Consideraremos a forma vetorial de uma lei de conserva¸c˜ao, ∂
∂tv + ∂
∂xF(v) = 0. (4.1)
Embora exista muitas similaridades entre os resultados para leis de conserva¸c˜ao escalares e vetoriais, existem tamb´em algumas diferen¸cas t´ecnicas que algumas vezes s˜ao dif´ıceis de descrever. Neste cap´ıtulo enfatizaremos tais diferen¸cas entre os resultados para leis de con- serva¸c˜ao vetoriais e escalares.
Iniciaremos notando que a forma n˜ao conservativa da equa¸c˜ao (4.1) ´e dada por
vt+ F′(v)vx = 0 (4.2)
onde F′(v) = A(v) ´e a derivada de F em rela¸c˜ao a v que ´e a matriz Jacobiana, K × K, da
fun¸c˜ao de fluxo F, A(v) = ∂Fi ∂vj K×K .
A lei de conserva¸c˜ao (4.1) ´e dita ser estritamente hiperb´olica se A(v) ´e diagonaliz´avel com K autovalores reais e distintos. Ordenaremos os autovalores como
λ1(v) < λ2(v) < ... < λK(v)
e denotaremos a base dos autovetores associados por r1(v), ..., rK(v).
Em rela¸c˜ao aos autovalores e autovetores podemos fazer as seguintes defini¸c˜oes: Dize- mos que o n-´esimo campo da lei de conserva¸c˜ao (4.1) ´e genuinamente n˜ao linear se ∇λK(v).rK(v) 6= 0 (onde ∇ ´e o gradiente em rela¸c˜ao `as componentes do vetor v) para todo
v ∈ RK. No caso em que ∇λ
K(v).rK(v) ≡ 0 para todo v ∈ RK, dizemos que o n-´esimo
campo da lei de conserva¸c˜ao (4.1) ´e linearmente degenerado.
Para come¸carmos a trabalhar com sistemas de leis de conserva¸c˜ao devemos verificar quais resultados, conceitos e defini¸c˜oes, v´alidas para leis de conserva¸c˜ao escalares, podem e quais n˜ao podem ser utilizados para sistemas de leis de conserva¸c˜ao. Um sistema de leis de conserva¸c˜ao tem K fam´ılias de caracter´ısticas. Analogamente ao que fizemos na se¸c˜ao 1.3.1 para o caso escalar, definimos as curvas caracter´ısticas da lei de conserva¸c˜ao (4.1) como as solu¸c˜oes do problema de valor inicial
x′(t) = λn(v(x(t), t)) (4.3)
x(0) = x0 (4.4)
para algum x0 e n = 1, ..., K. Obviamente que como λn depende de v, as curvas carac-
ter´ısticas tamb´em depender˜ao de v e assim n˜ao podemos resolver facilmente o problema de valor inicial (4.3)-(4.4).
A diferen¸ca mais importante entre o caso escalar e o vetorial ´e que nesse caso n˜ao podemos levar adiante alguns dos c´alculos realizados no cap´ıtulo 1 para concluir que a solu¸c˜ao ´e constante sobre uma curva caracter´ıstica. Mas, veremos mais tarde que obteremos esse resultado em circunstˆancias especiais.
Podemos usar a t´ecnica que muitas vezes ´e utilizada em sistemas lineares, que consiste em transformar o sistema para vari´aveis caracter´ısticas, obtendo resultados para cada uma das equa¸c˜oes em vari´aveis caracter´ısticas e ent˜ao transformar de volta para as vari´aveis primitivas. Essa t´ecnica pode ser aplicada apenas para sistemas lineares pois, no caso n˜ao linear a transforma¸c˜ao que diagonaliza a matriz da lei de conserva¸c˜ao dependem de v.
Inspirados na defini¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca do cap´ıtulo 1, obtemos a seguinte formula¸c˜ao fraca da lei de conserva¸c˜ao (4.1).
0 = Z ∞ 0 Z ∞ −∞ [vφt+ F(v)φx]dxdt + Z ∞ −∞ v(x, 0)φ(x, 0)dx. (4.5)
C´alculos an´alogos aos da se¸c˜ao 1.3.4 mostram que uma solu¸c˜ao descont´ınua da equa¸c˜ao (4.5) deve satisfazer a condi¸c˜ao de salto ou Rankine-Hugoniot
s(vL− vR) = F(vL) − F(vR) (4.6)
sobre a descontinuidade. Como antes s = dxC
dt ´e a velocidade de propaga¸c˜ao da descon- tinuidade, e a solu¸c˜ao da lei de conserva¸c˜ao ´e descont´ınua sob a curva x = xC(t).
