios congelados Sistemas de Ising frustrados
Modelos fora do Equilíbrio
Modelo de Kauffman O jogo da vida
Modelo Ziff-Gulari-Barshad (ZGB) Domany-Kinzel (DK)
Processos irreversíveis de reação-difusão Modelos da classe da conservação da paridade Redes aleatórias booleanas
Modelos Ohta-Jasnov-Kawasaki e Ginzburg-Landau Modelos SOC
Uma característica peculiar relativa a tais sistemas é que eles evoluem para os chamados estados absorventes, os quais são intrísecamente irreversíveis. Um estado ab- sorvente é aquele em que a transição dele para qualquer outro estado é proibida, embora a trasição de outros para ele seja possível. Uma vez nesse estado o sistema permanece nele. Sistemas com tais características são ditos fora do equilíbrio.
O estudo de modelos que descrevam sistemas fora do equilíbrio são relevantes, pois abrangem fenômenos não só em Física, mas em Biologia, Economia, Sociologia, entre outros. Muitos desses modelos, exibem transição de fase contínua para estados absorven- tes. Modelos com essa propriedade possuem o mesmo comportamento crítico e, portanto, pertencem à mesma classe de universalidade. Esta conjectura tem sido corroborada por uma varidade de estudos em uma grande quantidade de modelos como, por exemplo, o modelo processo de contato, modelo de criação por pares e trincas, modelo predador- presa, entre outros [108].
Dentre os exemplos citados anteriormente o caso mais simples, que exibe transi- ção de fase contínua para um estado absorvente, é o processo de contato. Este parece ser o modelo mais simples que exibe transição de fase em uma dimensão. O modelo foi in- troduzido por Harris em 1974 [128] com o intuito de representar o espalhamento de uma epidemia simples.
O processo de contato, consiste em um sistema de partículas interagentes resi- dindo, por exemplo, em uma rede regular de acordo com regras locais e markovianas. Cada sítio i da rede pode estar em dois estados: vazio (si(t) = 0) ou ocupado (si(t) = 1).
Durante a evolução do modelo, escolhe-se um sítio ao acaso. i) Se o sítio estiver vazio, passa a ser ocupado a uma taxa de transição que é proporcional ao número n de primei- ros vizinhos. Então para um sítio que possui m vizinhos ocupados a taxa de transição é dada por λm, sendo λ uma quantidade positiva. Por exemplo, se a rede é unidimen- sional e se os dois primeiros vizinhos estão ocupados, o sítio i é ocupado com taxa λ, (si(t) = 0
λ
Ð→ si(t) = 1). Se houver apenas um sítio primeiro vizinho ocupado, o sítio i
é ocupado com taxa λ/2, (si(t) = 0 λ/2
Ð→ si(t) = 1). Caso contrário, se os dois primeiros
vizinhos estiverem vazios o sítio i permance vazio. ii) E, por fim, se o sítio escolhido estiver ocupado se torna vazio com uma taxa igual a um, (si(t) = 1 Ð→ si(t) = 0). Para
este modelo, o primeiro dos casos é equivalente a um processo de criação autocatalítica de partículas, enquanto o segundo equivale a um processo de aniquilação espontânea de partículas. O estado absorvente é caracterizado por si(t) = 0, pois para um sítio vazio se
descreve bem o processo acima.
(a)
(b)
Figura 4.8:a). b)Representação esquemática do processo de contato em (1+1) dimensão. Os sítios vazios (bolas vazias), são ocupadas com taxas λm, onde m é a fração de sítios vizinhos ocupados e λuma constante positiva. Os sitios ocupados (bolas cheias), se tornam vazios a uma taxa igual a 1.
Harris demonstrou rigorosamente que o processo de contato, no limite termodi- nâmico, possui um estado ativo estável além do estado absorvente. Este fato revela a importância, dado que em sistemas finitos, estudados em simulações numéricas, o estado absorvente é sempre atingido para tempos suficientemente longos [107, 108, 146]. Em sis- temas fora do equilíbrio, existem grandezas que divergem no ponto crítico. E as transições associadas a tais divergências são, geralmente, contínuas e usualmente caracterizadas por leis de escalas universais, como nos processos de equilíbrio.
