Assim como a Simulação Histórica, a Simulação de Monte Carlo (MC) é um método não-paramétrico. Dowd (1998) coloca que é a abordagem mais popular quando se precisa de um sistema de VaR robusto e sofisticado, mas também de longe a mais desafiadora de se implementar.
Segundo Alexander (2008, b), a grande vantagem de MC é que esse método usa os dados históricos mais inteligentemente que a Simulação Histórica padrão. Após escolher um modelo de comportamento paramétrico (preferivelmente com distribuição não-normal dos retornos condicionais) para os dados históricos, simulam-se alguns milhares de cenários possíveis que podem ocorrer com o modelo, não ficando restrito ao comportamento passado dos dados.
O número de simulações, entretanto, é um dos problemas do modelo. MC converge para o verdadeiro valor de VaR à taxa , onde N é o número de simulações. De modo a aumentar a acurácia do modelo em 10 vezes, deve-se rodar 100 vezes mais simulações (WIENER, 1999). Portanto, MC é sujeito à variância amostral, a qual é causada por um número limitado de simulações.
Jorion (2003) dá o exemplo de que o VaR para uma carteira de instrumentos lineares é facilmente calculado usando a abordagem variância-covariância. MC baseado na mesma matriz de variância-covariância gera somente uma aproximação sendo, desse modo, enviesado. A acurácia aumenta somente quando o número de simulações é incrementado.
A geração de números aleatórios é o primeiro passo na simulação de Monte Carlo, seu propósito é gerar uma sequência de números entre zero e um que são uniformemente distribuídos, independentes e não-periódicos.
Segundo Alexander (2008, a), o único modo de gerar números aleatórios é medir, sem erros, um fenômeno físico verdadeiramente aleatório, sendo que, na prática, os computadores
geram números pseudo-aleatórios4, produzidos, por exemplo, no Excel pela função ALEATÓRIO().
Cada simulação exige a geração de um número aleatório U.I.D. (uniforme e independentemente distribuído) para cada ativo. Neste trabalho foram utilizadas 5000 simulações.
O passo seguinte para se calcular o VaR é transformar a amostra de variáveis aleatórias U.I.D. em uma amostra aleatória de variáveis correlacionadas e que seguem uma distribuição normal multivariada com média e correlação apropriadas.
Supondo que os fatores de risco/vértices tenham matriz de correlação V, que por sua vez tem matriz de Cholesky, C, gerando uma matriz Z com simulações normais padrão independentes, então ZC’ será uma matriz com colunas que representam variáveis normais correlacionadas e com média zero. Para o cálculo da matriz de correlação, foi utilizada janela de 252 dias úteis.
Conforme Alexander (2008, a), uma matriz quadrada (número de linhas igual a número de colunas) é chamada triangular inferior se ela possui somente zeros acima da diagonal principal. Se uma matriz simétrica A é positiva definida então existe uma matriz quadrada triangular inferior Q da mesma dimensão de A, tal que A = QQ’. Essa matriz Q é chamada de matriz de Cholesky de A.
A partir dos números pseudo-aleatórios gerados, para transformá-los em uma amostragem aleatória de uma variável X com uma função de distribuição contínua F, deve-se calcular x = F-1(u), onde F é a função inversa da distribuição normal padrão.
Ou seja, dado um número aleatório u, a simulação correspondente para X é o quantil u da distribuição normal padrão.
A partir das matrizes anteriormente calculadas, basta multiplicar a matriz Z pela transposta da matriz de Cholesky, C. Cada linha da matriz ZC’ representa uma simulação de variáveis correlacionadas, seguindo uma distribuição normal padrão – N(0,1).
Foi utilizada a equação de movimento browniano, frequentemente utilizada na precificação de carteiras, para estimar o preço dos ativos ao final do período (MUN, 2006):
4 Em http://support.microsoft.com/kb/828795 pode-se obter detalhes da geração de números aleatórios no Excel
P t t z Pt 2 exp 2 0 Onde: 0
P = preço do ativo i na data do cálculo;
= média dos log-retornos;
2
= variância dos log-retornos, calculada pelo processo de otimização descrito a seguir;
t = defasagem do cálculo do VaR em dias;
z = número aleatório que segue uma N(0,1). É um elemento da matriz ZC’.
Idealmente, um VaR acurado deve ter desempenho nos testes de aderência consistente com o nível de probabilidade. Isso significa que as perdas da carteira irão exceder o VaR na porcentagem de casos próxima ao α escolhido.
Tradicionalmente, as técnicas de backtesting são aplicadas para avaliar os modelos de VaR e, nenhum método de estimação garante um VaR com perfeita performance fora-da- amostra. Entretanto, Huang (2010) propõe aplicar-se um conceito similar para ajustes dentro- da-amostra durante o processo de estimação. Considere a seguinte razão:
Onde:
= número de vezes em que o VaR previsto é excedido (unicaudal); = número de vezes em que o VaR não é excedido (unicaudal).
Então o desempenho do VaR pode ser medido anteriormente à estimação, usando a expressão:
Um método que produz estimativas de VaR que minimizem a equação acima tenderão a apresentar resultados ótimos de backtesting.
Para iniciar o processo de otimização, são produzidas estimativas de VaR por MC para cada um dos 252 dias anteriores à data de cálculo utilizando-se a variância dos log-retornos
nos últimos 252 dias. As estimativas são comparadas com os respectivos valores de P/L calculados, estimando-se ˆ
t tk, 1
.Se for igual a α, então a variância amostral pode ser utilizada para estimar o VaR para a data. No caso de 99%, o modelo com 2 ou 3 violações estaria consistente com o nível de acurácia.
De outro modo, se for diferente de α, aplica-se um multiplicador à variância, calculada por:
Onde é o inverso da distribuição normal padrão no ponto x, conforme proposto por Wichura (1988).
As estimativas de VaR são novamente geradas utilizando o mesmo multiplicador para cada dia dentro da janela. Ao final, calcula-se novamente . O processo continua até que .
Apesar do modelo utilizado considerar assunções fortes, como a normalidade, o processo de otimização irá alterar o multiplicador no tempo, desde que . De fato, uma vez que , onde o modelo subjacente do VaR subestima o risco, o multiplicador pode ser aplicado para aumentar a variância e por sua vez o VaR. Consequentemente, os resultados finais de VaR são livres de qualquer assunção distribucional implícita ao modelo subjacente (HUANG, 2010).
A partir dos cenários gerados para os preços, calcula-se a variação da carteira em cada cenário somando-se os retornos dos n ativos da carteira:
Calcula-se o percentil (α = 0,01) correspondente na série de 5000 P/L da carteira. Esse percentil é o valor de VaR para o horizonte de tempo definido.
O Valor em Risco Estressado é definido como o pior VaR dentre a série de valores de VaR gerados tomando-se a carteira do dia e utilizando as correlações e a variância (ajustada pelo processo de otimização) calculadas em cada dia da janela, utilizando dados desde 2004.
Devido ao tempo necessário para o processamento da definição do período histórico de estresse, este foi revisado somente a cada 30 dias corridos, tempo máximo permitido pelo BACEN.