Neste cap´ıtulo relembramos a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao caracter´ıstica ϕ (r) e algumas de suas propriedades. Vimos tamb´em a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao caracter´ıstica emp´ırica (ECF), ϕn(r), e apresentamos alguns resultados obtidos por Feuerverger e Mureika (1977), Feuerverger (1990) e Knight e Satchell (1997) para a convergˆencia do processo √n (ϕn(r) − ϕ (r)). No cap´ıtulo seguinte vamos revisar alguns m´etodos de estima¸c˜ao de parˆametros que empregam a ECF.
Cap´ıtulo 3
M´etodos de Estima¸c˜ao utilizando a
ECF
Os m´etodos de estima¸c˜ao que utilizam a ECF citados na literatura adotam basicamente duas abordagens: maximiza¸c˜ao de fun¸c˜ao verossimilhan¸ca ou minimiza¸c˜ao de alguma distˆancia entre a ECF e a CF.
Entre as abordagens que adotam maximiza¸c˜ao de fun¸c˜ao verossimilhan¸ca encontramos o m´etodo “k-L” de Feuerverger e McDunnough (1981b) e o m´etodo “ML-CCF” de Singleton (2001). O m´etodo “k-L” de Feuerverger e McDunnough (1981b) procura maximizar a veros- similhan¸ca obtida a partir da distribui¸c˜ao assint´otica de Yn(r) que, como vimos no cap´ıtulo
anterior, tem distribui¸c˜ao assint´otica conhecida. J´a o m´etodo “ML-CCF” de Singleton (2001, 2006) procura maximizar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca obtida a partir da invers˜ao de Fourier da fun¸c˜ao caracter´ıstica condicional (CCF).
No entanto a maior parte dos autores revisados procura minimizar alguma distˆancia en- tre a ECF e CF, utilizando uma abordagem de estimadores extremos (Amemiya (1985)), quando o parˆametro r ´e cont´ınuo (e.g., Press (1972), Paulson et al. (1975), Heathcote (1977), Knight e Yu (2002), Knight et al. (2002), Yu (2004)), ou uma abordagem de m´etodo dos mo- mentos, quando o parˆametro r ´e discreto (e.g., Feuerverger e McDunnough (1981b), Singleton (2001), Jiang e Knight (2001), Chacko e Viceira (2003)), e at´e usando ambas abordagens como por exemplo, Jiang e Knight (2002). Knight e Yu (2002) denominam o caso de r cont´ı- nuo de m´etodo da ECF cont´ınua (CECF- Continuous ECF ) e o caso de r discreto de m´etodo da ECF discreta (DECF - Discrete ECF ).
Mais recentemente, entretanto, Carrasco e Florens (2000b), estendem o m´etodo generali- zado dos momentos (GMM) de Hansen (1982) para um “cont´ınuo” de momentos, e empregam este estimador em Carrasco e Florens (2002) para obter estimadores “eficientes” utilizando a ECF.
No apˆendice A revisamos alguns resultados para estimadores extremos seguindo para isso Amemiya (1985). Como o m´etodo da ECF discreta ´e um caso particular do m´etodo dos momentos, revisamos tamb´em no mesmo apˆendice o m´etodo generalizado dos momentos
14 Cap´ıtulo 3. M´etodos de Estima¸c˜ao utilizando a ECF (GMM) de Hansen (1982).
No se¸c˜ao a seguir vamos revisar os resultados obtidos por Knight e Yu (2002) para o caso de s´eries estacion´arias (n˜ao necessariamente i.i.d.)1. Na outra se¸c˜ao vamos abordar o
problema segundo o m´etodo dos momentos, e a seguir vamos tamb´em rever os resultados obtidos por Carrasco e Florens (2002).
