O MEF é freqüentemente empregado na análise de estruturas reforçadas. As principais vantagens da utilização do MEF, com relação às análises baseadas no MEL, são a incorporação do estado atual de tensões e poropressões e a previsão de deslocamentos.
Alguns autores como Zhang et al. (1999) e Galli et al. (2004) destacam a importância de se realizar análises tridimensionais em estruturas geotécnicas estabilizadas por meio de reforços
Figura 2.9 - Deslocamento horizontal máximo observado em taludes grampeados.
0 5 10 15 20 25 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Clouterre (1991) Azambuja et al. (2003) Pitta et al. (2003) Pitta et al. (2003) § Feijó (2005) Lima (2007) Lima (2007) § deslocamento de 0,1 % deslocamento de 0,25 % deslocamento de 0,5 % E le va ção do t al u de ( m ) Deslocamento horizontal (mm)
2 - Revisão Bibliográfica equivalentes. Alguns casos que não atendem à condição de deformação plana são geralmente reduzidos a esta condição devido à praticidade e a economia computacional. Entretanto, as análises 2D não podem representar adeqüadamente a interação solo grampo (Zhang et al., 1999). Adicionalmente, as análises 2D são incapazes de representar características associadas a disposições não regulares de reforço. Deste modo, dependendo da importância da obra e das condições do problema, as análises 3D são a alternativa apropriada na realização de uma análise mais representativa.
Quando uma estrutura é modelada baseada num mecanismo contínuo, é evidente que os reforços representam uma descontinuidade na distribuição da rigidez. Para tratar esta descontinuidade, Kwak & Filippou (1990) relatam três métodos existentes para a modelagem de inclusões: o homogeneizado (smeared), o discreto e o embutido (embedded).
O método homogeneizado representa a abordagem mais simples na análise de estruturas reforçadas. Este método é adequado para distribuições regulares de reforço, de tal modo que as propriedades dos elementos, na região reforçada da estrutura, são alteradas uniformemente. Também é possível considerar o material reforçado como um novo material cujas propriedades podem ser obtidas experimentalmente. Este método é mais apropriado para a simulação de algumas estruturas de concreto armado onde a distribuição de reforço seja regular, no entanto, não é apropriado para a análise de estruturas reforçadas com o solo grampeado. Isto se deve a que no solo grampeado os reforços podem ser distribuídos em forma irregular no talude, além disso, os reforços podem ter inclinações e comprimentos variados.
O método discreto corresponde à utilização convencional do MEF, onde os reforços são considerados na análise como elementos de barra ou viga, sendo possível a análise de distribuições irregulares do reforço. No entanto, como é evidente, na análise discreta, a conectividade dos elementos que representam o reforço deve ser compatível com os nós dos elementos sólidos ao redor. Este fato traz a desvantagem de se ter que gerar uma nova malha para cada nova configuração de reforço a ser analisada em um mesmo domínio. As malhas geradas para trabalhar com este método requerem, ainda, refinamentos que acompanhem adequadamente a geometria do reforço, condicionando assim, a geometria dos elementos sólidos (Figura 2.10a). Esta situação é mais complicada em malhas 3D devido à carência de geradores tridimensionais que abordem este problema, obrigando, muitas vezes, à intervenção manual durante a geração.
Por outro lado, no método embutido, é permitido que os reforços atravessem os elementos sólidos sem restrições, portanto, é possível utilizar uma mesma malha de fundo e analisar diferentes configurações de reforço. Esta característica torna-se a principal vantagem deste
2 - Revisão Bibliográfica método. A Figura 2.10b mostra a disposição dos reforços com relação aos elementos sólidos numa análise pelo método embutido. Nesta figura é possível observar que os reforços não possuem conectividade com os nós dos elementos sólidos. Desta forma, a princípio, a posição dos reforços é definida somente em função dos seus pontos inicial e final.
Uma vez definidos os pontos inicial e final de um reforço, uma rotina de pré- processamento deve determinar os pontos de interceptação do reforço como os elementos sólidos. Desta forma são obtidos vários segmentos virtuais de reforço, cada um deles contido dentro de um elemento atravessado. No método embutido, a contribuição de cada segmento de reforço pode ser interpretada como um acréscimo na rigidez do correspondente elemento sólido atravessado. Esta contribuição de rigidez é realizada de forma localizada, dependendo do comprimento e da posição do segmento de reforço dentro do elemento que o contém. Uma forma de visualizar este processo é considerando que o segmento de reforço possa ser transformado em um elemento sólido equivalente. Este elemento sólido equivalente deverá ser da mesma natureza que o elemento atravessado. Desta forma as matrizes de rigidez terão as mesmas dimensões e poderão ser somadas durante a análise. A Figura 2.11 mostra esquematicamente este processo.
