Hvilke grupper er særlig utsatt?

Se a prova de uma proposi¸c˜ao matem´atica ´e sua an´alise completa, n˜ao pode haver, naturalmente, uma an´alise completa de uma equa¸c˜ao falsa; o que pode haver ´e uma constru¸c˜ao que mostra a sua falsidade, mas n˜ao uma constru¸c˜ao que seja a express˜ao completamente analisada da equa¸c˜ao incorreta (essa constru¸c˜ao seria, por assim dizer, uma constru¸c˜ao geom´etrica que contraria as leis da geometria). Se o falso, enquanto tal, n˜ao se manifesta em um simbolismo com a multiplicidade correta, qual seria sua necessidade para a aritm´etica? Ele s´o poderia cumprir um papel relevante em uma proposi¸c˜ao que n˜ao se deixasse provar por meio de uma constru¸c˜ao em um simbolismo com a multiplicidade correta, em uma proposi¸c˜ao cuja prova n˜ao pudesse ser, ao mesmo tempo, uma demonstra¸c˜ao. Ora, uma vez que Wittgenstein adere ao car´ater essencialmente demonstrativo da prova, ele deve negar necessariamente que equa¸c˜oes falsas possam cumprir algum papel que equa¸c˜oes verdadeiras n˜ao podem cumprir:

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E muito estranho que, para a apresenta¸c˜ao da matem´atica, sejamos obrigados a usar tamb´em equa¸c˜oes falsas. Pois ´e a isto que tudo remonta. Se a nega¸c˜ao ou a disjun¸c˜ao no sentido usual ´e necess´aria na aritm´etica, ent˜ao as equa¸c˜oes falsas s˜ao um componente essencial de sua apresenta¸c˜ao.∗

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E claro, para mim, que a aritm´etica n˜ao precisa de equa¸c˜oes falsas para sua constru¸c˜ao, mas parece-me que se pode muito bem dizer “h´a um n´umero primo entre 11 e 17”, sem se referir a equa¸c˜oes falsas.†

Se tomarmos como sinˆonimos os termos “constru¸c˜ao” e “apresenta¸c˜ao” – o que parece bastante adequado neste caso – a conclus˜ao do modus tollens ´e que nega¸c˜ao e disjun¸c˜ao n˜ao s˜ao necess´arias na aritm´etica no sentido usual, o que ´e, como vimos na Se¸c˜ao precedente, verdadeiro: nega¸c˜ao e disjun¸c˜ao tˆem apenas a aparˆencia, na aritm´etica, de uma nega¸c˜ao ou de uma disjun¸c˜ao; s˜ao, na verdade, equivalentes a exclus˜oes em um sistema, agindo como indetermina¸c˜oes sup´erfluas no caso de uma proposi¸c˜ao singular. Elas s˜ao necess´arias na aritm´etica, como vimos, apenas na presen¸ca de uma generalidade, de uma lei; a lei, por sua vez, n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao, n˜ao ´e algo que poderia ser verdadeiro ou falso.

A partir do car´ater prescind´ıvel das equa¸c˜oes falsas, observa-se na matem´atica, assim como ocorre na linguagem descritiva, a existˆencia de um privil´egio do verdadeiro sobre o falso, privil´egio que seria inteiramente solapado caso equa¸c˜oes verdadeiras e falsas fossem reduzidas, respectivamente, a tautologias e contradi¸c˜oes. Afinal, uma contradi¸c˜ao, na l´ogica, vale tanto quanto uma tautologia: tudo aquilo que uma tautologia mostra, seria poss´ıvel mostrar tamb´em com uma contradi¸c˜ao‡_{. Como acentua Lopes}

∗_{PhBm, XIX−200e .}

†_{ibid., XIX−203a .}

dos Santos, “ambas exibem rela¸c˜oes formais entre proposi¸c˜oes factuais e, nessa medida, ambas podem ser pe¸cas importantes do c´alculo l´ogico – como o demonstram as provas por absurdo”∗_{. Se h´a, na matem´atica, um privil´egio do verdadeiro sobre o falso, da}

equa¸c˜ao correta sobre a incorreta, ent˜ao, necessariamente, essas no¸c˜oes n˜ao podem ser redut´ıveis, como queria o projeto logicista, a tautologias e contradi¸c˜oes.

