Opplevde standardspråk

Historicamente, a Redução à Unidade aparece como um método de resolução de tarefas que se transpõe da regra de três. Constituía-se parte indispensável da aritmética (prática) e por isso não poderia faltar em nenhum livro, de nenhum modo, uma seção correspondente a regra de três, pois como ressalta Brooks (1880, p.330), evocando Humfrey Backer (1562), é a principal, é a mais excelente regra de toda a aritmética51.

Para todas as outras regras há necessidade dela, e ela perpassa por todas as outras, para cujos casos, são ―chamadas pelos filósofos de regra de ouro; mas nestes últimos dias, está sendo chamada por nós como regra de três, porque é requerido três números na operação‖. (BROOKS, 1880, p 330).

a produção da aritmética no ocidente durante os séculos XIII, XIV e XV esteve intimamente ligada à revolução comercial como ferramenta de apoio imprescindível de atividades contábeis e fiscais (BROOKS, 1880 p.330) [Tradução nossa].

No trato de ferramenta imprescindível, Del Potro e LLave (2004) apontam que os ofícios de mercadores e artesões demandavam, além de ler e escrever, conhecer o manejo de operações matemáticas básicas, não no sentido teórico ou filosófico, mas de cunho utilitário, prático e profissional, como a forma de realizar as práticas inerentes as suas atividades.

Certamente tais necessidades obrigaram os homens de negócio a criarem sua ―educação profissional‖, entre elas as escolas de ábacos italianas, por exemplo; de onde surgiram livros como os Tratados de Mercaduria e de Práticas de Aritméticas. Enquanto os Tratados primeiros, segundo Del Potro e LLave (2004), eram elaborados para facilitar a transmissão e conservação de conhecimentos restritos imprescindíveis para o êxito dos negócios a partir de experiências vividas pelos mercadores.

Os de Práticas eram de caráter mais geral, concebidos como textos escolares, elaborados por mestres italianos para utilização em suas escolas, mas

51 _{"The rule of three is the chiefest, and the most protitable, and most excellent rule of all Arithmetike.}

For all other rules have neede of it, and it passeth all others; for the which cause, it is sayde the philosophers did name it the Grolden Rule; but now in these later days, it is called by us the Rule of Three, because it requireth three numbers in the operation." (BROOKS, 1880 p.330).

com orientação eminentemente utilitária por meio de problemas que refletiam situações concretas nas quais os mercadores poderiam ver-se envolvidos.

Como podemos perceber, as práticas da regra de três não eram privativas das atividades dos estudiosos, mas integrantes de atividades humanas com matemática, cujas convenções de usos foram sendo construídas e consolidadas nas experiências vivenciadas em diferentes atividades humanas.

De outro modo, as necessidades das práticas em diferentes atividades exigiam suas difusões, que podem nos fazer compreender, de certo modo, sua integração até os dias atuais nos manuais aritméticos escolares como objeto eleito para ser ensinado que, segundo suas necessidades, eram transpostas de modo a torná-las mais simples e segura para o uso e difusão em suas atividades, inclusive para o ensino.

Hoyrup (2007) nos fornece subsídios que permitem apontar essas transposições da prática da regra de três. O primeiro é o de regra, com provável origem indiana, uma das fontes de cerca de 500 a.C., que prescreve o resultado conhecido é para ser multiplicado pela quantidade para a qual o resultado é requerido, e dividido pela quantidade para a qual o resultado conhecido é dado, em que fica claro o entendimento padrão primeiro a multiplicação e depois divisão.

Esse entendimento de multiplicação seguido de divisão é transposto pela inclusão dos termos similar, não similar, ou outros que encaminham estes sentidos, que de acordo com Hoyrup (2007) constituem padrão nos abacos italianos e se fizeram presentes inclusive em escritos árabes como os de Ibn Thabāt, al-Karaji e Ibn al-Banna quando tratavam das transações comerciais, mas mantendo o carater cultural prático e utilitário, sem preocupações teóricas para resolução de certos tipos de problemas como os de mercadores e artesões. Certamente os traços de problemas envolvendo essas duas operações, chegaram à escola, no final do século XVIII; cuja regra de resolução consiste principalmente no método aritmético intuitivo como o que segue:

Suponhamos em primeiro lugar que havendo conhecimento com inteira certeza que 13 varas de um certo lienzo52 _{custam 130 reais}

se nos perguntarem, quantos reais custarão no mesmo preço, 18

varas do mesmo lienzo? (LACROIX, 1839 p.280).

