Nationwide incentives, standards and regulations in Norway

Sierpinska (1992), no artigo “On Understanding The Notion of Function”, realizou um estudo dos obstáculos epistemológicos da evolução histórica do conceito de função, discutiu a compreensão do conceito de função dos estudantes e as suas dificuldades. Essa discussão envolveu confronto com os obstáculos de modo a estabelecer um ato de compreensão (AC) dos estudantes para cada obstáculo epistemológico (OE), o que permite superar as dificuldades.

Para ela, a compreensão do conceito de função significa poder lidar com as várias relações entre as respostas dadas às duas questões: O que diz a definição de função? Sobre o que trata a definição?

A autora argumentou que a compreensão do significado de um conceito matemático é apresentada como uma relação à concepção representacional simbólica e como um objeto. A seguir, apresentaremos os obstáculos epistemológicos (OE) e os atos de compreensão (AC) que se relacionam a eles: (OE1) Obstáculo ligado a uma filosofia matemática que não diz respeito a problemas práticos.

(AC1) Identificação de mudanças observadas no mundo como um problema prático a ser resolvido.

(OE2) Técnicas computacionais usadas para produzir tabelas de relações numéricas não são válidas como objetos de estudo da Matemática.

(AC2) Identificação de regularidades nas relações entre as variáveis, como maneira de lidar com elas.

(OE3) Nas mudanças tomadas como fenômenos, focaliza-se em como as coisas mudam e ignora-se o que muda.

(AC3) Identificação das quantidades constantes e das variáveis (sujeitos de mudança).

(OE4) Pensar em termos de equações e desconhecidos a serem extraídos delas. (AC4) Discriminar dois modos de pensamento matemático: um, em termos de quantidades conhecidas e desconhecidas, outro, em termos de quantidades constantes ou variáveis.

(AC5) A discriminação entre as variáveis dependentes e as variáveis independentes.

(OE6) Concepção heterogênea do conceito de número. (AC6) Generalização e síntese do conceito de número.

(OE7) Uma filosofia pitagórica do conceito de número: tudo é número. (AC7) Discriminação entre número e quantidade.

(OE8) Lei em física e função em matemática não tem nada em comum, pertencem a domínios diferentes de pensamento.

(AC8) A síntese dos conceitos de lei e o conceito de função como ferramenta para modelar as magnitudes físicas e outras.

(OE9) Proporção é um tipo privilegiado de relação.

(AC9) Discriminação entre uma função e as ferramentas analíticas usadas para descrever sua lei.

(OE10) Forte crença no poder de operações formais em expressões algébricas. (AC10) Discriminação entre definições matemáticas e descrições de objetos. (OE11) Somente relacionamentos descritíveis por fórmulas analíticas são dignos de serem chamados de funções.

(AC11) Síntese da concepção geral de função como um objeto.

(OE12) Definição é uma descrição de um objeto. A definição não determina o objeto, e sim, o objeto determina a definição.

(AC12) Discriminação entre o conceito de definição e o de relação. (OE13) Funções são seqüências.

(AC13) Discriminação entre as noções de função qualquer e seqüência. (OE14) Coordenadas de um ponto são segmentos de retas, não números.

(AC14) Discriminação entre as coordenadas de um ponto e os segmentos de reta.

(OE15) O gráfico de uma função é um modelo geométrico de um relacionamento funcional.

(AC15) Discriminação entre as diferentes representações da função. (OE16) As mudanças de uma variável são mudanças no tempo.

(AC16) As sínteses das diferentes abordagens sobre funções, representando funções e falando sobre elas.

A autora expõe os seguintes atos de compreensão, porém não indica a quais obstáculos se referem:

(AC17) Generalização de uma noção de variável.

(AC 18) A síntese dos papéis da noção de função na História da Ciência: as buscas por relacionamentos funcionais e causais são ambas expressões do empreendimento humano para entender e explicar as mudanças no mundo. (AC 19) A discriminação entre as noções de relacionamentos funcionais e causais.

Sierpinska (1992) infere que uma das implicações pedagógicas dos obstáculos epistemológicos é que o conceito de função não aparece para os alunos como uma das possíveis ferramentas, para resolver problemas do cotidiano e, assim, esse conceito não tem sentido para eles fora da sala de aula.

Ela apontou que a análise epistemológica do conceito permite sugerir algumas recomendações pedagógicas para o ensino tais como:

1- Sobre motivação: dar oportunidades aos alunos de usarem o conhecimento sobre funções na explicação de fenômenos de seu dia-a-dia ou de outras ciências a partir de modelos de relacionamentos de variáveis que observam. 2- Sobre textos introdutórios: apresentar as funções na forma analítica como ferramenta de modelagem de situações da vida real ou da ciência a partir de discussões em sala de aula.

3- Sobre os conceitos de desenvolvimento: usar métodos de interpolação para construção de tabelas numéricas obtidas em contextos matemáticos, a fim de aprofundar os níveis de abordagem do conceito de função.

4- Sobre o desenvolvimento de um nível mais elaborado da compreensão de funções: incentivar os alunos a verbalizarem os sujeitos de mudanças, tornando- os capazes não somente a indicar como isso muda, mas também o que muda. 5- Sobre os pré-requisitos: desenvolver nos alunos uma cultura algébrica de nível estrutural antes de introduzir a definição geral de função.

6- Sobre representações: prover os alunos com um amplo espectro de formas de apresentar relações funcionais (aplicações, transformações, etc) e dar-lhes flexibilidade, para usá-las em situações aplicadas.

7- Sobre as definições: introduzir a definição de função no nível do Ensino Médio de um modo mais informal, como exemplo, a definição de Dirichlet e deixar o estudo das relações para o nível superior.

8- Sobre a discriminação entre similaridades e diferenças entre relações causais e funcionais, para contribuir na compreensão de ambas.

Sierpinska finalizou o artigo destacando a importância da ocorrência da tensão emocional durante a realização dos atos de compreensão dos conceitos matemáticos para superação de obstáculo, pois “a tarefa educacional verdadeira consiste em administrar e não em eliminar a tensão” (SIERPINSKA, 1992, p. 58, tradução nossa).