Os primeiros conceitos da MF começaram a ser desenvolvidos analisando o fenômeno de fraturamento em materiais frágeis. Considerando um material perfeitamente frágil, a partir da Figura 5.2 (a) percebe-se que para uma trinca real, onde geometricamente temos → , o estado de tensão na ponta da mesma tende a ser singular, � á → ∞. Como nenhum material pode resistir a uma solicitação infinita, nenhum material real é perfeitamente frágil e, portanto sempre existe uma ZPI na frente de trincas. Porém, no caso de muitos materiais como vidros e alguns metais, por exemplo, a ZPI é suficientemente pequena para que os efeitos dessa região possam ser desprezados na análise. Assim, para esses tipos de materiais, o fraturamento pode ser aproximado pelos conceitos da MFEL. No entanto, nesse caso os critérios de falha escritos em tensões se tornam mal postulados uma vez que qualquer solicitação gera esforços singulares.
Segundo SURENDRA, SWARTZ e OUYANG. (1995), as primeiras análises sobre a fratura de estruturas contendo trincas foram provavelmente desenvolvidas por GRIFFITH (1921) baseada em considerações energéticas. O conceito generalizado das ideias de GRIFFITH (1921) pode ser apresentado a partir do potencial energético total de um sistema
composto por um corpo contendo uma fissura de comprimento a, sujeito a carregamentos externos que provocam a propagação da trinca. Tal potencial pode ser escrito como:
Π = U + O + W − � − � (5.1)
Sendo Π o total energético, U a energia potencial de deformação, O a energia cinética do corpo, W a energia dissipada na formação da fissura, � o trabalho realizado pelas forças de um carregamento mecânico e � o trabalho realizado por carregamentos térmicos. Segundo a 1ª lei da termodinâmica a variação do potencial energético em relação ao tempo, Π̇, deve ser nula. Em muitos problemas de engenharia, a propagação de fissuras em corpos pode ser considerada de forma quase estática. Nesses casos a variação da energia cinética, Ȯ, pode ser considerada como desprezível na análise. Além disso, como carregamentos térmicos não são o foco do presente estudo, a propagação da trinca pode ser considerada como ocorrendo em condições adiabáticas. Assim, a variação do trabalho térmico, �̇, pode ser também desconsiderada. Como a variação do potencial energético ao longo do tempo, Π̇, para a análise de fratura é causada por variações no comprimento da fissura , a 1ª lei da termodinâmica pode ser apresentada como:
Π̇ = → Π= → − = → = (5.2)
Na Equação 5.2, o termo ⁄ representa a energia necessária para a formação de novas superfícies de fissura. Em se tratando de materiais frágeis à fratura, o valor desse termo pode ser considerado como uma propriedade material independente, a qual é constante ao longo do fraturamento (SURENDRA, SWARTZ e OUYANG, 1995). Esse termo também é denominado na literatura como resistência à fratura do material ⁄ = , uma vez que a fissura não cresce caso a energia disponível na estrutura seja menor do que a energia crítica de fratura . Já o termo à esquerda de 5.2 representa a energia disponível na estrutura para propagar a fissura sendo a mesma função do carregamento, da geometria da estrutura e das condições de contorno. A energia disponível para o fraturamento é composta pela variação de energia ⁄ decorrente do crescimento da fissura devido ao carregamento externo menos a perda de energia potencial da estrutura ⁄ oriunda também da variação no comprimento da fissura. Dessa maneira, a Equação 5.2 representa uma condição necessária para o estado de equilíbrio da estrutura durante a propagação de uma fissura.
