Neste item serão apresentadas inicialmente as teorias de utilidade esperada (TUE) e de utilidade aleatória (TUA). A TUA é o embasamento teórico para os denominados modelos de escolha discreta (quando indivíduos têm que selecionar uma opção dentre um conjunto finito de alternativas). Os modelos de escolha discreta pertencem à classe dos modelos desagregados, nos quais é a escolha do indivíduo que é observada, em oposição à escolha de um grupo, ou de uma zona de transportes, para o caso dos modelos agregados (Ortúzar e Willumsen, 2011).
A TUA revolucionou a modelagem de transportes e foi incorporada desde a década de 1980 à prática acadêmica. Ela deriva dos conceitos da TUE, que é a teoria mais utilizada quando se estuda escolha sob incerteza em transportes. A fim de facilitar a compreensão da formulação matemática a ser apresentada, a descrição dos modelos utilizará a padronização de nomenclatura proposta por (Liu e Polak, 2007).
Cada indivíduo possui um conjunto de prospectos (prospects) { }. Cada é um conjunto de resultados possíveis, ou “estados da natureza” { } com o k-ésimo resultado sendo definido por um vetor de atributos
{ }, onde { } é o conjunto de atributos observáveis que influenciam o comportamento de escolha. Para cada existe um conjunto de probabilidades { } associado tal que ∑ , onde é a probabilidade que o resultado seja realizado em .
O indivíduo, para escolher, deve integrar as informações sobre os atributos que caracterizam os resultados com as probabilidades de cada resultado. A forma como o indivíduo integra essas informações é o que caracteriza a escolha sob risco.
A escolha ocorre da seguinte maneira: imagine que { } seja um conjunto de parâmetros associados com os atributos do conjunto . O parâmetro pode variar entre indivíduos e por isso contém o subscrito i. Para cada resultado , o indivíduo atribui um valor escalar . Em condições de escolha sob risco, cada prospecto consiste de diversos resultados, e a tarefa é combinar cada avaliação com sua respectiva probabilidade para produzir a avaliação do prospecto como um todo. Essa tarefa envolve modelos e hipóteses adicionais.
Imagine que a utilidade seja uma avaliação escalar do prospecto Assuma que dependa das avaliações , das probabilidades e de um
conjunto adicional de parâmetros { } que caracterizem a escolha sob risco. Pode-se então escrever que .
Vale notar que quando para cada prospecto a probabilidade é igual a 1, para um e a , o caso se reduz a apenas um , e a escolha é sem risco. O indivíduo tem então que integrar apenas as informações sobre os atributos que caracterizam o resultado.
A TUE e a TUA derivam desta formulação e se diferenciam segundo as hipóteses feitas a respeito de f e g.
Teoria de Utilidade Esperada (TUE)
A teoria de utilidade esperada envolve escolhas sob risco. Ela foi originalmente proposta por Bernoulli em 1738, mas Neumann e Morgenstern (1944) consolidaram o seu uso propondo os axiomas de completude, transitividade e continuidade. A forma mais básica propõe que ∑ , sendo a utilidade do prospecto , a probabilidade de ocorrência de , e os valores atribuídos a cada . O indivíduo seleciona se e somente se . Essa formulação leva em conta que apenas o valor médio do prospecto é importante, e não sua variância, o que significa que está se assumindo um indivíduo indiferente ao risco (neutro).
Uma das extensões dessa teoria assume um relaxamento desta neutralidade e portanto, cada em não é avaliado apenas por um valor , mas por uma transformação não- linear . é o vetor de parâmetros que captura a atitude ao risco do indivíduo. Esta função é também chamada na literatura de utilidade, porém, essa transformação não se refere à satisfação obtida por um determinado resultado, mas à atitude ao risco do indivíduo. Segue que ∑ , e portanto, dada a hipótese de não- linearidade de , a decisão feita sob a utilidade esperada pode gerar um resultado diferente da feita quando há neutralidade ao risco. A forma da função é que determina se o indivíduo é avesso ou não ao risco.
