3. Teori
3.6 Oppsummering og hypoteser
Considere-se um sistema dinâmico contínuo no tempo governado por um conjunto de equações diferenciais e assuma-se que apenas uma das suas saídas está disponível para medição. Isto é, um sistema descrito pelo seguinte modelo matemático:
𝑥̇ = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑔(𝑥, 𝑡) 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑢, 𝑡)
𝑦𝑜𝑏𝑠[𝑛] = 𝑐𝑇𝑦[𝑛] + 𝑤[𝑛]
(3.1)
onde 𝑥 ∈ ℝ𝑛 denota o vetor de estado, 𝑦 ∈ ℝ𝑞 o vetor de saída, 𝑢 ∈ ℝ𝑚 o vetor de controlo,
𝑓, 𝑔, ℎ três funções vetoriais não-lineares, 𝑡 o tempo e 𝑥̇ ≡ 𝑑𝑥/𝑑𝑡. A terceira equação, 𝑦𝑜𝑏𝑠∈ ℝ, denota a única saída observável do sistema, que é medida com uma dada frequência
de amostragem constante, 𝑓𝑠, e tem em conta Ruído Branco Gaussiano Aditivo (AWGN), 𝑤,
representando o ruído introduzido inevitavelmente pelo sensor de medição ou resultante de um dado algoritmo de fusão de dados. 𝑐 ∈ ℝ𝑞 denota o vetor de saída. Na primeira equação,
𝑔 pode ser desconhecida, representa possíveis dinâmicas não modeladas, incertezas nos parâmetros e/ou perturbações externas variantes no tempo.
Dado que o modelo (3.1) é descrito por funções não-lineares, o sistema pode exibir, como bem sabido: pontos fixos (estados de equilíbrio); movimentos periódicos; movimentos quasiperiódicos; ou movimentos caóticos, dependendo dos valores dos parâmetros e de eventuais perturbações externas se estas tiverem determinadas características (frequência e amplitude). O movimento caótico pode ser desejável ou não dependendo da aplicação. Contudo, para a maioria dos sistemas dinâmicos, o comportamento caótico não é desejado porque pode levar a cenários catastróficos. Por conseguinte, o problema a ser resolvido consiste na formulação de um detetor automático capaz de detetar a ocorrência de modos caóticos em tempo-real assumindo que 𝑦𝑜𝑏𝑠 é a única informação disponível e que esta está
corrompida com ruído dos sensores.
Considere-se um sistema linear, contínuo, invariante no tempo, e estável, descrito como se segue, 𝑧̇ = 𝐴𝑧 + 𝑏𝑦𝑜𝑏𝑠: [𝑧̇1 𝑧̇2 ] = [𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ] [𝑧1 𝑧2 ] + [𝑏1 𝑏2 ] 𝑦𝑜𝑏𝑠 (3.2)
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onde 𝑧 ∈ ℝ2 denota o vetor de estado, 𝑦
𝑜𝑏𝑠 ∈ ℝ a variável de controlo e que corresponde ao
sinal a ser analisado, 𝐴 ∈ ℝ2×2 uma matriz de estado de Hurwitz (matriz estável), isto é, uma
matriz cujos todos os seus valores próprios tenham partes reais negativas, Re[𝜆𝑖(𝐴)] < 0,
𝑖 = 1, 2, e 𝑏 ∈ ℝ2 o vetor de controlo, com 𝑏 ≠ 0.
Seja a equação (3.2) resolvida por um método apropriado (ex.: Euler, Runge-Kutta, …) passo- a-passo à medida que cada nova medição 𝑦𝑜𝑏𝑠(𝑛) se encontra disponível, isto é, com um passo
𝛿𝑡 igual a 1/𝑓𝑠. Considere-se de seguida uma janela de observação deslizante, de
comprimento 𝑁 pontos, compreendendo os instantes 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁 para os quais 𝑧2 apresenta
máximos locais, onde o 𝑡𝑖 mais antigo é descartado de cada vez que um novo máximo é
encontrado e o novo 𝑡𝑗 é introduzido com base numa filosofia FIFO (First-In, First-Out).
