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Para se especificar a orientação de uma junta, a primeira coisa a se fazer é especificar um sistema de coordenadas associado a ela, o qual funcionará como o sistema de referência para se realizar as medidas angulares necessárias. Entretanto, como a orientação de uma junta é dada pela orientação relativa entre os corpos que a ela se ligam, primeiramente é preciso especificar a orientação de cada corpo.

Orientações 3D dos Corpos

Como no caso das juntas, a especificação da orientação de um corpo exige primeiramente a especificação de um sistema de coordenadas associado a ele. Além disso, informações de referência são também exigidas, consistindo de uma orientação e uma posição que devem ser assumidas como nulas (no caso, uma orientação nula corresponde a uma matriz de rotação igual à matriz identidade). Assim, a orientação e a posição do corpo são então medidas relativas a essa orientação e essa posição nulas de referência.

Figura 2.7: Sistema de coordenadas local de um corpo.

Intuitivamente, como ilustrado na Figura 2.7, definir essas informações pode ser pensado como definir o corpo com uma orientação e uma posição iniciais, correspondendo às informações nulas de referência em coordenadas globais, e associar (“fixar”) ao corpo um sistema de coordenadas local, inicialmente idêntico ao sistema global. Esse sistema de coordenadas local deve ser associado ao corpo de tal maneira que sua origem e seus eixos acompanhem o movimento do corpo como se estivesse colado nele.

Rcor po, a mesma usada para definir a matriz de transformação homogênea (Subseção 2.3.2)

desse sistema de coordenadas móvel, vinculado ao corpo, para o sistema de coordenadas globais. A posição 3D do corpo em coordenadas globais por sua vez corresponderá ao vetor de translação tcor po. A orientação e a posição do corpo também podem ser facilmente definidas em

qualquer outro sistema de coordenadas dado, simplesmente usando esse outro sistema como o sistema de referência. Note que, se o sistema de referência em questão for o próprio sistema local do corpo, a posição e a orientação obtidas serão sempre nulas.

É importante que a orientação e a posição nulas de referência sejam escolhidas de maneira conveniente ao propósito da animação. Quando o modelo do corpo é usado em simulação física, é conveniente que os seus eixos principais de inércia estejam alinhados com os eixos do seu sistema de coordenadas local e que seu centro de massa seja usado como origem desse sistema de coordenadas.

Orientações 3D Relativas Entre Corpos

Uma estrutura articulada é definida de acordo com uma hierarquia, a partir de um corpo principal chamado corpo raiz. Esse corpo corresponde portanto ao nível mais alto na hierarquia da estrutura. Seguindo essa hierarquia, cada junta associa sempre dois corpos possuindo diferentes níveis. O corpo de nível mais alto é chamado de corpo pai e o de nível mais baixo de corpo filho. Como dito anteriormente, a orientação de uma junta é dada pela orientação relativa entre seus respectivos corpos. Para medir essa orientação relativa, primeiramente é necessário que um sistema de coordenadas local da junta, vinculado ao seu corpo pai, seja definido. Definido esse sistema local, a orientação da junta então equivale simplesmente à orientação do seu corpo filho definida em coordenadas do sistema local da junta. É importante notar aqui que a orientação de uma junta esférica depende apenas da orientação relativa entre os corpos, não dependendo portanto da posição relativa entre eles. Assim, ao invés de uma matriz de transformação homogênea (Subseção 2.3.2), apenas uma matriz de rotação é usada para transformar a orientação do corpo filho.

Como ilustrado na Figura 2.8, a maneira mais simples de se definir o sistema de coordenadas local da junta é escolher sua origem coincidindo com o ponto de encaixe da junta e os seus eixos alinhados aos eixos do sistema de coordenadas do corpo pai da junta. Note que o sistema da junta é vinculado ao corpo pai de tal maneira que sua origem e seus eixos acompanham o movimento do corpo pai como se estivessem colados nele. No centro, a figura mostra dois corpos, inicialmente com suas orientações nulas (medidas em coordenadas globais), correspondendo à orientação da junta nula de referência. Na direita da figura, os mesmos dois

Figura 2.8: Sistema de coordenadas local da junta alinhado ao sistema de coordenadas local do corpo pai.

corpos são mostrados com orientações diferentes, arbitrariamente escolhidas. A orientação 3D da junta, Rjunta, é então dada pela orientação 3D do seu corpo filho, Rf ilho (em coordenadas

globais), transformada para coordenadas da junta. Como a orientação 3D do seu corpo pai, Rpai, transforma do sistema de coordenadas do corpo pai, alinhado ao sistema da junta, para

o sistema de coordenadas globais, a orientação 3D necessária à transformação desejada é a inversa Rpai−1. Portanto, a orientação 3D da junta é dada por: Rjunta= Rpai−1Rf ilho.

Figura 2.9: Caso mais geral do sistema de coordenadas local da junta, não alinhado ao sistema de coordenadas local do corpo pai.

A Figura2.9ilustra o caso mais geral, no qual é possível definir o sistema de coordenadas da junta ainda vinculado ao corpo pai mas não alinhado ao sistema de coordenadas do mesmo. Nesse caso, uma orientação inicial, não nula em coordenadas globais, é escolhida para o corpo pai e o sistema de coordenadas da junta é então associado ao mesmo, inicialmente alinhado ao sistema de coordenadas globais, como mostrado no centro da figura. Note que o sistema da junta, mesmo não estando alinhado ao sistema do corpo pai, ainda acompanha o seu movimento como se estivesse colado nele. Ainda em relação a esse caso mais geral, uma outra orientação inicial pode ser escolhida também para o corpo filho, a fim de permitir definir uma orientação nula de referência para a junta de maneira completamente arbitrária, de acordo com o propósito de cada situação. Novamente no centro da figura, pode-se notar que a orientação nula de

referência definida para a junta é agora livremente escolhida, diferente do caso mais simples mostrado na Figura2.8.

Assim, nesse caso mais geral, essas orientações iniciais escolhidas para os dois corpos devem ser incluídas no cálculo da orientação da junta, Rjunta. Primeiramente, esse novo

cálculo deve considerar a orientação do corpo filho a partir de sua orientação inicial escolhida, atualizando Rf ilho para Rf ilhoRinif ilho

−1_{. Depois, a orientação que transforma do sistema de}

coordenadas da junta para o sistema de coordenadas globais não é mais dada apenas por Rpai,

e sim por RpaiRinipai

−1_{. A inversa dessa orientação atualizada é portanto igual a R}ini

paiRpai−1. A

orientação 3D da junta é, finalmente, definida como: Rjunta= RinipaiRpai−1Rf ilhoRinif ilho −1_.