De acordo com o critério energético de Griffith, para um material perfeitamente frágil o fraturamento irá ocorrer de maneira instável caso a energia disponível para o fraturamento na estrutura atinja o valor da energia necessária à fratura do material . Portanto, para determinar se a propagação irá ocorrer ou não é necessário calcular a energia a qual é um parâmetro global da estrutura. A depender das condições de contorno, essa energia pode ser calculada de diferentes maneiras. Para o caso do fraturamento ocorrer devido q um carregamento externo aplicado em forma de deslocamento prescrito , tem-se:
= − [ , ] (5.3)
Já no caso do fraturamento ocorrer com um carregamento externo aplicado em forma de força constante , obtêm-se:
= { [ − , ]} = [ ∗ , ] (5.4)
Sendo que os subscritos indicam que as derivadas devem ser calculadas considerando hora ou hora como constantes. Segundo SURENDRA, SWARTZ e OUYANG (1995), a energia de deformação , e a energia complementar de deformação
∗ , podem ser calculadas como:
= ∫ ,
�
∗= ∫ ∗ , � �
(5.5) Sendo o volume do corpo e , e ∗ , � as densidades de energia de deformação e de energia complementar de deformação, respectivamente. De acordo com a Figura 5.3, tais densidades podem ser obtidas a partir da curva tensão-deformação do material conforme o ilustrado:
Figura 5.3 Densidades de energia de deformação e energia de deformação complementar para um material perfeitamente frágil
, = ∫ � , ∗ , � = ∫ , � � (3.6)
Vale ainda mencionar que para materiais frágeis, , = ∗ , � conforme observado na Figura 5.3.
Apesar da eficácia do balanço energético de Griffith na determinação da propagação de fissuras, verifica-se que a sua obtenção é uma árdua tarefa. Isso porque o termo reflete um estado energético global da estrutura envolvendo assim uma integração ao longo de todo o volume da mesma.
Em relação à distribuição de tensões em corpos fraturados, WESTERGAARD (1939) e posteriormente MUSKHELISHVILI (1953) propuseram uma solução para o campo de tensão próximo à ponta de fissuras para alguns problemas específicos denominados problemas fundamentais de Griffith. Os problemas fundamentais de Griffith tratam de uma chapa homogênea isotrópica de dimensões infinitas contendo uma trinca de comprimento submetida puramente a cada um dos três modos básicos de fraturamento conforme apresenta a Figura 5.4.
Figura 5.4 Problemas fundamentais de Griffith para os modos de fratura: (a) modo I, (b) modo II, (c) modo III WESTERGAARD (1939) empregou funções de tensão de origem complexa para a determinação do campo de tensão nas proximidades da fissura. A dedução das expressões para as componentes de tensão pode ser encontradas em livros de mecânica da fratura como PAPADOPOULOS (1993). A seguir, as Equações 5.7, 5.8 e 5.9 apresentam essas soluções em coordenadas cilíndricas, , centradas na ponta das trincas conforme indicado na Figura 5.4.
Modo I:
� =�√
√ cos ( − sen sen )
� =�√
√ cos ( + sen sen )
=�√
√ sen cos cos
Modo II:
(5.7)
� =− √
√ sen ( + cos cos )
� = √
√ sin cos cos
= √
Modo III: =− √ √ sen =− √ √ cos (5.9)
Percebe-se que as expressões das componentes do estado de tensão nas proximidades da fissura são singulares de ordem − ⁄ conforme previsto pelos conceitos iniciais da MFEL. Com o estado de tensão singular os critérios de falha escritos em tensões se tornam inconsistentes. Nesses, casos o balanço energético de Griffith pode ser utilizando para prever a propagação. No entanto, como esse balanço requer uma análise global da estrutura, o processo se torna ineficaz e custoso uma vez que as fissuras são de fato um fenômeno local.
Visando simplificar as análises de fratura, IRWIN (1957) propôs uma nova grandeza denominada fator de intensidade de tensão . A partir de pode-se avaliar localmente de maneira correta o campo de tensões a frente da extremidade da fissura. Assim, o estado de tensão na frente de uma trinca submetida a um modo de fratura pode ser escrito de maneira indicial como:
� =
√ (3.10)
Sendo uma função apenas da coordenada cilíndrica , a qual depende da geometria da estrutura e das condições de contorno, e o fator de intensidade de tensão do modo de fratura em que a trinca foi solicitada. além de depender da geometria e condições de contorno depende também do comprimento da trinca. Observando as Expressões 5.7, 5.8 e 5.9 dos problemas fundamentais de Griffith, é possível afirmar que para chapas de dimensões infinitas, os fatores de intensidade de tensão dos três modos básicos de fratura são:
� = �√ , �� = √ ��� = √ (5.11)
O Fator de Intensidade de Tensão pode ser entendido como um fator que associa o campo de tensões à frente da fissura com a singularidade das tensões. Por meio desse, é possível anunciar um critério de propagação de fissuras mais eficiente o qual envolve apenas uma análise local nas proximidades da fissura. Segundo o critério, a fissura irá se propagar quando o Fator de Intensidade de Tensão atingir um valor crítico que corresponde a uma propriedade material denominada tenacidade à fratura. Em problemas planos solicitados aos
modos básicos de fratura, os valores das propriedades materiais � e �� são as respectivas tenacidades à fratura do material em modo I e modo II.