Teoria de Utilidade Aleatória (TUA)
A teoria de utilidade aleatória (McFadden, 1974) trata de decisões sem risco, em que cada prospecto consiste de apenas um resultado, digamos . Chamamos então de alternativa e sua avaliação é feita através de uma função de valoração, . Na TUA, esse valor é também chamado de utilidade e é diferente do vetor de parâmetros que captura a atitude ao risco do indivíduo da TUE. é uma variável aleatória, composta de uma parte observável , que é composta tanto de atributos da alternativa quanto das características do indivíduo, e uma parte não observável , que pode representar tanto os erros de medida e de observação quanto idiossincrasias e particularidades de cada indivíduo. A regra de decisão é tal que a probabilidade de um indivíduo escolher uma alternativa (o índice n foi retirado por se tratar apenas de uma opção) é dada por:
( )
( )
( 1 )
A natureza do modelo é definida pelas hipóteses atribuídas ao componente aleatório A forma mais simples é denominada modelo logit multinomial e é encontrada quando a distribuição é assumida como IID Valor Extremo Tipo I. Quando se atribui outras formas para a distribuição de obtém-se modelos do tipo aninhados, probit e finalmente, modelos do tipo logit mistos, que requerem simulação para serem estimados (Train, 2003). Os modelos logit mistos são considerados por alguns autores como os modelos do novo milênio (Ortúzar e Willumsen, 2011).
Mesclando TUE e TUA
Os modelos baseados na TUE incorporam à regra de decisão as incertezas associadas às possíveis alternativas de escolha e, portanto, são indicados para modelar decisões sob risco. Os modelos baseados na TUA representam as incertezas do modelador quanto às preferências e comportamentos do tomador de decisão, porém, não incorporam a questão do risco nas decisões, tão frequente em decisões em transportes. Alguns autores têm então tentado obter as funcionalidades de cada um dos modelos combinando-os (Li, Tirachini e Hensher, 2012; Liu e Polak, 2007; Palma et al., 2008; Polak, Hess e Liu, 2008).
Liu e Polak (2007) definem a equação de utilidade na forma combinada como ∑ onde é um componente não observável associado com o
prospecto n, para o indivíduo i, e onde e são respectivamente as parcelas observável e não observável da função de valoração associada ao resultado k do prospecto n, para um indivíduo i, e é uma função dos atributos de cada resultado e dos gostos dos indivíduos que captura preferências em condições sem risco. Com essa formulação, a probabilidade de escolha fica:
[∑ ∑ ]
(2)
Nas aplicações práticas, a complexidade da combinação dos dois modelos tem resultado modelos com hipóteses às vezes simplistas, deixando espaço para uma melhor investigação da atitude ao risco (Polak, Hess e Liu, 2008).
Diversos outros autores propuseram extensões aos modelos baseados em TUE, tais como a teoria da utilidade esperada subjetiva (Savage, 1954), a teoria da utilidade esperada dependente de rank (rank-dependent utility theory) (Quiggin, 1992), e a teoria da utilidade esperada extendida (Li, Hensher e Rose, 2009; Li, Tirachini e Hensher, 2012). Outros autores partem dos modelos de TUA e incorporam atitudes ao risco em um modelo misto logit com funções de utilidade não lineares nos parâmetros (Hensher, Greene e Li, 2011).
Os modelos de utilidade, por sua aplicabilidade, se tornaram o padrão para modelagem de escolha. Por essa razão, os esforços para criticar suas propriedades são igualmente populares. No item 2.1.3.2, serão apresentados os principais modelos alternativos aos de utilidade que vem sendo utilizados nos últimos 10 anos na área de comportamento em transportes. Antes disso, no próximo item, será apresentada uma categoria de modelos denominada “modelos híbridos”; estes modelos pretendem superar algumas das limitações dos modelos de utilidade até agora apresentados.
