5. Analyse del I: Offentligheten i forhold til krav om fysisk aktivitet
5.3 Offentlige rom sin betydning for hverdagsaktivitet
As primeiras sessões de estudo aconteceram em nosso segundo encontro, com os alunos participantes das licenciaturas em Pedagogia e em Matemática. Na ocasião, tratamos dos números utilizados na matemática e, neles, como foco principal, os irracionais.
No início do encontro, promovemos uma dinâmica de apresentação na qual foram expostas várias imagens no chão da sala de aula e cada participante escolheria aquela a que mais se identificasse com sua personalidade ou chamasse a atenção para um fato pessoal ou profissional. Feita a opção, todos se apresentaram livremente. Com essa dinâmica, tivemos a oportunidade de conhecer um pouco de cada participante: suas origens, suas práticas escolares, seu modo de pensar a educação, a matemática, suas frustrações com a Matemática, dilemas profissionais, emoções familiares, entre outros.
Após essa discussão, em ambas as turmas trabalhadas, uma no dia 02 de junho e a outra no dia 07 de junho de 2012, apresentamos a seguinte pauta: 1) apresentação e debate do slide “Os números e a Matemática”; 2) atividade sobre os números em grupos; 3) escolha de um relator por grupo para registro de formas de procedimento das atividades realizadas pela equipe; 4) discussões das atividades.
Realizamos a explanação dos conteúdos sobre os números em uma projeção de slides, com os devidos objetivos e as definições sobre números; fizemos um breve histórico e expusemos alguns exemplos. Concomitantemente à apresentação, oportunizávamos, aos participantes da pesquisa, momentos de discussões dos conteúdos e soluções de dúvidas, diante dos números contemplando os Naturais, os Inteiros, Racionais e Reais, com destaque aos Irracionais. Concluída a apresentação, encerramos o encontro.
No segundo encontro desse estudo, as atividades foram trabalhadas em grupo, e, nesse dia, entregamos um caderno para cada grupo anotar os registros do encontro, elegendo um redator ou redatora. Definimos que a atividade dessa sessão, por ser extensa, seria
realizada em duas etapas. Nossa intenção era propiciar aos alunos investigados a percepção de que, no processo de criação numérica, existem situações que não são possíveis de serem solucionadas por números racionais, como também com o objetivo de que eles reconstruíssem conceitos e significados dos números irracionais e racionais através do uso da calculadora e fita métrica.
Com esse intento, selecionamos atividades (Apêndice A) como as que envolvemos divisão e multiplicação de inteiros e racionais no cálculo do índice de massa corporal (IMC). Nelas, os alunos puderam utilizar recursos didáticos, como fita métrica, balança e calculadora. Por exemplo, na questão 1, oportunizamos ao aluno trabalhar, em grupo, situações-problema com as operações de divisão e multiplicação entre números inteiros e racionais, principalmente ao calcularem os seus índices de massa corporal sob os controles dos seus pesos, usando a fórmula IMC = massa/altura (massa em kg e altura em m), por meio da tabela de peso, em que consultavam seus dados e os dos colegas, classificando-os como baixo, normal, pré-obeso e obeso. Na ocasião, ao verificarem suas medidas, vivenciavam práticas com os números irracionais. As figuras 31, 32 e 33 mostram os alunos realizando a atividade.
Figura 31 – Alunas medindo a altura Figura 32 – Aluno medindo a massa
Figura 33 – Alunos de Pedagogia realizando os cálculos das atividades
Fonte: acervo da pesquisadora
As próximas atividades, 3 e 4, foram tomadas como questões centrais. Elas envolviam os números 0,9 e 0,999... , e os alunos, tanto de Pedagogia como de Matemática foram convidados a pensar matematicamente, observando as condições desses números ora em posições decimais, ora como uma dízima periódica simples e infinita. O Quadro 10 apresenta as respostas dadas pelos alunos com relação à questão 3.
Quadro 10 - Respostas dos pesquisados sobre a questão 3
QUESTÃO 3: PENSE UM POUCO E RESPONDA PEDAGOGIA MATEMÁTICA
Sim Não Sim Não
a) Os números 0,9 e 0,999... são iguais? - 19 - 19
b) Os números 0,99 e 0,999... são iguais? 2 17 - 19
c) Os números 0,999 e 0,999... são iguais? 10 9 6 13
d) Os números 0,9999 e 0,999... são iguais? 2 17 - 19
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
A questão 3 foi realizada por grupos de cinco a seis componentes, porém cada um respondia sua atividade. Constatamos que houve, em ambas as turmas do estudo, apenas pequenos grupos interessados em responder pensando matematicamente. Alguns escreviam mecanicamente, de acordo com o que o colega vizinho fazia, sem se interessar em analisá-la. Ou seja, escreviam o que o colega decidia sobre as respostas solicitadas. Às vezes percebíamos a não compreensão da questão por alguns, mas, se indagávamos sobre suas dúvidas, respondiam que estavam entendendo.