3.1
O m´etodo da ECF cont´ınua (CECF)
Press (1972) e Paulson et al. (1975) aparentemente foram os primeiros autores a propor um estimador que minimizasse uma distˆancia entre a fun¸c˜ao caracter´ıstica emp´ırica e a fun¸c˜ao caracter´ıstica, de maneira a eliminar o parˆametro r:
Qn(θ) =
Z
|ϕn(r) − ϕ (r; θ)|νdG (r) . (3.1)
Quando ν = 2 (erro quadr´atico m´edio integrado) Heathcote (1977) obt´em resultados de convergˆencia para o caso de processos identicamente e independentemente distribu´ıdos, enquanto Knight e Yu (2002) obtˆem resultados para o caso de processos estacion´arios.
Knight e Yu (2002) prop˜oem o estimador da ECF cont´ınua (CECF - Continuous ECF ) que minimiza a integral
Qn(θ) = Z |ϕn(r) − ϕ (r; θ)|2dG (r) (3.2) ou Qn(θ) = Z |ϕn(r) − ϕ (r; θ)|2g (r) dr (3.3)
ou que resolve a seguinte equa¸c˜ao de estima¸c˜ao Z
wθ(r) (ϕn(r) − ϕ (r; θ)) dr = 0, (3.4)
em que G (r), g (r) e wθ(r) s˜ao fun¸c˜oes de peso apropriadas. Sob condi¸c˜oes de regularidade
apropriadas os trˆes m´etodos s˜ao equivalentes. Feuerverger (1990) mostra que ´e poss´ıvel escolher uma fun¸c˜ao de peso w∗
θ(r) de maneira que o estimador em (3.4) alcance eficiˆencia
arbitrariamente alta, desde que p seja suficientemente grande: wθ∗(r) = 1 2π p+1Z · · · Z e−ir′Xj∂ ln f (yj+p|yj, · · · , yj+p−1) ∂θ dy1· · · dyj+p, (3.5) Note que o peso ´otimo w∗
θ(r) depende da fun¸c˜ao densidade de probabilidade condicional
f (yj+p|yj, · · · , yj+p−1), que pode n˜ao ser conhecida ou ser de dif´ıcil obten¸c˜ao.
Entretanto a escolha de G (r), g (r) e wθ(r) ´e feita na maioria das vezes de maneira
a facilitar o procedimento de integra¸c˜ao num´erica. Em particular, se escolhermos g (r) =
3.1. O m´etodo da ECF cont´ınua (CECF) 15 exp (−r′r) podemos empregar o m´etodo da quadratura de Gauss-Hermite (veja, por exemplo, Press et al. (1997)).
Vamos apresentar agora o resultado obtido por Knight e Yu (2002) para s´eries estacion´a- rias (n˜ao necessariamente i.i.d.). Para isso, seja {Xj}∞j=−∞ uma s´erie temporal univariada
estritamente estacion´aria cuja distribui¸c˜ao depende de um vetor de parˆametros θ e seja Yj o
vetor de tamanho p + 1, formado por blocos de Xj, definido em (2.11) como:
Yj = (Xj, Xj+1, · · · , Xj+p)′.
Fixado um p, Knight e Yu (2002) definem as seguintes condi¸c˜oes de regularidade: (a) θ ∈ Θ, onde o espa¸co param´etrico Θ ⊂ Rk ´e um conjunto compacto com θ
0 ∈
interior (Θ).
(b) Com probabilidade um, Qn(θ) ´e diferenci´avel continuamente duas vezes sob o sinal de
integra¸c˜ao com respeito a θ em Θ.
(c) A seq¨uˆencia {Yn} ´e estritamente estacion´aria e erg´odica.
(d) Seja
Q0(θ) =
Z
|ϕ (r; θ0) − ϕ (r; θ)|2dG (r)
e Q0(θ) = 0 somente se θ = θ0.
(e) K (y; θ) ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel e limitada de y para todo θ, onde K (y; θ) = Z cos r′y− Re ϕ (r; θ) ∂ Re ϕ (r; θ) ∂θ + + sin r′y− Im ϕ (r; θ) ∂ Im ϕ (r; θ) ∂θ dG (r) . (3.6)
(f) B (θ0) ´e n˜ao singular, onde
B (θ0) = Z ∂ϕ (r; θ0) ∂θ ∂ϕ (r; θ0) ∂θ′ dG (r) (3.7)
e ∂2ϕ (r; θ0) /∂θ∂θ′ ´e limitada uniformemente por uma fun¸c˜ao G-integr´avel em Θ.
