Oppsummering

O in´ıcio do cap´ıtulo XIX introduz o tema da nega¸c˜ao na aritm´etica vinculando o seu interesse `a presen¸ca de certa generalidade. Isto ´e, enquanto a afirma¸c˜ao na aritm´etica ´e interessante em si mesma, a nega¸c˜ao s´o passa a ser interessante em conjunto com uma generalidade. Por outro lado, a continua¸c˜ao do cap´ıtulo ir´a caracterizar a nega¸c˜ao como uma indetermina¸c˜ao. ´E importante n˜ao confundir, desde j´a, a generalidade que torna a nega¸c˜ao interessante e a indetermina¸c˜ao do conte´udo negativo, j´a que a identifica¸c˜ao de ambas as no¸c˜oes resultaria no car´ater “interessante” de toda e qualquer nega¸c˜ao (enquanto uma indetermina¸c˜ao, ela carregaria em si mesma uma generalidade). N˜ao ´e isso que o autor pretende quando diz que a nega¸c˜ao ´e uma indetermina¸c˜ao: toda nega¸c˜ao leva de uma proposi¸c˜ao a outra proposi¸c˜ao, enquanto a generalidade na aritm´etica, como vimos, mal pode ser expressa por uma constru¸c˜ao proposicional.

A propriedade de ser uma indetermina¸c˜ao contrasta a nega¸c˜ao na aritm´etica com aquilo que ela ´e na l´ogica:

Creio que a nega¸c˜ao, aqui, n˜ao seja o que ela ´e na l´ogica, mas uma indetermina¸c˜ao. Pois como reconhe¸co, verifico, o negativo? Por um indeterminado, por´em, positivo.∗

´

E bastante claro que a nega¸c˜ao na aritm´etica ´e completamente diferente da nega¸c˜ao genu´ına de proposi¸c˜oes.

E ´e certamente claro que onde ela essencialmente – a partir de rela¸c˜oes l´ogicas – corresponde a uma disjun¸c˜ao ou `a exclus˜ao de uma parte de uma s´erie l´ogica em favor de outra, ela deve ter um significado totalmente diferente.

Ela deve, com efeito, ser uma e a mesma que aquelas formas l´ogicas e, portanto, apenas aparentemente uma nega¸c˜ao.

Se “n˜ao igual” significa maior ou menor, ent˜ao isto n˜ao pode ser um acidente, por assim dizer, para o “n˜ao”.†

O ´_{ultimo bloco de observa¸c˜oes acima (XIX−202a), de composi¸c˜ao bastante} tardia em rela¸c˜ao `a composi¸c˜ao das PhBm‡_{, corrobora a ideia de que a reformula¸c˜ao}

da teoria da figura¸c˜ao, nas PhBm, preserva uma caracter´ıstica essencial da nega¸c˜ao no Tractatus, a saber, a de n˜ao confundir aquilo que n˜ao ´e o caso com aquilo que ´e o

∗_{PhBm, XIX−201d .}

†_{ibid., XIX−202a .}

‡_{Estas observa¸c˜oes foram retiradas da p´agina 239 do WAii, escritas provavelmente no fim de mar¸co}

caso em seu lugar∗_{; caracter´ıstica – tamb´em expressa no in´ıcio do segundo cap´ıtulo das}

PhBm – em virtude da qual “a proposi¸c˜ao negativa tem a mesma multiplicidade da proposi¸c˜ao negada e n˜ao [a mesma multiplicidade] das proposi¸c˜oes que talvez pudessem ser verdadeiras em seu lugar”†_{. O Tractatus expressava o mesmo dizendo que, embora}

as proposi¸c˜oes p e ¬p tenham sentidos opostos, a elas corresponde uma e a mesma realidade‡_{. Na aritm´etica, pelo contr´ario, tudo se passa como se a nega¸c˜ao nos enviasse}

a uma outra realidade. No caso de diagramas aritm´eticos no espa¸co, esta outra realidade ´e apresentada por recurso ao “alhures”:

´

E poss´ıvel, no entanto, apresentar a indivisibilidade de modo persp´ıcuo (p. ex., no “crivo”). Vˆe-se como todos os n´umeros divis´ıveis repousam acima ou abaixo do n´umero

considerado.

Aqui, a nega¸c˜ao na aritm´etica ´e apresentada pela nega¸c˜ao no espa¸co, o “alhures”.§

Evidentemente, para que a nega¸c˜ao corresponda a uma disjun¸c˜ao ou `a exclus˜ao de uma parte de uma s´erie l´ogica em benef´ıcio de outra, tanto a proposi¸c˜ao negativa quanto a proposi¸c˜ao negada devem estar em um mesmo sistema. ´E apenas a propriedade de pertencer a um sistema que torna poss´ıvel a afirma¸c˜ao e a nega¸c˜ao de uma proposi¸c˜ao na matem´atica.