Negar que o falso possa ter algum papel relevante no edif´ıcio matem´atico implica negar a possibilidade de um uso do princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo que seja essencial em uma prova matem´atica; implica negar que uma afirma¸c˜ao possa ser verificada apenas pela nega¸c˜ao de sua nega¸c˜ao. ´E apenas nesse sentido que Wittgenstein encara “com desconfian¸ca a utiliza¸c˜ao do princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo em uma prova matem´atica”†_,

que h´a algo que “se op˜oe `a aplica¸c˜ao do princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo na matem´atica”‡_.

Comentadores, em geral, tˆem tido dificuldades para interpretar os coment´arios de Wittgenstein sobre o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, j´a que algumas de suas observa¸c˜oes dep˜oem a favor da validade do princ´ıpio, enquanto outras tecem cr´ıticas a sua aplica¸c˜ao. Mas n˜ao h´a nada de contradit´orio nestas observa¸c˜oes: o princ´ıpio ´e v´alido, na medida em que se trata de proposi¸c˜oes matem´aticas. Afirmar que o princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo ´e v´alido, neste caso, n˜ao significa nada al´em de afirmar que a proposi¸c˜ao institui uma quest˜ao que recebe como resposta um “sim” ou um “n˜ao” t˜ao logo se aplique o m´etodo de c´alculo para o qual ela aponta. Quando, por´em, Wittgenstein diz que algo se op˜oe `a aplica¸c˜ao do princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo na matem´atica, ele quer combater a imagem comum por tr´as de uma “prova indireta”, a saber, a de que tal prova alcan¸ca o mesmo que a prova direta, mas por um “outro caminho”, por uma rota alternativa e completamente independente. Para Wittgenstein, por´em, a pr´opria rota ´e constitutiva do resultado e ´e por isso que ele prop˜oe que concebamos a proposi¸c˜ao matem´atica como a superf´ıcie de um s´olido, sendo a prova o “corpo” do s´olido§_{: se}

dois s´olidos tˆem a mesma superf´ıcie, mas “corpos” distintos, ent˜ao n˜ao s˜ao o mesmo s´olido. N˜ao pode haver, portanto, provas independentes de uma mesma proposi¸c˜ao matem´atica:

Provas que provam o mesmo podem ser traduzidas uma para a outra e, nessa medida, s˜ao a mesma prova. As ´unicas provas para as quais isso n˜ao vale s˜ao as do tipo: “A partir de duas coisas, infiro que ele est´a em casa: primeiro, seu palet´o est´a pendurado no hall e, al´em disso, posso ouvi-lo assobiando”. Nesse caso, temos duas fontes independentes de conhecimento. Essa prova exige fundamentos que vˆem de fora, ao passo que uma prova matem´atica ´e uma an´alise da proposi¸c˜ao matem´atica.¶

∗_{Lopes dos Santos: A essˆencia da proposi¸c˜ao e a essˆencia do mundo, p. 90.} †_{WAii, p. 108.}

‡_{PhBm, XIX−201a.}

§_{Cf. ibid., XIII−162b.}

Al´em disso, o pr´oprio nome do princ´ıpio ´e capcioso, pois soa como se houvesse um terceiro a ser exclu´ıdo, como se fosse semelhante a “um sapo ´e ou marrou ou verde, n˜ao h´a uma terceira op¸c˜ao”∗_{, ou ainda a “ou ele est´a em casa ou seu palet´o}

n˜ao est´a pendurado no hall”. Nestes casos de “provas” de proposi¸c˜oes emp´ıricas, o uso do “terceiro exclu´ıdo” leva, juntamente com a exclus˜ao de certas possibilidades, a uma proposi¸c˜ao que n˜ao ´e equivalente `a exclus˜ao destas possibilidades: do fato de que ningu´em est´a assobiando e de que o palet´o n˜ao se encontra pendurado, deduzo que ele n˜ao se encontra em casa. A conclus˜ao, por´em, s´o ´e v´alida acidentalmente (no caso acidental, p. ex., de ele sempre assobiar ou deixar o casaco pendurado quando se encontra em casa); como j´a havia sido enfatizado, por´em, na matem´atica isso jamais pode ocorrer: “se ‘n˜ao igual’ significa maior ou menor, ent˜ao isto n˜ao pode ser um acidente, por assim dizer, para o ‘n˜ao”’†_.