Como no caso de leis de conserva¸c˜ao escalares, a solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao (4.5) n˜ao ´e ´unica. Novamente precisaremos do conceito de uma solu¸c˜ao viscosa ou algum tipo de condi¸c˜ao de entropia para ajudar-nos a escolher a melhor solu¸c˜ao v. Ainda procuramos solu¸c˜oes v que sejam limites de fun¸c˜oes vǫ que satisfa¸cam uma equa¸c˜ao da forma
vǫt+ F(vǫ)x = ǫvxxǫ (4.7)
(ou em alguns casos com o lado direito da forma ǫBvǫ
xx, onde B ´e uma matriz constante
com autovalores que tem partes reais positivas).
Como no caso escalar, buscamos condi¸c˜oes que impostas sobre as solu¸c˜oes garantir˜ao que elas s˜ao solu¸c˜oes viscosas.
A Condi¸c˜ao de Entropia I para um sistema ´e definido como segue.
Defini¸c˜ao 4.1.1 Seja x = xC(t) uma curva sob a qual a solu¸c˜ao v da lei de conserva¸c˜ao
(4.1) ´e descont´ınua e sejam vL e vR os valores de v nos lados esquerdos e direito da descon-
tinuidade, a qual se move com velocidade s = dxC
dt . Se para i = 1,
λ1(vL) > s > λ1(vR) (4.8)
e
s < λ2(vR); (4.9)
ou para algum ´ındice i, 2 ≤ i ≤ K − 1,
e λi−1(vL) < s < λi+1(vR); (4.11) ou para i = K, λK(vL) > s > λK(vR) (4.12) e λK−1(vL) < s, (4.13)
ent˜ao chamamos esta descontinuidade de um i choque e dizemos que a solu¸c˜ao satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia IV.
Observa¸c˜ao 4.1.1 Devemos observar que para qualquer solu¸c˜ao v da lei de conserva¸c˜ao (4.1), teremos K curvas caracter´ısticas associadas com esta solu¸c˜ao. Ilustramos esse fato com um exemplo mostrado nas figuras abaixo. Na Figura 4.1 fizemos o gr´afico das carac- ter´ısticas para uma lei de conserva¸c˜ao escalar, e na Figura 4.2 fizemos o gr´afico das carac- ter´ısticas para um sistema de lei de conserva¸c˜ao de trˆes equa¸c˜oes. Uma diferen¸ca importante que observamos nessas figuras, ´e que no caso escalar temos uma curva caracter´ıstica saindo de cada ponto, enquanto que no caso do sistema temos trˆes caracter´ısticas saindo de cada ponto (K caracter´ısticas para o caso geral de um sistema de K equa¸c˜oes). An´alogo ao caso escalar, devemos determinar a solu¸c˜ao baseada nas curvas caracter´ısticas. Devemos obser- var ainda que podemos ter v´arias curvas caracteriticas interceptando-se e essas interse¸c˜oes causar˜ao mais dificuldades, e dependendo de como elas se interceptam, d˜ao origem a choques ou leques.
x t
Figura 4.2: Caracter´ısticas associadas com um sistema de lei de conserva¸c˜ao de trˆes equa¸c˜oes.
Observa¸c˜ao 4.1.2 Quando o n-´esimo campo ´e linearmente degenerado, ent˜ao s = λn(vL) =
λn(vR), e a descontinuidade propagar´a ao longo da n-´esima caracter´ıstica. Obviamente,
como λn(vL) = λn(vR), um campo linearmente degenerado n˜ao pode satisfazer a inequa¸c˜ao
(4.10) da condi¸c˜ao de Entropia IV. Tais descontinuidades s˜ao chamadas descontinuidades
de contato. Embora descontinuidades de contato n˜ao s˜ao choques, n˜ao ´e visualmente poss´ıvel distinguir entre os dois tipos de descontinuidades.