Segundo Wittgenstein, nega¸c˜ao e disjun¸c˜ao agem como indetermina¸c˜oes sup´erfluas no caso particular¶_{, n˜ao sendo importantes para a aritm´etica, pois a forma}

determinada torna sup´erflua a forma indeterminadak_{. Com efeito, assim como no}

Tractatus, uma indetermina¸c˜ao s´o pode surgir do fato de que a an´alise ainda n˜ao foi completamente levada a cabo (o que se percebe, no caso da proposi¸c˜ao emp´ırica do Tractatus, pela existˆencia de um elemento proposicional que designa um complexo∗∗, no caso da proposi¸c˜ao matem´atica, pela existˆencia de uma express˜ao n˜ao calculada); no caso

∗_{Confus˜ao que aparece, nos manuscritos de 1914-1916, como uma dificuldade a ser superada. Cf.}

Ludwig Wittgenstein: Tageb¨ucher 1914-1916 , Frankfurt: Suhrkamp, 1984, pp. 25/11/1914.

†_{PhBm, II−2a .} ‡_{Tractatus, aforismo 4.0621.} §_{PhBm, XIX−200b .} ¶_{Ibid., XIX−202e.} k_{Ibid., XIX−204b.} ∗∗_{Cf. Tractatus, aforismo 3.24.}

singular, basta continuar a an´alise para que se chegue a uma proposi¸c˜ao completamente determinada, a qual torna a proposi¸c˜ao indeterminada sup´erflua. A proposi¸c˜ao “26 n˜ao ´e divis´ıvel por 5” cont´em certamente uma indetermina¸c˜ao: ela diz que o resto da divis˜ao de 26 por 5 n˜ao ´e 0, sem dizer, no entanto, qual ´e este resto. Uma vez, no entanto, que o c´alculo determina que o resto ´e igual a 1, j´a n˜ao h´a mais uso poss´ıvel da proposi¸c˜ao singular indeterminada – enquanto regra sint´atica – que n˜ao esteja inclu´ıdo em um uso poss´ıvel da proposi¸c˜ao singular determinada. Ela se torna obsoleta, na posse da regra determinada. A forma de express˜ao “26 ma¸c˜as foram divididas igualmente entre 5 pessoas” ´e certamente exclu´ıda da linguagem pela inequa¸c˜ao Resto(26 : 5) 6= 0, mas tamb´em pela equa¸c˜ao Resto(26 : 5) = 1.

Na presen¸ca de uma generalidade (indu¸c˜ao), por´em, nega¸c˜ao e disjun¸c˜ao se tornam essenciais, significativas para a aritm´etica. Pois, neste caso, elas n˜ao s˜ao “superadas por uma forma determinada. Ou melhor, na lei geral, elas n˜ao s˜ao de modo algum indeterminadas”∗_{. N˜ao que nega¸c˜ao e disjun¸c˜ao passem a ser, na lei geral,}

determinadas, mas que, na ausˆencia de uma possibilidade de determina¸c˜ao, j´a n˜ao faz mais sentido falar em indetermina¸c˜ao, pois n˜ao se teria o “menos determinado” em oposi¸c˜ao ao “mais determinado”. Em que consiste essa significatividade da nega¸c˜ao e da disjun¸c˜ao na lei geral?

Tomemos o caso da nega¸c˜ao de um predicado aritm´etico qualquer, denotado por P (ξ) (e.g., ξ×3 = 25, ξ ´e um n´umero primo etc.). Suponhamos que se queira mostrar que este predicado n˜ao ´e satisfeito por nenhum n´umero natural. Normalmente, utilizando a terminologia do c´alculo de predicados, isto seria expresso por uma proposi¸c˜ao do tipo ¬(∃n)P (n). Todavia, entendida como a nega¸c˜ao de uma disjun¸c˜ao infinita, esta express˜ao ´e um contrassenso. O que se poderia mostrar, por indu¸c˜ao, ´e a generalidade, para cada n´umero natural, da nega¸c˜ao do predicado em quest˜ao. Isso n˜ao provaria a proposi¸c˜ao (n)¬P (n), j´a que, como vimos, a indu¸c˜ao n˜ao prova a proposi¸c˜ao geral, mas ao menos ela serviria para mostrar que uma estipula¸c˜ao alg´ebrica negativa (uma inequa¸c˜ao) n˜ao entra em conflito com outras leis alg´ebricas que se aplicam `a aritm´etica.

´

E nesse sentido que a nega¸c˜ao se torna importante na lei geral: embora n˜ao possa haver, na aritm´etica, a nega¸c˜ao de uma generalidade†_{, pode haver a generalidade de}

uma nega¸c˜ao, e aqui a nega¸c˜ao ´e essencial.

