Nesta se¸c˜ao estaremos resolvendo numericamente o problema do tubo de choque mencionado na se¸c˜ao 4.3.1, ou seja, estaremos resolvendo o problema de valor inicial formado pelo sistema de leis de conserva¸c˜ao
ρt+ (ρv)x = 0 (4.174)
(ρv)t+ (ρv2+ p)x = 0 (4.175)
no intervalo (−2, 2) com condi¸c˜oes iniciais ρ(x, 0) = 2 se − 2 ≤ x < 0 1 se 0 ≤ x ≤ 2, (4.177) p(x, 0) = 2 se − 2 ≤ x < 0 1 se 0 ≤ x ≤ 2, (4.178)
e v(x, 0) = 0, x ∈ [−2, 2]. Condi¸c˜oes de contorno de Neumann e condi¸c˜oes de contorno num´ericas
ρ0 = ρ1, m0 = m1 e E0 = E1, para x = −2; (4.179)
e
ρM = ρM −1, mM = mM −1 e EM = EM −1, para x = 2. (4.180)
Come¸camos descrevendo a solu¸c˜ao para o problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0 obtida usando o esquema Lax-Wendroff (4.50). Da referˆencia [26] sabemos que pr´oximo de x = −1.0 cada uma das vari´aveis tem um leque, e pr´oximo de x = 0.25, a densidade tem uma descontinuidade de salto (a qual parece um choque mas ´e uma descontinuidade de contato) enquanto ambos v e p s˜ao cont´ınuas. Pr´oximo de x = 1.25 todas as 3 vari´aveis tˆem descontinuidades de saltos que s˜ao choques. Como trata-se de um 3-sistema, temos uma combina¸c˜ao de trˆes leques e descontinuidades, ou seja, temos um leque ou descontinuidade associada com cada uma das curvas caracter´ısticas.
Analisando as Figuras 4.8-4.10 vemos que o m´etodo de Lax-Wendroff gera oscila¸c˜oes nos resultados como ocorreu com o caso escalar.
Resolvendo o problema do tubo de choque utilizando o esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) com bA dada por (4.115) para o tempo t = 1.0, obtemos os resultados mostrados nas Figuras 4.11- 4.13.
Utilizando o esquema associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) e com bA definida pelo m´etodo de lineariza¸c˜ao de Roe (4.129)-(4.131) obtemos os resultados mostrados nas figuras 4.14-4.16.
Comparando os resultados obtidos com o esquema de Lax-Wendroff e aqueles obtidos pelos solu¸c˜oes aproximadas de Riemann, vemos que estas fornecem solu¸c˜oes muito melhores do que as obtidas pelo esquema de Lax-Wendroff, capturando as singularidades sem gerar os- cila¸c˜oes na solu¸c˜ao. Al´em disso, comparamos os resultados que obtivemos com os resultados
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 1
1.5 2
Figura 4.8: Gr´afico da press˜ao do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de Lax-Wendroff (4.50) com ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Figura 4.9: Gr´afico da velocidade do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de Lax-Wendroff (4.50) com ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
obtidos por Toro, ref.[27], pag. 370-372 e verificamos que nossos resultados s˜ao compat´ıveis com os da referˆencia.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 1
1.5 2
Figura 4.10: Gr´afico da densidade do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de Lax-Wendroff (4.50) com ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
1 1.5 2
Figura 4.11: Gr´afico da densidade do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) com
b
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Figura 4.12: Gr´afico da velocidade do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada atrav´es pelo esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) com bA dada por (4.115) e ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
1 1.5 2
Figura 4.13: Gr´afico da press˜ao do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) com
b
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 1
1.5 2
Figura 4.14: Gr´afico da densidade do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) e bA definida pelo m´etodo de lineariza¸c˜ao de Roe (4.129)-(4.131), ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Figura 4.15: Gr´afico da velocidade do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) e bA definida pelo m´etodo de lineariza¸c˜ao de Roe (4.129)-(4.131), ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 1
1.5 2
Figura 4.16: Gr´afico da press˜ao do problema do tubo de choque para o tempo t = 1.0. A solu¸c˜ao foi encontrada pelo esquema de diferen¸cas associado com a fun¸c˜ao de fluxo num´erico (4.112) e bA definida pelo m´etodo de lineariza¸c˜ao de Roe (4.129)-(4.131), ∆x = 0.01 e ∆t = 0.0025.
Cap´ıtulo 5
Conclus˜ao
Neste trabalho estudamos v´arias t´ecnicas necess´arias para leis de conserva¸c˜ao escalares com o intuito de entender as t´ecnicas de solu¸c˜ao para sistemas de leis de conserva¸c˜ao.
O objetivo deste trabalho foi o de estudar m´etodos num´ericos robustos para a aproxima- ¸c˜ao da solu¸c˜ao de leis de conserva¸c˜ao hiperb´olicas escalares unidimensionais e bidimensionais e de sistemas de leis de conserva¸c˜ao hiperb´olicas.
No cap´ıtulo 2 vimos que dentre todos os m´etodos estudados, o ´unico que sempre fornece- nos a solu¸c˜ao fraca desejada, ou seja, a solu¸c˜ao viscosa ´e o m´etodo de Godunov. O m´etodo de Lax-Wendroff n˜ao captura a singularidade corretamente, quando a solu¸c˜ao apresenta rarefa¸c˜ao, gerando oscila¸c˜oes na solu¸c˜ao.
No cap´ıtulo 3 conclu´ımos que o m´etodo upwind suaviza demais as descontinuidades. Vimos tamb´em que a maioria dos esquemas num´ericos s˜ao mais imprecisos nas proximidades das singularidades do que em outras regi˜oes.
Para sistemas de leis de conserva¸c˜ao, o m´etodo de Lax-Wendroff apresenta os mesmos problemas de oscila¸c˜oes que s˜ao conhecidas para o caso escalar. M´etodos conservativos como os limitantes de fluxo e Godunov com lineariza¸c˜ao de Roe apresentam melhores resultados, pois capturam corretamente as singularidades presentes nas solu¸c˜oes.
A continuidade natural deste trabalho, seria seu aprofundamento para compreender t´ecnicas de lineariza¸c˜ao mais precisas, sua extens˜ao para dimens˜oes mais altas e a aplica¸c˜ao em problemas reais principalmente, nas ´areas de Mecˆanica dos fluidos e Meteorologia.
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