A resolução apresentada por meio da prática da aritmética comercial é descrita como segue. Claro que será muito fácil determinar o verdadeiro preço de cada vara de lienzo, achando o quociente 10 reais que resulta da divisão do valor total, 130 reais pelas 13 varas que se supõem compradas inicialmente, e já que sabemos este preço, ―se o multiplicarmos agora por 18, que é o numero de varas da segunda compra, nos resultará por produto 180 reais, verdadeiro valor que nos perguntavam‖ (LACROIX,1839 p.280).

Livros didáticos não muito antigos possuem problemas com essas mesmas caracterizações matemáticas; estão presentes nas escolas do ensino fundamental principalmente nos anos iniciais, onde a regra de resolução é a mesma do século XVIII, se tomada como método intuitivo aritmético.

Esse método aritmético intuitivo, como remete à escola atual, em outros momentos da história, teve sua complexidade revelada para os iniciantes ou não iniciados, em uma atividade, pois, para resolver problemas desse tipo, se necessita possuir um conhecimento que nem todos possuem. Segundo Vallejo ―essa regra, que não exige mais que o conhecimento das quantidades de uma mesma espécie para introduzir imediatamente a proporção, esta mais ao alcance dos principiantes‖ (VALLEJO, 1841, p.351).

Essa ausência de habilidade e ou competência, em nossa interpretação, é a iniciação do sujeito em uma atividade de cultura diversa que marca a ausência de significado e sentido alcançáveis pelo exercício da prática no seio de uma atividade humana. Esse problema didático teria como resposta uma transposição mais geral, a partir da qual a regra de três seria facilmente derivada independentemente de qual magnitude fosse desconhecida e não exigiria mais do que o conhecimento das quantidades de uma mesma espécie. Tal resposta foi encaminhada por escritores Árabes e Ibero-Provençal, com provável influência dos primeiros, como al- Khwarizmi, quando passaram a estabelecer que as transações comerciais apresentavam quatro magnitudes em proporção, identificadas, não raro, com o preço solicitado e as magnitudes correspondentes.

Essa organização matemática que teria sido feita pelos estudiosos árabes que buscavam fundamentar a artmética prática, tem sua transposição didática para as escolas atuais, por meio das equações desde que se reconheçam as quantidades de mesma espécie. Como um método regrado, uma prática canônica, se dispõem os

dados em colunas, uma para cada grandeza, e por breve análise decide-se se é direta ou inversa, com consciência ou não da proporcionalidade, e escreve-se a equação como segue abaixo para o problema supracitado.

x r v 18 130 13   180 13 130 18 130 18 13      x x

Na escola, de acordo com D. Silva (2011), a prática para a resolução destas situações se resume a uma espécie de treinamento em torno de rituais relacionados ao uso de palavras-chave como a ordem dos termos e a disposição prática dos dados numéricos que aparecem como elementos relevantes para o método de resolução e a sequência de apresentação das ideias nas tarefas.

Independentemente de esse método regrado atender a disciplina matemática, ele revela a complexidade das práticas da regra de três em outras atividades, mesmo escolares, pois as práticas extramatemáticas com esse objeto não se conformariam ao jeito de pensar dos matemáticos.

Assim, a velha prática de comerciantes e artesões ainda se faz presente e começa a ganhar novas transposições como depreendemos de Gomes (2006, p. 15) quando refere que nessa conjuntura começou impor-se um método em ―um estilo de pensamento que não depende das proporções e nem das equações, são da análise para encontrar a solução sem ter que depender de recordar de regras mais ou menos artificiais‖. Uma das formas desse método analítico seria conhecida pelo nome de método de redução à unidade como aparece em (CIRADE,1865, p.218; SANCHES; VIDAL, 1866, p.321; SÓLIS,1892, p.42; BOURDON, 1848, p.235).