A seguir, apresentaremos uma teoria de escala fenomenológia que pode ser apli- cada a processos fora do equilíbrio como o processo de contato, a percolação direcionada, entre outros [147]. Neste contexto, uma quantidade relevante a ser levada em conta é o chamado parâmetro de ordem do sistema que, usualmente, é representado pela densidade de sítios ativos, no tempo, definido como
ρ(t) = ܂1 N ∑i
si(t)܂, (4.64)
sendo si(t) = 1 ou si(t) = 0, N o número de sítios da rede e os brakets ܂. . . ܂ a média sobre
os ensembles. Considerando que o sistema seja infinito, na fase ativa ρ(t) decai e, evetual- mente, satura em algum valor estacionário ρest. A densidade estacionária varia continu-
amente com p− pc11 e desaparece no ponto crítico. Próximo da transição o parâmetro de
ordem se comporta de acordo com a lei de potência
ρest∼ (p − pc)β. (4.65)
O expoente β caracteriza a transição e dependende da dimensionalidade do sistema. Em contraste com os processos de equilíbrio, os fenômenos críticos fora do equi- líbrio envolvem o tempo como uma dimensão a mais. Neste caso, além das propriedades espaciais, temos também as temporais. Assim, as transições de fase em sistemas fora do equilíbrio são caracterizadas por um comprimento de correlação adicional, conhecido como comprimento de correlação temporal ξ∥, independente do comprimento de correla- ção espacial ξ⊥. Próximo ao ponto crítico, estas escalas de comprimento divergem como
ξ⊥ ∼ ∣p − pc∣−ν⊥ e ξ∥∼ ∣p − pc∣−ν∥ (4.66)
com ν⊥ e ν∥ os expoentes associados ao comprimento de correlação espacial e temporal, respectivamente. Temos ainda que os comprimentos de correlação espacial e temporal se relacionam por ξ∥∼ ξz
⊥, sendo z= ν∥/ν⊥. z é conhecido como expoente crítico dinâmico por
se relacionar à evolução temporal e espacial do sistema na vizinhança do ponto crítico. Em muitos modelos, os expoentes β, ν⊥ e ν∥ são suficientes para indicar a classe de universalidade. Como exemplo, temos os modelos DK, o modelo ZGB, o processo de contato que pertecem à classe da percolação direcionada, sendo caracterizados pelo mesmo conjunto de expoentes críticos β, ν⊥ e ν∥. Entretanto, isto nem sempre é verdade. Existem modelos que exigem um expoente adicional para definerem bem a classe de uni- versalidade a que pertencem. Consideremos, por exemplo, o caso em que a evolução ocorre a partir de uma única semente em uma rede vazia. Neste caso, é conveniente usarmos como parâmetro de ordem uma quantidade conhecida como probabilidade de sobreviência Ps(t), que é a probabilidade de que um sítio, escolhido ao acaso, pertença a
um aglomerado infinito. Na fase ativa, esta probabilidade é finita e escala como
Ps(t→ ∞) ∼ (p − pc)β ′
(4.67) com β′ caracterizando a transição. Embora β e β′ coincidam para o caso da percolação
direcionada, estes expoentes são diferentes em um contexto mais geral como em modelos
11Neste caso, p é uma probabilidade que serve como parâmetro de controle e p
com múltiplos estados absorventes. Neste caso, as transições de fase entre os estados ab- sorventes são descritas pelo conjunto de expoentes β, β′, ν
⊥ e ν∥, ou seja, quatro expoentes
em vez de três como no caso da percolação direcionada. Os expoentes críticos β e β′ são
relativos a processos de criação e aniquilação de partículas.
Em tempos longos e para sistemas grandes a densidade de partícula ρ(t) inici- ando de uma rede completamente ocupada e a probabilidade de sobreviência Ps(t) de
um aglomerado que cresceu a partir de uma única semente e ainda permanece ativo se complementam. Ambas as quantidades, de acordo com conceitos usuais de escalas em Mecânica Estatística, podem ser escritas como
ρ(t) Ȃ t−αf(∆t 1 ν∥), P s(t) Ȃ t−δg(∆t 1 ν∥), (4.68)
onde os expoentes críticos α e δ se referem processos de decaimento e sobrevivencia de partículas e ∆ = p − pc a distância ao ponto crítico. As quantidades f e g representam
funções de escala universais [149]. Na fase ativa, as duas quantidades saturam em ρstat=
ρ(∞) ∼ ∆αν∥ e P
s(t → ∞) = Ps(∞) ∼ ∆δν∥. Comparando com as equações (4.65) e (4.67), é
possível escrever α= β/ν∥e δ= β′/ν
∥. Um outro expoente crítico de interesse que pode ser
considerado nesses casos é o expotente θ, que obedece à seguinte lei de potência:
N(t) ∝ tθ. (4.69)
Este expoente crítico está associado ao crescimento médio do número de sítios ativos em função de tempos relativamente curtos (dinâmica de tempo curto).
