Este método possibilita uma representação dos reforços na sua exata posição espacial, sem nenhum incremento nos graus de liberdade no sistema, uma vez que permite que os reforços atravessem livremente os elementos sólidos da malha de elementos finitos. Desta forma, é possível a utilização de uma única malha de fundo em uma análise na qual se pretende estudar diferentes configurações de reforço. A Figura 5.2 mostra esquematicamente a disposição de um reforço com relação aos elementos sólidos.
A parte inicial na aplicação deste método consiste na discretização dos reforços. Uma vez definidas as posições dos reforços para a análise, cada reforço é discretizado, ou dividido, em
Figura 5.2 - Possível posição dos reforços numa análise pelo Método Discreto elementos sólidos reforço dividido em elementos de barra de dois nós ponto de integração da barra embutida ) 5.6 (
5 - Modelagem dos Reforços elementos de barra denominados “embutidos”. Esta divisão é realizada em função dos elementos sólidos atravessados, de forma que para cada elemento sólido atravessado corresponde um elemento de barra embutido. Este procedimento de divisão pode ser realizado por meio do algoritmo apresentado previamente no item 4.3. Os elementos de barra embutidos obtidos são considerados “virtuais” uma vez que estes não possuem conectividade com a malha de elementos e a sua contribuição é considerada com aumento na rigidez do elemento atravessado. Desta maneira, os elementos embutidos não possuem nós visíveis em nível global, razão pela qual, não é possível a aplicação de condições de contorno diretamente sobre estes reforços.
A contribuição de um elemento de barra embutido pode ser levada em conta em termos da sua matriz de rigidez. No entanto, é necessário determinar uma matriz de rigidez equivalente cujas dimensões sejam compatíveis com as do elemento sólido. Desta forma, as matrizes de rigidez da barra embutida e do sólido atravessado podem ser somadas posteriormente durante a montagem da matriz de rigidez global.
A principal hipótese utilizada neste método é a existência de aderência perfeita entre os reforços e o solo. Nesta hipótese, os dois materiais possuem o mesmo campo de deslocamentos e conseqüentemente de deformações. Deste modo é possível derivar a formulação da matriz de rigidez por meio da compatibilidade de deslocamentos ou de deformações. A seguir, são apresentadas as formulações correspondentes a estas duas alternativas.
5.2.1 Formulação derivada da compatibilidade de deslocamentos
A formulação aqui apresentada é baseada nos trabalhos de Andrade (2003), e Durand (2003). Inicialmente, considere-se um elemento sólido atravessado por um elemento de barra embutido, como mostrado na Figura 5.3. Nesta figura podem-se observar os nós do elemento embutido, dois dos quais correspondem aos pontos de interceptação com as faces do elemento sólido. Adicionalmente, pode-se observar também a localização dos pontos de integração do elemento embutido. elemento sólido elemento embutido ponto de integração nó do elemento embutido
5 - Modelagem dos Reforços Por meio das funções de interpolação do elemento sólido atravessado, é possível expressar os deslocamentos dos nós do elemento embutido em função dos deslocamentos nodais do elemento atravessado. Desta forma pode-se escrever:
𝑢𝑒𝑚𝑏1 𝑣𝑒𝑚𝑏1 𝑤𝑒𝑚𝑏1 𝑢𝑒𝑚𝑏2 𝑣𝑒𝑚𝑏2 ⋮ 𝑢𝑒𝑚𝑏𝑚 𝑣𝑒𝑚𝑏𝑚 𝑤𝑒𝑚𝑏𝑚 = 𝑁1,1 0 0 𝑁2,1 0 ⋯ 𝑁𝑛,1 0 0 0 𝑁1,1 0 0 𝑁2,1 ⋯ 0 𝑁𝑛,1 0 0 0 𝑁1,1 0 0 ⋯ 0 0 𝑁𝑛,1 𝑁1,2 0 0 𝑁2,2 0 ⋯ 𝑁𝑛,2 0 0 0 𝑁1,2 0 0 𝑁2,2 ⋯ 0 𝑁𝑛,2 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑁1,𝑚 0 0 𝑁2,𝑚 0 ⋯ 𝑁𝑛,𝑚 0 0 0 𝑁1,𝑚 0 0 𝑁2,𝑚 ⋯ 0 𝑁𝑛,𝑚 0 0 0 𝑁1,𝑚 0 0 ⋯ 0 0 𝑁𝑛,𝑚 𝑢𝑎𝑡𝑟1 𝑣𝑎𝑡𝑟1 𝑤𝑎𝑡𝑟1 𝑢𝑎𝑡𝑟2 𝑣𝑎𝑡𝑟2 ⋮ 𝑢𝑎𝑡𝑟𝑛 𝑣𝑎𝑡𝑟𝑛 𝑤𝑎𝑡𝑟𝑛
onde 𝑚 é o número de nós da barra embutida, 𝑛 é o número de nós do elemento atravessado,
𝑢𝑒𝑚𝑏 1,𝑣𝑒𝑚𝑏 1,𝑤𝑒𝑚𝑏 1,… ,𝑢𝑒𝑚𝑏 𝑚,𝑣𝑒𝑚𝑏 𝑚,𝑤𝑒𝑚𝑏 𝑚 são os deslocamentos nodais da barra embutida,
𝑢𝑎𝑡𝑟 1,𝑣𝑎𝑡𝑟 1,𝑤𝑎𝑡𝑟 1,…,𝑢𝑎𝑡𝑟 𝑛,𝑣𝑎𝑡𝑟 𝑛,𝑤𝑎𝑡𝑟 𝑛 são os deslocamentos nodais do elemento atravessado e
𝑁𝑖,𝑗 representa a função de forma do nó 𝑖 do elemento atravessado avaliada na posição correspondente à do nó 𝑗 do elemento embutido. A avaliação de 𝑁𝑖,𝑗 requer a determinação das coordenadas locais do nó 𝑗 da barra embutida no sistema local associado com o elemento atravessado. Estas coordenadas locais podem ser calculadas por meio do mapeamento inverso das coordenadas globais do nó 𝑗 da barra. A Eq. 5.7 pode ser escrita na forma condensada como 𝐔𝑒𝑚𝑏 =𝐍′𝐔𝑎𝑡𝑟 em que 𝐔𝑒𝑚𝑏 é o vetor de deslocamentos da barra, 𝐔𝑎𝑡𝑟 é a matriz de
deslocamentos do elemento atravessado e 𝐍′ é a matriz que permite associar estes deslocamentos.
