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Introduzida em 1965 por Lotfi Zadeh, a Teoria dos Conjuntos Fuzzy19 (FST) propõe que problemas complexos, onde há imprecisão e incerteza, possam ser tratados, matematicamente, a partir de avaliações subjetivas. Com isso, a FST passou a desafiar o paradigma histórico da abordagem de incertezas, as quais eram tratadas, basicamente, por meio de métodos probabilísticos.
Métodos probabilísticos são ferramentas ideais para lidar com incertezas em situações onde as classes de frequência são conhecidas ou há disponibilidade de longas séries de dados experimentais independentes e randômicas. Por meio dos métodos probabilísticos, as incertezas devem ser caracterizadas por distribuições de probabilidade específicas. Caso não exista informação suficiente sobre a situação em análise, nenhuma distribuição é sustentada por evidências e, assim, a escolha de determinada distribuição de probabilidade é incoerente (KLIR e YUAN, 1995).
Em contrapartida, a FST, aliada à Teoria das Possibilidades, é apropriada para situações nas quais os dados são de difícil obtenção ou não existem. Por ser menos restrita do que os métodos probabilísticos, a lógica fuzzy permite avaliações por meio de variáveis linguísticas, ao invés de valores numéricos coletados de longas observações (ABDELGAWAD e FAYEK, 2010). Consequentemente, o novo paradigma criado pela FST é capaz de lidar, numericamente, com uma classe maior de problemas, em especial, aqueles que envolvem informações vagas e subjetivas.
A FST fornece ferramentas teóricas robustas capazes de lidar com conceitos expressos em linguagem natural (KLIR e YUAN, 1995). Tais ferramentas permitem a representação de conceitos linguísticos – inerentemente vagos, em geral – por conjuntos numéricos fuzzy. Ainda segundo os autores, elas possibilitam a manipulação desses conceitos para diversos propósitos, por meio de relações, funções e equações, o que, antes do surgimento da FST, não era exequível.
A seguir, elucidam-se os tópicos da FST mais importantes ao desenvolvimento desta pesquisa, conforme o livro-referência de Klir e Yuan (1995).
Um conjunto fuzzy20 pode ser definido, matematicamente, associando, para cada
elemento do universo de discurso, um valor que represente seu grau de pertinência21. O grau de
pertinência corresponde ao nível de compatibilidade ou similaridade do elemento com o conceito representado pelo conjunto fuzzy. Assim, os elementos podem ter diversos graus de adequação a um determinado conjunto. A capacidade de os conjuntos fuzzy expressarem graus de pertinência variáveis é de fundamental importância na representação e medida de incertezas, além de ser significativa na interpretação de conceitos vagos expressos em linguagem natural.
Cada conjunto fuzzy 𝐴, contido no conjunto universo22𝑋, é definido, exclusivamente,
por uma função de pertinência23 𝜇
𝐴(𝑥), sendo expresso como pares ordenados, conforme a
Equação 2.2.
𝐴 = {(𝑥, 𝜇𝐴(𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} Equação (2.2)
Comumente, a função de pertinência 𝜇𝐴(𝑥) relaciona, para cada elemento 𝑥 contido em 𝑋, um número real no intervalo [0,1].
20 Tradução proposta para fuzzy set.
21 Tradução proposta para grade of membership. 22 Tradução proposta para universal set. 23 Tradução proposta para membership function.
A função de pertinência expressa o grau de pertinência de 𝑥 ao conjunto 𝐴, ou seja, ela indica o grau de compatibilidade entre o elemento 𝑥 e o conceito que 𝐴 representa, de forma que:
• 𝜇𝐴(𝑥) = 1: aponta que 𝑥 é totalmente compatível com 𝐴;
• 𝜇𝐴(𝑥) = 0: aponta que 𝑥 totalmente incompatível com 𝐴;
• 0 < 𝜇𝐴(𝑥) < 1: aponta que 𝑥 é parcialmente compatível com 𝐴, com grau 𝜇𝐴(𝑥).
Uma das consequências disso é que a proposição “𝑥 é um membro de 𝐴” não é, necessariamente, verdadeira ou falsa, mas pode ser verdadeira por um certo grau, o grau com que 𝑥 pertence a 𝐴.
