National input to the NEAC PFA model

Nesta categoria, estamos considerando as demonstrações baseadas em

experimentos, isto é, formas de validação que fazem uso de materiais concretos de maneira a justificar e explicar os resultados matemáticos (desenhos ou dobraduras); exemplos ou casos particulares.

As expressões que são utilizadas pelos autores dos livros didáticos para referir- se a este tipo de demonstração indicam algum tipo de ação, seja ela uma decomposição,

transformação de figuras, experiências, dentre outros. Exemplos de expressões que fazem parte das demonstrações que compõe esta categoria seriam: “conclusões práticas‖, “constatar empiricamente”, “vamos verificar de forma experimental” e “basta transformar‖. Além

disso, há expressões como ―observe como estes (...)”, “neste quadrado” e “considere a

seguinte figura”, que sinalizam que ação é feita sob um objeto particular.

Este tipo de demonstração está presente em todos os volumes das coleções destinadas aos anos finais do ensino fundamental; quanto ao ensino médio, ele apenas não aparece nos livros do 1º ano. Entretanto, apesar de esse procedimento ser utilizado em quase todos os livros destinados aos diferentes níveis, quantitativamente, ele não é o mais recorrente e qualitativamente valorizado.

Observamos também certo padrão quanto este tipo de demonstração em conteúdos determinados da geometria plana e espacial: é frequente quando se busca determinar as fórmulas para cálculo de área de figuras e volume de sólidos geométricos, para calcular a soma dos ângulos internos e externos de polígonos e na validação do Teorema de Pitágoras.

Na demonstração escolar via experimentos e casos particulares, as justificativas

não são formais, ou seja, não decorre de axiomas, postulados e de outras proposições demonstradas a priori. Elas são frutos da experimentação, da manipulação de objetos e da busca por exemplos que se enquadram na propriedade. Neste tipo de procedimento, o foco está muitas vezes na descoberta, na convicção e/ou nas justificativas. Aliás, são as justificativas que permitem a compreensão da propriedade. É um procedimento que não se preocupa com rigor e formalismo e sim com as justificativas e convencimentos baseados em representações de objetos, isto é, a generalização de resultados se dá de maneira indutiva, em que da observação de casos específicos que compartilham certas características, leva-se a afirmar a validade geral de uma propriedade. Uma das características principais desse procedimento é o aspecto visual. Além disso, o que compõe os argumentos da demonstração são observações de experiências, o que reforça a esse procedimento essa tônica indutiva.

Nossa análise inicial possibilitou constatar algumas variações deste tipo de procedimento, além da observação da frequência de tal método e da sua distribuição em cada nível de ensino. Entretanto, o princípio do procedimento, ou seja, as ações sob objetos particulares se manteve para todos.

As análises indicam diferentes propostas de atividades nos livros didáticos que se encaixam dentro dessa categoria. Identificamos, após a leitura da seção de geometria de todos os volumes considerados na pesquisa, quatro tipos de atividades: os testes de casos particulares, os experimentos utilizando material concreto, medições (desenhos e instrumentos de medida) e experimentos acompanhados de justificações. Esclarecimentos quanto cada tipo serão dados a seguir.

O primeiro exemplo seria os testes de casos particulares (figura 36), procedimento em que são utilizados um exemplo ou um número reduzido de exemplos, de onde se constata a validade de uma propriedade matemática.

Apresentamos o exemplo da decomposição de um polígono em triângulos. Nesse exemplo, as justificativas são realizadas mediante dois casos: polígonos de 5 e 6 lados. Podemos dizer que o objetivo da atividade era levar os estudantes por meio da observação de alguns casos, constatar um padrão e generalizá-lo. Desse modo, é solicitada a decomposição dos polígonos em triângulos e se indica que o número de triângulos formados pela decomposição é o número de lados menos 2 _{―𝑛 − 2".}

Por meio destes dois casos (polígonos de 5 e 6 lados) se afirma de maneira geral a propriedade relativa a decomposição de polígonos em triângulos.

Com a figura 37, exemplificamos um caso em que a verificação de uma propriedade se deu por medição. O autor enuncia o que se deseja verificar: ―se dois ângulos correspondentes forem congruentes, então as retas r e s serão paralelas‖. Então, para verificar a propriedade, o autor parte de um desenho de uma reta t transversal e um par de retas paralelas r e s, onde são destacados os ângulos correspondentes a e b. Nesse caso, o procedimento consiste em verificar se as propriedades anunciadas – ângulos correspondentes são congruentes – estão presentes na figura. Para isso ele usa o recurso da medição, isto é: primeiramente verifica se os ângulos correspondentes são congruentes por meio de um

Figura 35 - Propriedade das diagonais dos polígonos

instrumento de medida de ângulos (transferidor), depois, com o auxílio de régua e esquadro, verifica que as retas r e s têm a mesma inclinação, isto é, são paralelas.