Estes expoentes, da mesma forma que nos processos de equilíbrio, não são todos independentes. Existem certas relações entre eles, algumas delas são:
ν∥(1 + θ) = ν∥+ dν⊥− β − β′, (4.70) ν∥(1 − δ) = ν∥− β′, (4.71) ν∥(d z − δ) = ν⊥− β ′, (4.72) ν∥(d z + 1 − δ) = ν∥+ ν⊥− β ′. (4.73)
Estas relações são deduzidas a partir de propriedades de escala cuja demonstração foge o objetivo deste trabalho. Estão presentes aqui apenas por questões de fundamenta- ção. Para uma leitura mais aprofundada o leitor pode ler a referência [147].
Os expoentes apresentados aqui, são fruto de um grande esforço teórico funda- mentado em observações experimentais. Baseado nesse esforço, atualmente, existem uma variedade de métodos analíticos como Teoria de Campo Médio, Teoria de Campo, Grupo de Renormalização, além de variedade de métodos simulacionais. Todo esse esforço é necessário, pois a determinação precisa dos expoentes permite nos entender de forma acurada comportamento crítico de muitos sistemas de equilíbrio e fora dele presente na Natureza e enquadrá-los nas chamadas classes de universalidade, que são úteis na com- prensão de complicados através de sistemas simples.
Atualmente, uma das classes de universalidade mais conhecidas, e que engloba uma grande quantidade de sistemas físicos, é a da percolação direcionada12. A seguir,
apresentamos, através da tabela 4.3, algumas estimativas dos expoentes críticos referen- tes a esta classe obtidas via campo médio, tecnicas simulacionais e métodos da teoria de campo.
Tabela 4.3: Esta tabela resume algumas estimativas dos expoentes críticos úteis para a classifica- ção da percolação direcionada como uma classe universal. O expoentes foram obtidos mediante técnicas analíticas, como Campo Médio (CM), métodos da Teoria da Campo e técnicas simulacio- nais. Esta tabela com expentes críticos da percolação direcionada é proveniente da referência [147].
Expoentes críticos Técnicas analíticas Simulação
- CM d= 4 − ǫ d= 1 d= 2 d= 3 β= β′ 1 1− ǫ/6 − 0.01128ǫ2 0.276486(8) 0.584(4) 0.81(1) ν⊥ 1/2 1/2 + ǫ/16 + 0.02110ǫ2 1.096854(4) 0.734(4) 0.581(5) ν∥ 1 1+ ǫ/12 + 0.02238ǫ2 1.733847(6) 1.295(6) 1.105(5) z 2 2− ǫ/12 + 0.02921ǫ2 1.580745(10) 1.76(3) 1.90(1) δ= α 1/2 1− ǫ/4 − 0.01283ǫ2 0.159464(6 0.451 0.73 θ 1/2 ǫ/12 + 0.03751ǫ2 0.313686(8) 0.230 0.12
12Historicamente, o conceito de percolação surgiu com Broadbent e Hammersley no final da década de 1950. Este conceito é relativo
ao estudo de fenômenos de transporte de um fluido em um meio poroso. Por exemplo, o fluxo de petróleo através de uma rocha. O modelo da percolação concentra-se em descrever o meio poroso que pode ser visto como uma rede de canais aleatórios por onde escoa um fluido determinístico [150].
ESTUDO DAS PROPRIEDADES CRÍTICAS DO PROCESSO
EPIDÊMICO DIFUSIVO 1D
“Ofereço [os Principia] como os princípios matemáticos da Filosofia, pois toda a essência da Filosofia parece con- sistir nisso - a partir dos fenômenos do movimento, in- vestigar as forças da Natureza e, então, a partir dessas forças, demonstrar outros fenômenos."
Isaac Newton (1642− 1727)
No capítulo 4, vimos que muito dos sistemas da Natureza são dinâmicos e com- plexos. Seus elementos constituintes podem se difundir e, com isso, transportar algum tipo de informação ou mesmo propagar uma doença em uma dada população. Muitos desses sistemas possuem propriedades de interesse físico como, por exemplo, transição de fase. Esse fenômeno é comum na Natureza e a manifestação mais simples dele é a ma- neira como a água, na forma líquida, se transforma em gelo ou em vapor. Um outro exem- plo de interesse, que manifesta o fenômeno de transição de fase, é a propagação de uma epidemia. Neste capítulo, trataremos desse assunto, através do estudo das propriedades críticas de um processo epidêmico difusivo (P ED) em uma cadeia unidimensional via o Método de Busca Automática (MBA). A seguir, apresentamos o algoritmo que descreve o MBA. Em seguida, faremos uma descrição do P ED, apresentando, posteriormente,
nossos resultados e discussões.