Um dos trabalhos pioneiros em aplicar o método embutido foi elaborado por Elwi &
Figura 2.11 - Interpretação da contribuição de um segmento de reforço na rigidez do elemento atravessado através da transformação em um elemento sólido equivalente.
Figura 2.10 - Malhas de elementos finitos para diferentes abordagens: a) Método Discreto; b) Método Embutido.
2 - Revisão Bibliográfica (1997) desenvolveu uma formulação 2D aplicada à simulação de reforços verticais passivos (estacas). Nas suas implementações utilizou o algoritmo da Relaxação Dinâmica aplicado a problemas de equilíbrio. Este algoritmo é baseado na geração de forças internas contrárias ao movimento de massa do solo instável. Soluções similares foram implementadas por Da Silva (1999) para o caso de reforços como grampos, e por Charbel (1996) para o caso de cabos e tirantes em maciços rochosos.
Em geral, o método embutido considera a hipótese da compatibilidade de deslocamentos entre os reforços e os elementos sólidos (aderência perfeita na interface entre o reforço e o material reforçado). Ou seja, não se considera a existência de deslocamento relativo entre os dois materiais. No entanto, o comportamento da interface é particularmente importante porque pode determinar o nível de transmissão de tensões do material reforçado para o reforço, além de estabelecer a ruptura no contato. Para obter uma medida do deslocamento relativo, Hartl et
al. (2000) desenvolveram um esquema que incorpora elementos de interface, modificando
assim o método embutido. No entanto, os autores notaram a necessidade de realizar dois níveis de análise. Um para o sistema global considerando a hipótese de aderência perfeita e outro para um novo sistema representado por uma treliça unidimensional que associa todos os segmentos do reforço junto a molas (elementos de interface) que assumem deslocamentos prescritos provenientes do primeiro sistema (Figura 2.12). Os deslocamentos nestes dois sistemas devem ser compatibilizados através de um processo iterativo global, o que torna o método dispendioso. Posteriormente, Durand (2003) aplicou uma abordagem similar na simulação de solo reforçado, porém, com o mesmo inconveniente.
Outra desvantagem do método embutido encontra-se na dificuldade de aplicar condições de contorno nos reforços, uma vez que estes são interpretados na análise como segmentos
Figura 2.12 - Representação do esquema de simulação da interface para prever deslocamentos relativos pelo Método Embutido (modificado - Hartl, 2002).
Domínio da simulação
nó do elemento sólido
Modelo de treliça
nó do segmento de reforço
elemento de treliça (segmento de reforço)
deslocamento prescrito elemento de interface
2 - Revisão Bibliográfica virtuais que não possuem conexão direta com a malha de elementos finitos e, portanto, não possuem nós visíveis a nível global. A possibilidade da aplicação de condições de contorno no reforço é particularmente útil, por exemplo, na simulação de ensaios de arrancamento, onde é aplicada uma força ou deslocamento imposto no extremo do reforço. Durand (2003) utilizou uma série de artifícios para simular ensaios de arrancamento em conjunto com elementos de interface. A característica principal da sua abordagem consistia em fazer com que as condições de contorno fossem distribuídas e aplicadas nos nós de um elemento sólido adicional localizado no extremo do reforço.
Por outro lado, é possível a análise de elementos drenantes por meio de métodos similares aos utilizados nos reforços. A análise de drenos pelo método discreto representa a abordagem convencional, no entanto, é possível estender o método embutido aplicado em reforços para este tipo de análise. Em geral, existem poucos trabalhos que estudam o uso de métodos que não sejam baseados numa abordagem discreta. Entre estes trabalhos tem-se o de Andrade (2003) que desenvolveu uma formulação para a simulação de elementos drenantes tais como poços e drenos sub-horizontais em condições 2D e 3D. Na sua formulação, o autor transforma a matriz de permeabilidade de um segmento de dreno em outra equivalente de dimensões compatíveis com as do elemento atravessado. Desta forma, durante a análise, a matriz de permeabilidade transformada do dreno pode ser adicionada à matriz de permeabilidade do elemento atravessado, levando em conta assim o efeito drenante. Posteriormente, Durand & Farias (2006) estudam o comportamento de drenos sub-horizontais em analises de equilíbrio e fluxo acoplado 3D. Na formulação, os autores utilizam a hipótese da compatibilidade de gradientes hidráulicos entre o elemento de dreno embutido e o elemento atravessado para obter a matriz de permeabilidade equivalente do dreno. Porém, esta formulação somente seria aplicável em situações de saturação completa.