Figura 36 – Ângulos correspondentes

Fonte – (A CONQUISTA DA MATEMÁTICA - 8º ano, 2009, p. 226)

No caso das figuras 38 e 39, que trata da propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo e do cálculo do volume do cone, respectivamente, temos o uso de materiais concretos para verificar as propriedades. Esse procedimento também depende da interpretação do estudante e do professor, pois, ele não vem acompanhado de explicações de seus passos.

Figura 37 - Validação por meio da experiência

Pelas demonstrações, vemos que a sua conclusão necessita do pensamento

dedutivo e relacional, ou seja, no caso da figura 38, da observação da construção e separação dos ângulos e nova disposição dos mesmos deduz-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta em um ângulo raso, um ângulo medindo 180º. Há a necessidade de relacionar conceitos e relembrar outros já estudados.

Para a figura 39, observamos que o fato de juntar a água que contém em cada cone em um cilindro e este volume de água completar o do cilindro, nos leva a deduzir que o volume do cilindro equivale a três vezes ao de um cone de mesma área da base e altura que o cilindro.

Figura 38 - Comprovação da fórmula para cálculo do volume de um cone

Fonte - (Matemática contextos e aplicações – 2º ano, 2011, p. 258).

Interpretamos o procedimento exemplificado pela figura 40, como uma evolução do procedimento tratado anteriormente. Nesse caso, a atividade não é concluída em si mesma, mas vêm acompanha por uma explicação das etapas.

Figura 39 – Área do círculo

Fonte - (NOVO OLHAR MATEMÁTICA - 2º ano, 2010, p. 202)

No exemplo (figura 40), deseja-se determinar a fórmula para cálculo da área do círculo. Por meio de um caso específico, um círculo dividido em 20 partes iguais, e da reorganização de cada parte dessas em uma figura que se aproxima a um paralelogramo calcula-se a área dessa figura. Com isso, de maneira aproximada, temos que a altura do paralelogramo será aproximadamente o raio do círculo _{(𝑟) e a medida da base dessa figura} será a metade da medida do comprimento da circunferência (_{𝜋𝑟). Teremos, portanto, que a} fórmula para cálculo da área do círculo é: _{𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 ∙ 𝑟 = 𝜋𝑟². Esse resultado} foi obtido, realizando ações sob um objeto específico; estendendo-o, por fim, a todos os casos não verificados.

No exemplo abaixo, se deseja obter, por meio da observação de padrões, o

Teorema de Pitágoras. Isso pode ser feito de diferentes formas, mas o que nos interessa nesta categoria é aquela feita mediante experimentos e casos particulares. Neste exemplo, há um mosaico com vários triângulos retângulos coloridos de verde, quadrados amarelos construídos sobre a hipotenusa desses triângulos e quadrados rosa construídos sobre os catetos. A partir da

observação de regularidades da comparação da área de cada quadrado (amarelo e rosa), é possível concluir que a relação do Teorema de Pitágoras é válida para esses triângulos verdes. O Teorema de Pitágoras é então enunciado após esse procedimento.

Figura 40 - Verificação do Teorema de Pitágoras

Fonte: (A conquista da matemática – 9º ano, 2009, p. 247).

O uso deste tipo de demonstração escolar leva a compreender que, se a relação funciona neste caso, funcionará sempre em outros. Esta demonstração (figura 41)se diferencia ligeiramente das anteriores porque, enquanto naquelas as evidências estavam concentradas em um caso específico, agora a busca está na generalização de algo que ainda pouco se conhece,

por meio de um número maior de testes, o que geraria mais convicção quanto à validade da relação.

Este tipo de demonstração escolar é visto nas pesquisas mencionadas na revisão da bibliografia como o primeiro nível de validação e como uma forma de contribuir para a compreensão da matemática. Este procedimento informal faz uso de aspectos do pensamento dedutivo e de relações de propriedades visualizadas.

Conforme vimos pelas palavras de Moreira (2004), geralmente os resultados matemáticos não são postos a dúvida pelos estudantes, pois eles adentram a escola já tendo garantida sua validade pela matemática acadêmica. Ao se questionar essa validade dos resultados matemáticos, a convicção, por parte dos estudantes da educação básica, pode depender muitas vezes da intuição ou da verificação empírica - validação de uma proposição a partir da verificação de alguns casos -, que são os procedimentos listados nessa categoria e que ao nosso ver são procedimentos ricos e que contribuem para o desenvolvimento da prática da argumentação.

As verificações empíricas dessa forma podem convencer os estudantes, mas é a explicação que a acompanha e a interpretação da situação que contribuem para o desenvolvimento do conhecimento. Para nós, a função de explicação que acompanha estes procedimentos, é muitas vezes mais importante, em se tratando de educação básica, do que propriamente a verificação da propriedade.

A demonstração escolar nesta categoria subverte alguns símbolos que comumente estão atrelados à demonstração. Agora, ela assume outros símbolos como de explicação plausível, de argumentação, convencimento e principalmente de ação, que são características contrárias as já citadas ao longo da pesquisa, como por exemplo, símbolo do necessário, daquilo que não pode ser de outra forma.