Seja 𝑅 um conjunto de números reais. Se existir um número real 𝑠 (ou um número real 𝑖), tal que 𝑥 ≤ 𝑠 (ou respectivamente 𝑥 ≥ 𝑖) para todo 𝑥 ∈ 𝑅, então 𝑠 é chamado de limite superior (s𝑢𝑝 𝑅) e 𝑖 de limite inferior (𝑖𝑛𝑓 𝑅) de 𝑅. Seja, ainda, 𝑟̃ um número fuzzy. O valor central24 de 𝑟̃, representado por 𝑐𝑜𝑟𝑒(𝑟̃), é definido pela Equação 2.3.
𝑐𝑜𝑟𝑒(𝑟̃) =12 ×(𝑖 + 𝑠) (Equação 2.3)
Outro conceito importante da FST refere-se à altura25ℎ(𝐴) de um conjunto fuzzy 𝐴, que
representa o maior grau de pertinência obtido para um elemento do conjunto. Um conjunto fuzzy é chamado de normal quando ℎ(𝐴) = 1; ele é chamado de subnormal quando ℎ(𝐴) < 1.
Um dos conceitos mais importantes da FST é o conceito de 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡. Dado um conjunto fuzzy 𝐴, definido em 𝑋, e qualquer número 𝛼 ∈ [0,1], o 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡 é um conjunto crisp26 𝐴𝛼, segundo a Equação 2.4.
𝐴𝛼 = {𝑥|A(𝑥) ≥ 𝛼} Equação (2.4)
Isto é, o 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡 de um conjunto fuzzy 𝐴 é o conjunto crisp 𝐴𝛼 que contém todos os elementos do conjunto universo 𝑋 cujos graus de pertinência sejam maiores ou iguais ao valor específico de 𝛼.
24 Tradução proposta para core value. 25 Tradução proposta para height.
26 Em conjuntos crisp, um dado elemento do universo de discurso pertence ou não pertence ao conjunto, ou seja,
não há um grau de pertinência associado como em conjuntos fuzzy. Os conjuntos crisp referem-se à Teoria clássica dos conjuntos.
A utilidade da FST depende, especialmente, da habilidade de construírem-se funções de pertinência apropriadas para os conceitos e contexto em questão, sendo elas representadas por diferentes formas de gráficos. Não obstante, em inúmeros casos, as aplicações não são sensíveis a mudanças na forma do gráfico de 𝜇𝐴(𝑥). Consequentemente, é mais conveniente utilizar formas de maior simplicidade computacional e representação mais nítida, como a triangular.
De fato, Nieto-Morote e Ruz-Vila (2011) alertam que, quando se utiliza a FST, os resultados dependem, fortemente, da forma do gráfico de 𝜇𝐴(𝑥). Ainda para os autores, funções de pertinência não-regulares implicam em cálculos mais complicados, enquanto conjuntos fuzzy com funções de pertinência mais simples são, geralmente, mais intuitivos e de natural interpretação.
Atualmente, funções de pertinência triangulares têm sido empregadas com êxito no contexto da construção civil (NIETO-MOROTE e RUZ-VILA, 2011; KHAZAENI et al, 2012; LEE, 2015). Além do mais, Pedrycz (1994) verificou que elas capturam, satisfatoriamente, a imprecisão de avaliações por variáveis linguísticas no mecanismo de modelagem da FST.
Um número fuzzy 𝑎̃ é um caso especial de conjuntos fuzzy 𝐴, onde são obedecidas as condições:
• Estar contido no conjunto dos números reais; • Possuir altura ℎ(𝐴) = 1, ou seja, deve ser normal; • Apresentar função de pertinência 𝜇𝐴 contínua;
• Ser convexo, ou seja, a linha definida por um 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡 deve ser contínua.
Então, um número triangular fuzzy 𝑡̃ é definido por três números 𝑙 < 𝑚 < 𝑢, onde o gráfico de sua função de pertinência 𝜇𝑇(𝑥) é um triângulo com a base contida no intervalo [𝑙, 𝑢] e o vértice em 𝑥 = 𝑚, conforme a Figura 2.6.
Figura 2.6. Número triangular fuzzy 𝑡̃.