Existem diversas maneiras de determinar os Fatores de Intensidade de Tensão em problemas de fratura. Dentre essas, destacam-se: Via métodos teóricos como os de Westergaard e métodos energéticos; via métodos numéricos como o MEF e o MEC ou via métodos experimentais como foto-elasticidade, métodos óticos e extensométricos (LEONEL, 2009). O valor do fator de intensidade de tensão para diversos problemas com geometrias e carregamentos específicos pode ser obtido em “handbooks”, como MURAKAMI (1987), ou mesmo em livros dedicados ao estudo de mecânica da fratura como BROEK (1986) e SURENDRA, SWARTZ e OUYANG (1995).
Tomando-se, por exemplo, o problema de uma chapa solicitada puramente a modo I, é possível verificar que � = � ⁄√ , sendo � a tensão de fraturamento, ou seja, a tensão aplicada na chapa necessária para a mesma falhar catastroficamente por fratura. Na Figura 5.5 é apresentada a curva da tensão de fratura versus o comprimento de trinca:
Figura 5.5 Tensão de fratura versus dimensão de trinca em solicitação modo I
Analisando a curva pode-se observar que quando a tensão de fratura � da chapa supera a resistência à tração da mesma para pequenos comprimentos de trinca, < , os conceitos da MFEL deixam de ser válidos sendo necessário considerar efeitos não lineares nas análises de fratura.
Como tanto a taxa de liberação de energia e o fator de intensidade de tensão podem ser usados para previsão do fraturamento, uma relação entre os mesmos deve existir. Assim, IRWIN (1957) ainda demostrou que se uma fissura tem seu comprimento aumentado
de uma extensão infinitesimal , o trabalho realizado pelo campo de tensões local na extremidade da fissura durante seu crescimento é equivalente à mudança na energia de deformação . . Dessa maneira, é possível relacionar os fatores de intensidade de tensão às taxas de liberação de energia para os três modos básicos de fratura:
� = �′ �� = ��′ ��� = −��� ′ (5.12)
Em que ′ = para problemas planos de tensão e ′ = ⁄ − para problemas planos de deformação. Apesar da relação entre os valores críticos, o critério de propagação baseado nos fatores de intensidade de tensão leva vantagem em relação ao balanço energético de Griffith uma vez na obtenção desses é necessária apenas uma análise local do campo de tensões a frente das fissuras e não um balanço de energia global como no caso da energia disponível para a fratura .
Em problemas envolvendo modos mistos de fratura é válida a superposição dos campos de tensão nas proximidades da ponta de uma fissura, ou seja, para um modo misto I e II, por exemplo, a seguinte relação é válida:
� = � �+ � �� (5.13)
No entanto, a superposição de efeitos não é válida para os fatores de intensidades de tensão de diferentes modos de fratura. Tipicamente, cada modo de fratura possui seu próprio e independente valor crítico de fator de intensidade de tensão, � , �� ��� , e a fissura se propaga quando qualquer um desses valores críticos forem alcançados (SMITH, LANDIS e GONG, 2003). Já a taxa de liberação de energia pode ser superposta no caso de modos mistos de fratura, ou seja, = �+ ��+ ���. Por fim, vale ressaltar que a superposição de fatores de intensidade de tensão só é válida para quando os problemas a serem superpostos tratarem do mesmo modo puro de fratura.