5.1 Método de Busca Automática
Uma das grandes dificuldades em estudar a criticalidade de sistemas físicos é a determinação do ponto crítico do sistema. Existem, entretanto, muitos métodos para este fim. Entre os tais podemos citar: cumulante de binder [127], colápso de dados [129], razão entre momentos da distribuição do parâmetro de ordem [126,130,131], entre outros. Mesmo assim, encontrar esses pontos críticos continua sendo um desafio.
Uma novidade na teoria dos fenômenos críticos surgiu com o conceito de critica- lidade auto-organizada introduzido por Per Bak et al em 1988 [132]. De acordo com esta teoria, o sistema evolui espontaneamente para o estado crítico. Um exemplo típico é uma pilha de areia. Nesse problema, cada vez que é solta areia na pilha, ocorrem avalanches. À medida que ocorrem avalanches, a inclinação da pilha de areia varia desde um valor mí- nimo a até um valor máximo. No regime de máxima inclinação, o sistema se encontra em um estado meta-estável, onde qualquer perturbação pode produzir grandes avalanches.
A distribuição dos tamanhos das avalanches obedece a uma lei de potência, sig- nificando que quando o sistema se encontra nesse estado é impossível prever o tamanho da próxima avalanche. Para o caso da pilha de areia, quando o sistema se encontra na região subcrítica ou supercrítica, a tendência natural é o sistema se dirigir à região crítica, onde temos o comportamento tipo lei de potência. As figuras 5.1(a) e 5.1(b), ilustram bem o comportamento descrito acima.
Inspirado na ideia de criticalidade auto-organizada, Andrade Jr. et al introduzi- ram, em 1997, um novo método para determinação de pontos críticos conhecido como Método de Busca Automática(MBA) [133]. Este método tem se mostrado eficiente, apresen- tando uma sensível redução no tempo de simulação computacional e obtendo resultados satisfatórios mesmo para redes pequenas. Além do mais, tem se mostrado útil na deter- minação das propriedades críticas em uma variedade de sistemas físicos, como: sistemas percolativos [134], sistemas magnéticos [135, 136], sistemas epidêmicos [16], entre outros.
(a) (b)
Figura 5.1: a) Representação pictórica de avalanches em uma pilha de areia. À medida que colocamos areia acontecem avalanhces de todos os tamanhos. Figura disponível em: http://irevolution.wordpress.com/category/early-warning/. b) Representação em lei de potên- cia da distribuição dos tamanhos das avalanches simulado em uma rede cúbica de tamanho 20× 20 × 20. A linha pontilhada tem inclinação −1.37. Figura proveniente da referência [132].
O MBA é definido por uma técnica auto-adaptativa que, recursivamente, evolui o sistema para sua região crítica. O algorítmo, para este método, é baseado em uma relação iterativa expressa por:
Xn+1= Xn− α(Yn− Y∗) (5.1)
que envolve duas variáveis acopladas (Xn, Yn), relativas ao sistema estudado. As variá-
veis (Xn, Yn) mudam a cada passo de tempo n, de forma que após um número suficiente
de passos, Xnconverge para o valor estacionário X∗compatível com o valor estacionário
Y∗ ≡ Y (X∗). A taxa de convergência para o estado estacionário é controlada pelo parâ-
metro α. Dessa forma, dado o valor inicial de X0, Y∗e α, o sistema evolui iterativamente
como segue: (X0, Y0) → (X1, Y1) → (X2, Y2) → ⋅⋅⋅ → (X∗, Y∗), onde permanece em uma
oscilação aleatória (bacia atratora). Neste regime, após um tempo longo de oscilação em torno de (X∗, Y∗), calculamos X∗
c como o valor médio das oscilações estacionárias. Na
verdade, o método é aplicável se conhecemos previamente o valor de Y∗. Usualmente, Y
é a variável que fornece o ponto crítico. A figura 5.2 procura ilustrar o comportamento do MBA. A figura 5.2(a) representa o comportamento do parâmetro de ordem em função do parâmetro de controle. Já a figura 5.2(b) representa o processo iterativo do método durante sua evolução temporal.
(a) (b)
Figura 5.2: a) Representação pictórica da evolução do MBA em função das variáveis Xn e Yn, sendo Xn o parâmetro de controle e Yn o paramâmetro de ordem. b) Repersentação numérica da evolução de Y no tempo, mostrando que o sistema evolui para o estado estacionário onde permanece oscilando em torno da região crítica.