Na matem´atica, portanto, n˜ao h´a provas “alternativas”, pois nunca ´e irrelevante o modo pelo qual um resultado ´e alcan¸cado. Assim, toda prova deve se mostrar, quando entendida corretamente, como sendo um caso de prova direta. As PhBm n˜ao apresentam discuss˜oes sobre provas indiretas nas observa¸c˜oes sobre a nega¸c˜ao. H´a, contudo, dois excertos interessantes – um, presente nos manuscritos e outro, nas conversas com Waismann – que trazem esse tema para o primeiro plano e que iluminam a posi¸c˜ao de Wittgenstein acerca deste tipo de racioc´ınio matem´atico. No primeiro deles, Wittgenstein procura transformar a prova indireta em uma “prova” indutiva:

Como funciona a prova indireta |p. ex.| na geometria? O que h´a de mais estranho nela ´e o esfor¸co para se fazer um desenho n ˜a o g e o m ´e t r i c o para ela (o an´alogo exato de uma proposi¸c˜ao i-l´ogica). Mas, naturalmente, isto apenas se origina de uma concepc¸˜ao falsa da prova. ´E, p. ex., cˆomico quando se diz “suponha que a reta g tenha, a partir do ponto P , duas continua¸c˜oes”. Mas algo assim n˜ao precisa de modo algum ser suposto. As provas na geometria, na matem´atica, n˜ao podem, no sentido genu´ıno, ser indiretas, pois n˜ao se pode supor o contr´ario de uma proposi¸c˜ao geom´etrica, na medida em que se adere a certa geometria. Aquela prova mostra simplesmente que, quanto mais α′ se aproxima de 0, mais |e sem limite| as se¸c˜oes curvas α e α + α′ se aproximam uma da outra.‡

∗_{PhBm, XIX-201a.}

†_{Ibid., XIX−202a.}

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E importante ressaltar que, como o pr´oprio Wittgenstein diz, as provas na matem´atica n˜ao podem ser, no sentido genu´ıno, indiretas. A suposi¸c˜ao de uma proposi¸c˜ao falsa se revelaria, em um simbolismo com a multiplicidade correta (como ´e o caso da prova diagram´atica do exemplo acima), imposs´ıvel de ser feita, j´a que isso remontaria `a tarefa de tra¸car uma reta com uma bifurca¸c˜ao em certo ponto, ou seja, tra¸car uma reta que n˜ao ´e uma reta. No segundo excerto, Wittgenstein comenta a tradicional prova “indireta” da irracionalidade de √2:

A prova indireta tem a forma: p · q ⊃ ¬p. H´a, ent˜ao, duas possibilidades de entendˆe-la: eu posso ou abandonar “q” (este ´e o caso usual), ou “p”. Exemplo: a prova de que √2 ´e irracional. √ 2 = m n · · · q (m, n) = 1 · · · p (m, n) 6= 1 · · · ¬p ´

E dito, ent˜ao: portanto n˜ao h´a nenhum n´umero racional cujo quadrado seja 2. Na verdade, existe ainda outra possibilidade: abandona-se “p” e, ent˜ao, a gram´atica de “√2” deve ser alterada. Eu deveria, ent˜ao, entender pelo sinal “√2” n˜ao o que entendo

agora pelo mesmo sinal.

Em primeiro lugar, o exemplo deixa claro que o racioc´ınio acima n˜ao se d´a do seguinte modo: sup˜oe-se que q (uma proposi¸c˜ao falsa) seja verdadeira, chega-se a uma contradi¸c˜ao e, ent˜ao, conclui-se que _{¬q. O que ´e “suposto” s˜ao as regras do} sistema aritm´etico (p), ao qual se acrescenta outra regra (q) e, com isso, uma proposi¸c˜ao incompat´ıvel com o sistema original ´e provada. Neste caso, h´a duas possibilidades: i) acrescentar a regra oposta ao sistema, mantendo a compatibilidade desta regra com as demais regras do sistema; ii) manter a regra que foi acrescentada e abandonar certas regras do sistema original, alterando-se assim a “gram´atica” dos sinais utilizados.