Tendo associado os deslocamentos de ambos os elementos, a deformação axial da barra pode ser escrita em função dos deslocamentos nodais do elemento atravessado como 𝜀 =
𝐁𝐍′𝐔
𝑎𝑡𝑟, sendo que 𝐁 é a matriz deformação-deslocamento de um elemento de barra
convencional. Considerando a matriz linha 𝐁𝑒𝑚𝑏 =𝐁𝐍′ , a deformação axial pode ser reescrita como:
𝜀𝑒𝑚𝑏 =𝐁𝑒𝑚𝑏𝐔𝑎𝑡𝑟
Uma vez expressa a deformação axial da barra em função dos deslocamentos nodais do elemento atravessado, a matriz de rigidez do elemento de barra embutido pode ser determinada por:
𝐊𝑒𝑚𝑏 = 𝐁𝑒𝑚𝑏𝑇 𝐷𝐁𝑒𝑚𝑏 d𝑉 𝑉
A integração numérica desta equação é realizada através dos pontos de integração do elemento de barra (Figura 5.3). Durante a montagem da matriz de rigidez global, a matriz de ) 5.9 ( ) 5.8 ( ) 5.7 (
5 - Modelagem dos Reforços rigidez do elemento embutido pode ser adicionada à do elemento sólido ou pode ser montada diretamente sobre a matriz de rigidez global, como se houvesse dois elementos sobrepostos naquela região. Após a montagem e a solução do sistema, o vetor de incrementos de forças internas de um elemento de barra embutido pode ser calculado em função do incremento de tensão axial Δσ como:
Δ𝐅𝑒𝑚𝑏 = 𝐁𝑒𝑚𝑏𝑇 Δσd𝑉 𝑉
O tamanho do vetor Δ𝐅𝑒𝑚𝑏 é compatível com as dimensões do elemento atravessado.
5.2.2 Formulação derivada da compatibilidade de deformações
A abordagem aqui apresentada é baseada nos trabalhos de Elwi & Hrudey (1989) e Hartl et
al. (2000). Nesta abordagem, é necessário obter a deformação axial da barra a partir do campo
de deformações do elemento atravessado. O vetor de deformações dentro do elemento sólido é dado por 𝛆𝑎𝑡𝑟 = 𝐁𝑎𝑡𝑟𝐔𝑎𝑡𝑟, em que 𝐁𝑎𝑡𝑟 representa a matriz deformação-deslocamento do elemento atravessado. Dado este vetor, a determinação da deformação axial em um ponto do domínio da barra pode ser obtida por meio da projeção do vetor 𝛆𝑎𝑡𝑟 na direção 𝑟1 𝑟2 𝑟3 da barra. Esta projeção é realizada por meio de uma matriz 𝐓, de forma que a deformação axial resulta definida como 𝜀𝑒𝑚𝑏 = 𝐓𝛆𝑎𝑡𝑟 ou em forma mais explícita como:
𝜀𝑒𝑚𝑏 =𝐓 𝐁 𝑎𝑡𝑟𝐔𝑎𝑡𝑟 𝛆𝑎𝑡𝑟 onde a matriz 𝐓 pode ser expressa como 𝐓 = 𝑟12 𝑟
22 𝑟32 𝑟1𝑟2 𝑟2𝑟3 𝑟1𝑟3 .
Uma vez obtida a deformação axial da barra em função dos deslocamentos nodais do elemento atravessado, a matriz de rigidez do elemento embutido fica determinada por:
𝐊 = 𝐓𝐁𝑎𝑡𝑟 𝑇 𝐷 𝐓𝐁𝑎𝑡𝑟 𝑑𝑉
Na integração numérica desta equação, a matriz 𝐁𝑎𝑡𝑟 deve ser avaliada para os pontos de
integração do elemento embutido. Desta forma, é necessário encontrar as coordenadas locais destes pontos no sistema associado ao elemento atravessado. Estas coordenadas podem ser obtidas por meio da aplicação do mapeamento inverso nas coordenadas globais dos pontos de integração da barra.
Após a solução do sistema e da determinação dos deslocamentos nodais e do incremento de tensão axial Δσ no elemento embutido, as forcas internas podem ser calculadas como:
) 5.12 ( ) 5.11 ( ) 5.10 (
5 - Modelagem dos Reforços Durante a integração numérica desta equação, devem ser levadas em conta as mesmas considerações feitas para a matriz de rigidez.