Calcule-se agora os ∆𝑡′𝑠, ∆𝑡𝑛= 𝑡𝑛+1− 𝑡𝑛, entre cada dois máximos locais consecutivos e
obtenha-se uma série temporal composta por 𝑁 − 1 pontos. Na ausência de ruído, existirá um número finito, 𝑘, de ∆𝑡′𝑠 repetidos no caso de uma série regular, independentemente de quantos períodos tenha o sinal, e um número ‘infinito’, 𝑘, de diferentes ∆𝑡′𝑠 no caso de uma série caótica. Esta é a ideia chave por detrás do novo detetor de caos. O caos é caracterizado por um movimento altamente imprevisível que apresenta inúmeros máximos locais em diferentes instantes temporais. A Figura (3.1) mostra a janela de observação para um sinal 𝑧2(𝑡).
Figura 3.1. Determinação da janela de observação: instantes para os quais 𝑧2 apresenta máximos locais
(maximizantes do sinal 𝑧2).
O próximo passo consiste em ordenar os ∆𝑡′𝑠 por ordem ascendente. Isto resulta uma série temporal em forma de degraus (𝑘 finito) como representado no gráfico superior da Figura (3.2) para o caso de um sinal regular 𝑧2, e uma série temporal com a aparência de uma
função exponencial (𝑘 ‘infinito’) para o caso de um sinal caótico 𝑧2. Posteriormente,
calculando os Δ(Δ𝑡)′𝑠, Δ(Δ𝑡)𝑛= Δ𝑡𝑛+1− Δ𝑡𝑛, obtém-se uma série temporal de 𝑁 − 2 pontos
contendo as variações entre os diferentes degraus, ou, por outras palavras, a derivada
𝒕 𝒛𝟐 ∆𝑡1 ∆𝑡2 … ∆𝑡𝑘 ∆𝑡1 ∆𝑡2 … ∆𝑡𝑘 … … … ∆𝑡𝑘 𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡4 𝑡5 𝑡6 𝑡7 𝑡8 … … … 𝑡𝑁 Janela de observação 1 𝑁 − 1
39 numérica dessa série temporal. Ocorre que existirá 𝑘 − 1 degraus diferentes em que 𝑘 é um número finito para um sinal 𝑧2 regular e um número ‘infinito’ (ou pelo menos muito grande)
para um sinal caótico 𝑧2. É importante realçar que o número de degraus diferentes depende
exclusivamente da complexidade de 𝑧2 dado que não existe qualquer tipo de relação com o
tamanho da janela de observação. Quanto mais imprevisível for a trajetória, mais degraus diferentes existirão. O último passo consiste em descartar os picos isolados, isto é, os pontos cujos pontos imediatamente antes e depois são ambos zero. A Figura (3.2) ilustra todo o processo para o caso de um sinal 𝑧2.
Figura 3.2. Representação dos ∆𝑡𝑚 por ordem ascendente – gráfico superior; e representação dos Δ(Δ𝑡𝑚)
(linha preta/sólida) e Δ(Δ𝑡𝑚) com picos isolados removidos (linha vermelha/tracejada) – gráfico inferior.
Efetuando este procedimento para cada janela de observação, o caos é distinguido facilmente do movimento regular. A série temporal resultante (ou o vetor resultante, computacionalmente falando) é um vetor nulo se 𝑧2 for um sinal regular, e é um vetor em que
a maioria dos seus pontos estão acima da linha do zero se 𝑧2 for um sinal caótico. A fim de
detetar automaticamente esta diferença sem recorrer ao auxílio de ajudas visuais, defina-se o seguinte rácio:
𝑅 =𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜
𝑛º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜 (3.3)
Deste modo, o movimento regular (periódico / multiperiódico) é caracterizado por um rácio 𝑅 = 0, e o movimento caótico por um rácio 𝑅 ≫ 0, - quando 𝑧2 é um sinal ‘limpo’. Na
presença de ruído, 𝑤 ≠ 0, ocorre que 𝑅 é ligeiramente maior que zero. A deteção efetua-se portanto com base num dado limiar (pequeno) 𝛾, 𝛾 > 0, sendo, obviamente, que quanto maior a potência do ruído, maior deve ser o 𝛾.