∗_{PhBm, XIX−204b.}

†_{Uma discuss˜ao bastante similar ocorre no dom´ınio das proposi¸c˜oes emp´ıricas. No cap´ıtulo IX}

das PhBm, Wittgenstein mostrar´a que o quantificador existencial n˜ao permite a generaliza¸c˜ao de uma

nega¸c˜ao – (∃x)¬ϕx – o que, transposto para o caso do quantificador universal, corresponde `a nega¸c˜ao

de uma generaliza¸c˜ao: ¬(x)ϕx. ´E neste momento que Wittgenstein come¸ca a trabalhar o conceito

de “hip´otese” (tema do cap´ıtulo XXII), conceito que ser´a entendido de modo bastante semelhante `a

indu¸c˜ao na matem´atica. Uma leitura atenta da gˆenese dos cap´ıtulos IX e XXII a partir dos manuscritos

permite ver claramente que a conex˜ao entre a introdu¸c˜ao do conceito de hip´otese e o “corte de uma

das asas” do quantificador existencial surge a partir de uma reflex˜ao sobre a nega¸c˜ao e o infinito na

No ´ultimo par´agrafo do cap´ıtulo XIX, Wittgenstein fornece um exemplo em que a disjun¸c˜ao se torna, em conjunto com uma generalidade, significativa. Neste ponto de nosso estudo, por´em, o exemplo n˜ao pode ser inteiramente elucidado, j´a que isto requereria um longo excurso sobre as observa¸c˜oes de Wittgenstein acerca dos n´umeros reais nas PhBm (tema do Cap´ıtulo seguinte deste estudo). ´E poss´ıvel, no entanto, ao menos indicar as pe¸cas que cumprem um papel importante neste exemplo, para em seguida voltar `a quest˜ao acerca do car´ater significativo da disjun¸c˜ao.

Na concep¸c˜ao de Wittgenstein, n´umeros reais s˜ao leis para a constru¸c˜ao de aproxima¸c˜oes racionais. Uma lei, no entanto, deve se deixar mostrar em suas constru¸c˜oes; na lei, n˜ao pode haver surpresas que surgem apenas no momento de sua aplica¸c˜ao. O exemplo t´ıpico de Wittgenstein para o caso de um m´etodo geral cujos resultados n˜ao obedecem a uma lei ´e o m´etodo para encontrar o pr´oximo n´umero primo. Este m´etodo certamente obedece a uma lei, por´em os resultados da aplica¸c˜ao do m´etodo n˜ao aparecem, por assim dizer, como voltas de uma espiral, como n´ıveis singulares da aplica¸c˜ao de uma lei, tal como ocorre, p. ex., com a s´erie +1

1!, − 1 3!, + 1 5!, etc. ∗_{: “se eu}

procuro por n´_{umeros primos no intervalo entre n e (n! + 1) − n etc., ent˜ao esta busca} est´a sujeita a uma lei, ela segue uma lei, mas n˜ao o resultado”†_{. Mas, se for assim,}

ent˜ao ´e apenas este intervalo que pode ter um papel fundamental na constru¸c˜ao de um n´umero real, e n˜ao os n´umeros que foram encontrados testando cada n´umero do intervalo para verificar se ele satisfaz ou n˜ao certa condi¸c˜ao:

Pode-se construir, com a ajuda dos n´umeros primos, um irracional? A resposta ´e sempre: at´e onde ´e poss´ıvel prever os n´umeros primos, sim, e n˜ao mais.

Se ´e previs´ıvel que deva haver um n´umero primo neste intervalo, ent˜ao este intervalo ´e o previs´ıvel e constru´ıvel e ele pode, por isso, creio eu, ter um papel na constru¸c˜ao de um n´umero irracional.‡

´

E nesse sentido, ent˜ao, que a disjun¸c˜ao (o “intervalo”) – uma indetermina¸c˜ao sup´erflua no caso singular – pode vir a ser, na lei geral, essencial e significativa para a aritm´etica: enquanto a forma determinada, calculada testando cada elemento do intervalo, n˜ao obedece a uma lei, a forma indeterminada obedece e passa a ser, assim, importante para a constru¸c˜ao de um elemento do c´alculo aritm´etico. A mesma situa¸c˜ao ocorre em c´alculos de limites de sequˆencias§_{, em que a rela¸c˜ao entre o ν dado e o µ que}

satisfaz a condi¸c˜ao de limite ´e apresentada por um intervalo, digamos, f (ν) < µ < g(ν). Embora nem sempre o valor de µ satisfa¸ca uma lei, o intervalo satisfaz e isto se torna significativo para o c´alculo do valor limite.

∗_{Cf. ibid., XVIII−190a.}

†_{WAii, p. 70 .} ‡_{PhBm, XIX−204d .}

§_{Dizemos que uma sequˆencia tem um limite L se, dado um n´umero natural ν, for poss´ıvel construir}

um n´umero natural µ tal que, para cada n´umero natural N > µ, a distˆancia entre o N -´esimo termo da

sequˆencia e o limite L ´e menor que (1