Como está indicada no Quadro 10, a questão 3 solicitava que os alunos respondessem se os pares de números, propostos em cada item, são iguais. Os alunos de
Pedagogia demonstraram não entender as situações apresentadas, principalmente no item c em que o número continha a mesma quantidade de casas decimais após a vírgula. De 19 alunos, 10 afirmaram que 0,999 é igual a 0,999... , ou seja, não identificaram se era uma dízima periódica ou um número racional. Com relação aos 19 alunos de Matemática, 13 responderam que não eram iguais e apenas 6 asseguraram serem iguais.
Para melhor entender o pensamento matemático dos participantes da pesquisa do curso de Matemática, enquanto estavam resolvendo a questão, aproximamo-nos do aluno (AM10), de um grupo mais empolgado e perguntamos o porquê de as respostas apresentadas em todos os itens não serem iguais, e obtivemos a resposta: “Pois um é decimal e o outro é
periódico”.
A questão 4, assim como a 3, também envolvia os números 0,9 e 0,999... . Para resolvê-la, os alunos podiam responder tanto por tentativa como utilizando a calculadora, conforme o enunciado da questão:
4. Por tentativa ou usando calculadora descubra a forma fracionária dos seguintes números: a) 0,9 b) 0,99 c) 0,999 d) 0,9999 e) 0,999...
Observamos que os alunos das duas licenciaturas, na maioria dos grupos, quando se tratou dos números decimais finitos dos itens de a a d, responderam corretamente. Todavia, ficaram confusos com a letra e que envolveu o número 0,999....
Na turma de Pedagogia, todos os grupos souberem escrever em forma de fração as letras de a a d. Contudo, no item e, para o qual solicitamos o número 0,999..., em forma fracionária, observamos que algumas equipes tiveram dificuldade e deixavam em branco; outras até tentavam encontrar a solução e, como não tinham certeza, escreviam qualquer forma de fração. Dos alunos investigados em Matemática, ao resolverem o item, constatamos que dois grupos não consideraram (0,999...), como uma dízima periódica infinita e escreveram em forma de fração decimal. Um grupo não respondeu à questão e outro, além de escrever em forma de fração decimal, expressou ser infinito.
Fizemos nossas intervenções e indagamos aos grupos sobre as suas respostas, de forma que, no decorrer da aplicação dessa atividade, observamos um aluno explicando aos colegas de seu grupo a resolução do número 0,999..., algebricamente, cuja resposta era 9/9, com resultado igual a 1. Aproximamo-nos do grupo, provocamos os participantes a explicarem a sua solução e os estimulamos a justificarem as suas conjecturas.
Esse aluno admirou-se muito, disse “vou explicar”, e, lembrando-se do cálculo que usa na sua sala de aula, com os alunos do 8º ano do ensino fundamental, quando trata de determinar uma fração geratriz de uma dízima periódica, apressou-se em justificar:
“Professora, eu ensino assim aos meus alunos, pois é assim que está no livro didático”
(AM8). Vejamos a explicação: “Eu chamo de x a fração geratriz e digo que x = 0,999... e, depois, multiplico ambos os membros da igualdade por 10, que é o valor conveniente, até obter uma igualdade equivalente onde seja possível subtrair-se a igualdade da nova igualdade, para eu poder eliminar a parte decimal. Assim, eu multiplico ambos os membros da igualdade por 10. Assim, 10x = 9,999... . Quando eu subtrair, obtenho 9x = 9 e chego à resposta que x = 1”.
Para concluir a aplicação das questões sobre números, tratamos de apresentar aos alunos as atividades com os números irracionais, as quais envolviam situações-problema com o π = 3,14... , e eles pudessem escrever um número irracional entre os números, como 2,5 e 3 e -10/3 e -8/3.
Uma atividade que entusiasmou os grupos, nas turmas investigadas, foi sobre o comprimento de uma circunferência. Nela, era solicitado o uso de barbante ou régua, em objetos arredondados, para medirem o comprimento da circunferência, como também seu diâmetro, e calcular a razão entre os mesmos (c/d). A figura 4 mostra o aluno realizando a atividade sobre π:
Figura 34 – Aluno de Matemática executando tarefa prática do π
Para essa tarefa, lembramos aos investigados alguns elementos presentes em uma circunferência: diâmetro, raio e corda. Nessa atividade, sugeríamos a observação do que pode acontecer com relação ao PI (π = 3,14...). O Quadro 11 resume o que observaram alguns dos alunos investigados.