(g) Seja Fj uma σ-´algebra tal que {Kj, Fj} seja uma seq¨uˆencia estoc´astica adaptada, onde
Kj = K (Yj; θ). Podemos pensar em Fj como a σ-´algebra gerada pela hist´oria completa
corrente e passada de Kj. Seja νj = E [K0|K−j, K−j−1, ...] − E [K0|K−j−1, K−j−2, ...]
para j ≥ 0. Suponha que E [K0|F−m] convirja em m´edia quadr´atica para 0 quando
m → ∞ e P∞j=0E
h ν′jνj
i1/2
< ∞.
16 Cap´ıtulo 3. M´etodos de Estima¸c˜ao utilizando a ECF As condi¸c˜oes de regularidade acima s˜ao justificadas por Knight e Yu (2002) da seguinte maneira: (a) garante que o espa¸co param´etrico seja compacto, enquanto (b) garante a conti- nuidade de Qn(θ). As hip´oteses (c) e de (e) a (g) fornecem condi¸c˜oes suficientes para uma
lei dos grandes n´umeros e um teorema central do limite. De acordo com (h), G (r) pode ser uma fun¸c˜ao distribui¸c˜ao; entretanto, uma fun¸c˜ao de peso constante n˜ao pode ser usada (por exemplo, G (r) = ar, para uma constante fixa a). A hip´otese (g) ´e an´aloga `a hip´otese (3.5) em Hansen (1982) e vale sob condi¸c˜oes mixing adequadas . A hip´otese (d) ´e uma condi¸c˜ao de identifica¸c˜ao; sem ela, o estimador poderia ser inconsistente. Por exemplo para um processo MA(10), Xt= εt− φεt−10, os blocos m´oveis de tamanho p < 10 n˜ao cont´em informa¸c˜ao sobre
φ, e assim o m´etodo leva a estimativas inconsistentes. Este caso ´e eliminado pela hip´otese (d), mas a identifica¸c˜ao somente ´e poss´ıvel com uma escolha apropriada de p, que no caso do exemplo ´e p ≥ 10. Sob estas condi¸c˜oes os autores obt´em o seguinte resultado de convergˆencia assint´otica para seu estimador:
Teorema 3.1 (Knight e Yu (2002), Teor. 2.1) Seja bθn = arg minθ∈ΘQn(θ). Suponha
que sejam v´alidas as hip´oteses (a) a (d) e (h); ent˜ao bθna.s.→ θ0.
Se al´em disso as hip´oteses (e) a (g) forem v´alidas, ent˜ao √ nbθn− θ0 d −→ N0, B (θ0)−1A (θ0) B (θ0)−1 , (3.8) em que A (θ0) = var (K (X1; θ0)) + 2 ∞ X j=2 cov (K (X1; θ0) , K (Xj; θ0)) . (3.9)
Prova. Ver Knight e Yu (2002), Teor. 2.1, pg. 714. No apˆendice D utilizamos os resultados de estimadores extremos para verificar a convergˆencia do estimador CECF.
Para calcular uma estimativa para a matriz de covariˆancia do estimador CECF ´e necess´ario obter estimativas para A (θ0) e B (θ0). Knight e Yu (2002) sugerem que a matriz B (θ0) possa
ser estimada consistentemente por Bbθn
, enquanto que um estimador consistente de A (θ0)
possa ser obtido com estimadores robustos a heteroscedasticidade e autocorrela¸c˜ao como em Andrews (1991) e Newey e West (1994). N˜ao est´a claro no texto, mas possivelmente os autores est˜ao sugerindo o uso de Kyj; bθn
para estima¸c˜ao de A (θ0). No apˆendice D
sugerimos algumas alternativas para estima¸c˜ao da matriz A (θ0).