∆𝑡1 ∆𝑡𝑘 ∆𝑡2 … ∆𝒕𝒎 𝒎 𝑁 − 1 1 ∆(∆𝒕𝒎) 𝒎 𝑁 − 2 1 0 0
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Por uma questão de conveniência, apresenta-se de seguida, de uma forma sumariada, o algoritmo de deteção proposto:
Algoritmo do Novo Detetor de Caos (Velosa & Bousson, 2015b):
1) considerar uma janela de observação de 𝑁 pontos e inicializá-la com zeros; 2) inicializar o rácio 𝑅 com zero, 𝑅(0) = 0;
3) definir um limiar 𝛾 > 0 (𝛾 pequeno, ex.: 𝛾 = 1);
4) obter 𝑦𝑜𝑏𝑠(𝑛) com um dado período de amostragem 1/𝑓𝑠; 𝑛 = 1, 2, …;
5) resolver 𝑧̇ = 𝐴𝑧 + 𝑏𝑦𝑜𝑏𝑠 passo-a-passo com um passo 𝛿𝑡 = 1/𝑓𝑠;
6) se 𝑧2(𝑛 − 1) for um máximo local:
atualizar a janela de observação com o respetivo maximizante 𝑡𝑛;
calcular os ∆𝑡′𝑠 entre os máximos locais, ∆𝑡𝑛= 𝑡𝑛+1− 𝑡𝑛;
ordenar os ∆𝑡′𝑠 por ordem ascendente;
calcular os 𝛥(𝛥𝑡)′𝑠, 𝛥(𝛥𝑡)𝑛= 𝛥𝑡𝑛+1− 𝛥𝑡𝑛;
descartar os pontos cujos valores imediatamente antes e depois são ambos zero; calcular o rácio 𝑅(𝑛) pela expressão (3.3);
caso contrário:
manter o rácio anterior, 𝑅(𝑛) = 𝑅(𝑛 − 1); 7) se 𝑅(𝑛) > 𝛾 “comportamento caótico” 𝑅𝑏𝑖−𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜(𝑛) = 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜; caso contrário: “comportamento regular” 𝑅𝑏𝑖−𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜(𝑛) = 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜; 8) ir para o passo (4);
Note-se que o algoritmo proposto é sempre exequível a não ser que o tempo de computação entre os passos (4) e (7), Δ𝑇, exceda o tempo decorrido entre sucessivas medições 𝑦𝑜𝑏𝑠(𝑛),
𝑛 = 1, 2, …, isto é, o período de amostragem definido por 1/𝑓𝑠. Desta forma, Δ𝑇 < 1/𝑓𝑠 é a
única condição de exequibilidade para permitir uma deteção em tempo-real. Uma outra observação que vale a pena mencionar encontra-se no passo (6). Dada a necessidade de encontrar os máximos locais de 𝑧2, o algoritmo tem de ser aplicado considerando um atraso
de uma medição 𝑦𝑜𝑏𝑠(𝑛) dado que são necessários três pontos para determinar se o ponto
intermédio é ou não um máximo local. No entanto, isto não é problemático de forma alguma uma vez que um único ponto não tem qualquer efeito no processo de decisão do tipo de comportamento.
41 Na ausência de ruído, 𝑤 = 0, a ideia por detrás do detetor poderia ser aplicada diretamente a uma janela de observação contendo os instantes 𝑡1, … , 𝑡𝑁 para os quais 𝑦𝑜𝑏𝑠 exibe máximos
locais. No entanto, quando 𝑦𝑜𝑏𝑠 está contaminado com ruído, 𝑤 ≠ 0, a deteção deixaria de
ser eficaz porque WGN apresenta máximos aleatórios em amostras aleatórias. O óbvio seria a introdução de técnicas de redução de ruído como por exemplo filtros de Kalman dado que são aplicáveis em tempo-real. Contudo, esta solução não garantiria uma deteção 100% certa porque a dinâmica subjacente aos sistemas caóticos não é localizada nem no domínio do tempo nem no domínio da frequência (Jafari, Hashemi Golpayegani, & Jafari, 2012; Kostelich & Schreiber, 1993). É por isso que a equação (3.2) desempenha um papel importante. Sendo um sistema linear e 𝐴 uma matriz estável, 𝑧2 não tem necessariamente a forma de onda de
𝑦𝑜𝑏𝑠 mas herda a sua dinâmica essencial atuando portanto como um ‘redutor de ruído’. Um
sinal ruidoso 𝑦𝑜𝑏𝑠 com uma dada SNR produz um sinal ruidoso 𝑧2 com uma SNR
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