Quadro 11- Observações dos alunos sobre atividade do Pi e o comprimento da circunferência
PEDAGOGIA MATEMÁTICA
Nos objetos arredondados, a divisão do comprimento pelo seu diâmetro é sempre aproximado ao valor do Pi (AP1).
Observo que houve uma repetição nos valores encontrados na razão entre o comprimento e o diâmetro em valor aproximadamente para 3,2 que podem ser uma aproximação ao valor do Pi (AM5).
Quando dividimos o comprimento pelo diâmetro o resultado simplesmente é igual ao valor que representa o Pi (AP13).
A divisão do comprimento pelo diâmetro chega próximo ao pi = 3,14... (AM15).
Todos são irracionais e aproximados ao Pi (AP11).
É uma constante que é obtida da divisão do comprimento e o diâmetro de uma circunferência (AM7)
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Por fim, apresentamos um depoimento de uma aluna de Pedagogia que, na nossa compreensão, absorveu todo nosso diálogo com esse estudo sobre os números, principalmente os irracionais. Ao fazer seus cálculos, sempre sem uso de calculadora (à mão ou mentalmente), com seus objetos escolhidos, fez sua observação bem mais abrangente que os
demais e expressou: “Algumas medidas dão números irracionais; dízimas não periódicas,
independente do objeto medido, a divisão do comprimento dividido pelo diâmetro dá sempre um número próximo do π =3,14...” (AP 21).
A questão 6 foi outra também muito discutida, quando realizada pelos alunos, tanto de Pedagogia quanto de Matemática. Dentre as opções do enunciado da questão (a a d), o aluno deveria marcar aquela em que o número não podia ser expresso em forma fracionária e, depois, opinasse sobre a questão.
6. Qual dos números abaixo não pode ser expresso na forma de fração? a) 0,1001001001001001001000...
b) 0,6234623462346234... c) 5,21043210432104321043... d) 3,142114221423142414251426...
Na turma de Pedagogia, dos 14 alunos que participaram da atividade, todos optaram pela letra d. Dos 14 alunos participantes de Matemática, 12 marcaram a letra d e 2 alunos não responderam. O Quadro 12 evidenciam as conclusões a que chegaram os alunos sobre a solução da questão.
Quadro 12 - Conclusões dos investigados sobre a solução da questão 6
PEDAGOGIA MATEMÁTICA
Para expressar um número em forma de fração é
necessário se ter uma sequência, o que não acontece com o mesmo;
Porque não é uma dízima periódica;
Não, porque são dízimas periódicas sem fim; Somente a letra “d” não pode ser escrita em
forma de fração porque a dízima não é periódica;
O número que não representa uma periódica,
não pode ser expresso na forma de uma fração;
Só as dízimas periódicas podem ser expressas
sob forma de fração;
Porque não é uma dízima periódica; a sequência
após a vírgula não é a mesma.
Os números irracionais (dízimas não periódicas)
não podem ser expressos na forma de fração;
O número que não repete o período não pode ser
escrito na forma de fração, ou seja, ele é irracional;
Número irracional, sendo assim impossível
escrever na forma de fração;
Que é um número irracional, portanto, não é
possível colocarem forma de fração;
Por ser uma dízima não periódica;
Só as dízimas periódicas é que podem ser
escritas na forma de fração;
Que apenas as dízimas periódicas podem ser
escritas em formas de fração.
Fonte: Dados primários coletados pela pesquisadora - 02/06 a 24/08/2012
Para concluirmos a análise da questão 6, na qual se observou ter uma maior predominância para a letra d, queremos registrar outras respostas marcadas pelos alunos. Um investigado de Matemática, respondendo individualmente, ao marcar as letras c e d, concluiu
“que as dízimas periódicas simples poderão ser escritas em forma de fração, já a composta não”. Outro aluno marcou todos os itens de a a d, e a sua justificativa era que “todos são números irracionais”. Aconteceu de uma aluna não responder; por fim, a aluna marcou a letra
d, mas não fez suas conclusões pela opção. Na nossa análise, esses alunos não tinham certeza da definição dos racionais e dos irracionais, fato justificado pelas ausências nas sessões de estudos sobre os números; embora eles tivessem outra formação, mas era em áreas da Educação como Pedagogia e estavam ainda em formação na licenciatura em Matemática.