Esse Método de Redução à Unidade depende da análise da questão e a dedução das consequências que resultam desta análise, consistindo em buscar o valor da grandeza de mesma espécie da incógnita que corresponda a um valor da outra grandeza igual a um. Em síntese, resolver um problema intuitivo exige uma das indagações fundamentais que dá sentido ao MRU: ―quanto de um corresponde a uma unidade do outro?‖ A respectiva resposta remeta a existência do MRU.

Smith (1958) aponta que, na Inglaterra, essa prática veio a significar parte da aritmética comercial que deu lugar a definições mais claras com o passar do tempo tal como Greenwood (1729, apud SMITH, 1958), assegura que

esta regra é uma contração, ou melhor, uma melhoria da Regra de três, e executa todos os casos, onde a unidade é o primeiro termo, com a expedição de tal, e da facilidade, que é de uma maneira extraordinária, montada para a prática do comércio e de Mercadorias, e a partir daí recebe o seu nome (SMITH, 1958 p. 494).

Esse argumento pode se mostrar decisivo para rejeitar a prática canônica e assumir a prática dos não matemáticos que transgride a noção de proporcionalidade com razão entre grandezas de mesma espécie, mas que se legitimou em práticas da regra de três em atividades não restrita a matemática, como o do comércio em geral, inclusive para o ensino por ser aplicável a todos os problemas de proporcionalidade, como assim nos remete Bourdon (1848).

O método que é designado sob o nome de redução à unidade, é aplicável a todos os problemas que dependem da teoria da proporcionalidade; (...) Mas, se este método tem a vantagem de ser mais analítico que os nossos, tem, segundo outros, o inconveniente de ser mais prolixo em seus detalhes. De todos os modos, estamos distantes de depreciá-lo; ao contrário o recomendamos aos professores, como um excelente exercício. (BOURDON, 1848, p.235).

Essa prática que Bourdon se refere, a do MRU, quando transposta em contexto algébrico a partir da relação funcional entre duas variáveis é sugerida por Ávila (1986) como uma nova transposição didática para o estudo da regra de três. Para este autor a relação de proporcionalidade direta ou inversa entre as variáveis é assumida a partir da equação que estabelece a dependência entre elas e pode ser trabalhada a luz da teoria dos números reais, na qual é possível medir todas as grandezas e, em consequência, será sempre possível definir a razão de duas delas como quociente de suas medidas.

Segundo Ávila isso modificaria a maneira de apresentar fatos, como os problemas de regra de três, pois poderiam ser ensinados no contexto algébrico de resolução de equações, com a dupla vantagem de simplificação e da unificação da matemática.

Sob o olhar de Ávila, o problema acima considerado por Lacroix, pode ser abordado assumindo por breve análise que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, que a razão entre as grandezas é uma constante numérica positiva que pode ser expressa simbolicamente por.

10 13 130   v r

Assim, para os valores de r 130 e v10 encontramos a constante de proporcionalidade  10

v r

k para a situação e isso permite escrever o modelo

v

r ₁₀ . Este modelo viabiliza o cálculo do preço procurado para uma dada quantidade de varas, em particular para 18 varas resulta no valor anteriormente encontrado de 180 reais. Encaminhando, desse modo, a concepção funcional de proporcionalidade entre grandezas de espécies diferentes que se mostrou e se mostra útil na construção de modelos matemáticos de situações reais.

A transposição didática da instituição matemática buscou uma forma de pensar que permitisse as práticas de artesões e mercadores que se enquadrassem com as normas de sua atividade matemática. Isso nos deixa claro que tal modelo decorre de uma praxeologia matemática sustentada pelo discurso matemático de proporcionalidade entre números, não de grandezas, como culturalmente se costuma pensar na prática da Redução à Unidade em contextos extramatemáticos.