Os modelos híbridos também são modelos de utilidade e foram desenvolvidos a fim de se incorporar variáveis latentes aos modelos de escolha discreta que são baseados na TUA. Permite-se assim considerar variáveis “psicológicas” tais como atitudes e percepções (consideradas variáveis determinantes nos processos de escolha) na formulação convencional de escolha discreta. A metodologia que tem sido utilizada com mais frequência na pesquisa de comportamento em transportes é a proposta por (Ben-Akiva et
al., 2002) e é apresentada a seguir.
A ideia central dos MH é que as variáveis explanatórias da escolha (características do indivíduo e atributos das alternativas) são ligadas às atitudes e percepções dos indivíduos. Como atitudes e percepções não são diretamente observadas, elas são representadas por construtos latentes. Um construto é um termo conceitual abstrato usado para descrever um fenômeno de interesse. Na teoria de utilidade, nota-se que a utilidade também não pode ser observada, mas as escolhas são. As escolhas são, portanto, consideradas uma
manifestação das utilidades subjacentes. Similarmente, as variáveis latentes de atitude e
percepção também não são observáveis, mas as manifestações dessas variáveis latentes, denominadas indicadores, são. Os indicadores podem ser, por exemplo, respostas a questionários atitudinais ou de percepção. O modelo geral é apresentado na Figura 1 a seguir:
Figura 1– Modelo integrado de escolha e variáveis latentes Fonte: Ben-Akiva et al. (2002)
O modelo é composto de duas partes, um modelo de escolha discreta e um modelo de variável latente. As elipses representam variáveis não observáveis e os retângulos representam variáveis observáveis. As linhas contínuas significam relações estruturais (de causa e efeito), as linhas tracejadas referem-se às equações de medição (indicadores e suas variáveis latentes) e as linhas pontilhadas referem-se aos erros. As variáveis observáveis, denominadas X , e as não observáveis, denominadas X , compõem um *
indicativo da escolha denominado utilidade U . Esta utilidade não é diretamente observada, é medida através de sua manifestação que é a escolha y. Como X* também não pode ser observada, ela é medida através de sua manifestação denominada indicador
I .
O modelo latente é apresentado abaixo:
e (3)
Onde ( ) é um termo aleatório com uma distribuição genérica e um vetor de parâmetros a ser estimado. é um termo aleatório com uma distribuição
genérica e um vetor de parâmetros a ser estimado. Isso resulta em uma equação para cada indicador (ex. pergunta do questionário atitudinal).
O modelo de escolha discreta é apresentado abaixo:
e { { }
(4)
Onde é um termo aleatório com uma distribuição genérica e um vetor de parâmetros a ser estimado. Note que a utilidade é função tanto das variáveis observáveis quanto das latentes . é o indicador de escolha da alternativa , e a equação de escolha assume maximização da utilidade, embora outras regras de decisão possam ser consideradas.
Nota-se que na formulação acima, são funções até agora indeterminadas, mas tipicamente assumem formato linear nos parâmetros nas aplicações em transportes. Nota-se ainda que as distribuições dos erros também precisam ser definidas, e geralmente diversas simplificações são assumidas para se chegar a modelos computacionalmente tratáveis.
A partir das equações acima, deriva-se a fórmula geral da probabilidade conjunta das variáveis observáveis e , condicionais às variáveis exógenas , assumindo componentes de erro independentes:
( )
∫ ( ) (5)
Diferentes hipóteses sobre as distribuições dos erros geram diferentes formas funcionais da equação de verossimilhança. Normalmente, assume-se um modelo convencional de escolha discreta e que o erro segue uma distribuição iid Gumbel (independentes e identicamente distribuídas), gerando modelos de utilidade do tipo logit. Para o modelo de variáveis latentes, assume-se que os erros seguem distribuição normal e que são independentes.
O modelo integrado apresentado propõe uma estimação simultânea dos dois modelos (variáveis latentes e observáveis), que difere da estimação sequencial (Ashok, Dillon e Yuan, 2002). Embora se argumente que a estimação simultânea apresenta vantagens, pois estima parâmetros consistentes e eficientes, não existe software disponível que faça a estimação simultânea e ainda considere um modelo de componentes de erro (logit misto); por essa razão alguns autores ainda utilizam a estimação sequencial (Yánez et al., 2010).