Então, escreve-se 𝑡̃ = (𝑙, 𝑚, 𝑢), onde: • 𝑙 = 𝑖𝑛𝑓(𝑡̃);
• 𝑚 = 𝑐𝑜𝑟𝑒(𝑡̃); • 𝑢 = 𝑠𝑢𝑝(𝑡̃).
A função de pertinência 𝜇𝑇(𝑥) pode ser descrita pela Equação 2.5.
𝜇𝑇(𝑥) = { 𝑥 − 𝑙 𝑚 − 𝑙 1 𝑢 − 𝑥 𝑢 − 𝑚 0 𝑙 ≤ 𝑥 < 𝑚 𝑥 = 𝑚 𝑚 < 𝑥 ≤ 𝑢 demais casos (Equação 2.5)
Tem-se, então, que os intervalos dos 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡 de um número triangular fuzzy são definidos pela Equação 2.6.
𝐴𝛼= [𝑙 + (𝑚 − 𝑙). 𝛼 , 𝑢 − (𝑢 − 𝑚). 𝛼] (Equação 2.6)
Salienta-se que, embora a forma da função 𝜇𝑇(𝑥) possua certa semelhança com uma distribuição de probabilidade triangular, há diferenças essenciais entre elas. Mais ainda, os conceitos em torno da FST são completamente não-estatísticos (ZADEH, 1965).
Seguindo os princípios propostos por Zadeh (1965), as operações aritméticas envolvendo dois números fuzzy triangulares (𝑡̃1 e 𝑡̃2) seguem as leis apresentadas nas Equações 2.7-2.10:
(𝑙1, 𝑚1, 𝑢1) ⊕ (𝑙2, 𝑚2, 𝑢2) = (𝑙1+ 𝑙2, 𝑚1+ 𝑚2, 𝑢1+ 𝑢2) (Equação 2.7)
(𝑙1, 𝑚1, 𝑢1) ⊗ (𝑙2, 𝑚2, 𝑢2) ≈ (𝑙1×𝑙2, 𝑚1×𝑚2, 𝑢1×𝑢2) (Equação 2.8)
(𝜆, 𝜆, 𝜆) ⊗ (𝑙1, 𝑚1, 𝑢1) = (𝑙1×𝜆, 𝑚1×𝜆, 𝑢1×𝜆), 𝜆 > 0, 𝜆 𝜖 𝑅 (Equação 2.9)
(𝑙1, 𝑚1, 𝑢1)−1≈ (1 𝑢⁄ , 1 𝑚1 ⁄ 1, 1 𝑙⁄ ) 1 (Equação 2.10)
A Equação 2.8 é, na verdade, uma simplificação da multiplicação fuzzy original envolvendo dois números triangulares. No entanto, ela apresenta resultados satisfatórios, bem próximos aos produzidos pela formulação inicial (ZADEH, 1965).
O conceito de número fuzzy possui um papel fundamental na formulação das variáveis fuzzy. Quando os números fuzzy representam conceitos ou termos linguísticos, tais como “muito pequeno”, “pequeno”, “médio”, em alguns contextos, as variáveis resultantes são chamadas de variáveis linguísticas. As variáveis linguísticas possuem termos linguísticos, pertinentes a uma situação particular, os quais são captados por números fuzzy apropriados, definidos em termos da variável base.
Cada variável linguística pode ser totalmente caracterizada pela quina (𝑣, 𝐿, 𝑈, 𝑔, 𝑚), onde 𝑣 é o nome da variável; 𝐿 é o conjunto de termos linguísticos de 𝑣, que se referem a variável base, cujos valores estão contidos no universo de discurso 𝑈; 𝑔 é a regra sintática utilizada para gerar termos linguísticos; e 𝑚 é a regra semântica que atribui significado a cada termo linguístico, ou seja, associa, para cada valor gerado por 𝑔, um número fuzzy em 𝑈.
De modo geral, o principal objetivo de utilizarem-se variáveis linguísticas é fornecer uma maneira sistemática capaz de captar e lidar com sentenças expressas em linguagem natural. Portanto, por meio da FST, torna-se possível analisar, matematicamente, problemas que demandam o emprego de julgamentos subjetivos baseados em termos e expressões linguísticos.