Observa¸c˜ao 4.1.3 Para v satisfazer a Condi¸c˜ao de Entropia IV, as curvas caracter´ısticas
devem ser tais que, junto com a condi¸c˜ao de salto, determinem v como choque (em ambos os lados) e a velocidade de propaga¸c˜ao s. Das desigualdades (4.10)-(4.11) junto com a hip´otese que λ1(v) < λ2(v) < ... < λK(v), vemos que K −i+1 caracter´ısticas influenciam `a esquerda
da curva de descontinuidade na dire¸c˜ao de crescimento de t (as caracter´ısticas associadas com λi(vL) tanto quanto aquelas associadas com λi+1(vL), ..., λK(vL)), e i caracter´ısticas
influenciam `a direita da curva de descontinuidade na dire¸c˜ao de crescimento de t (aquelas associadas com λ1(vR), ..., λi(vR)). Essas K + 1 informa¸c˜oes junto com as K − 1 rela¸c˜oes
obtidas da condi¸c˜ao de salto s˜ao suficientes para determinar os 2K valores que v assume em ambos os lados da curva de descontinuidade e para determinar s. Um argumento similar ´e utilizado para as inequa¸c˜oes (4.8), (4.9) e (4.12), (4.13) com i = 1 e i = K, respectivamente. Por exemplo, quando i = K, existir´a uma caracter´ıstica que intercepta a curva de descon- tinuidade `a esquerda, na dire¸c˜ao de crescimento de t (a curva caracter´ıstica associada com λK(vL)) e K curvas caracter´ısticas que interceptam a curva de descontinuidade `a direita,
na dire¸c˜ao de crescimento de t (as curvas caracter´ısticas associadas com λ1(vR), ..., λi(vR)).
junto com a condi¸c˜ao de salto possibilitar˜ao determinar v em ambos os lados da curva e s. Se para algum i, v n˜ao satisfaz uma das condi¸c˜oes (4.8)-(4.9), (4.10)-(4.11) ou (4.12)-(4.13), ent˜ao n˜ao existir´a informa¸c˜ao suficiente para determinar v e s.
Observa¸c˜ao 4.1.4 Uma varia¸c˜ao da Defini¸c˜ao 4.1.1 que ´e comum ´e a substitui¸c˜ao das inequa¸c˜oes (4.8),(4.9) pelas inequa¸c˜oes
λi(vR) < s < λi+1(vR) (4.14)
e
λi−1(vL) < s < λi(vL). (4.15)
Observa¸c˜ao 4.1.5 Existe no m´ınimo dois casos para os quais uma descontinuidade em uma solu¸c˜ao de uma lei de conserva¸c˜ao n˜ao satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia IV. Como
explicamos na observa¸c˜ao 3.1.2 acima, um caso ´e se um campo ´e linearmente degenerado e os autovalores s˜ao de sinais contr´arios, por exemplo, se λi(vL) < λi(vR). Neste caso, como
acontece com as solu¸c˜oes para leis de conserva¸c˜ao escalares, a solu¸c˜ao que possui um leque entre duas curvas caracter´ıstica ´e a solu¸c˜ao que satisfar´a a Condi¸c˜ao de entropia IV.
Tamb´em, como no caso de leis de conserva¸c˜ao escalares, podemos usar fun¸c˜oes de entropia e fun¸c˜oes de fluxo de entropia para definir uma condi¸c˜ao de entropia an´aloga `a Condi¸c˜ao de Entropia II. Se as fun¸c˜oes escalares das fun¸c˜oes S = S(v) e Φ = Φ(v) satisfazem (i) S ´e convexa (S′′´e definida positiva) e (ii) S e Φ satisfazem
Φ′(v) = F′(v)S′(v), (4.16)
ent˜ao S e Φ s˜ao ditas ser fun¸c˜oes de entropia e fluxo de entropia, respectivamente. Solu¸c˜oes cl´assicas da equa¸c˜ao (4.1) junto com as fun¸c˜oes S e Φ que satisfazem a equa¸c˜ao (4.16) dever˜ao satisfazer
S(v)t+ Φ(v)x = 0. (4.17)
Defini¸c˜ao 4.1.2 Dizemos que a solu¸c˜ao para equa¸c˜ao (4.5) satisfaz a Condi¸c˜ao de en- tropia IIV se v satisfaz
S(v)t+ Φ(v)x ≤ 0 (4.18)
no sentido fraco para fun¸c˜oes de entropia e fluxo de entropia S e Φ, isto ´e, para algum φ ∈ C1 0,+, v satisfaz Z ∞ 0 Z ∞ −∞ [S(v)φt+ Φ(v)φx]dxdt + Z ∞ −∞φ(x, 0)S(v(x, 0))dx ≥ 0. (4.19)
Como podemos observar, a Condi¸c˜ao de entropia IIV ´e muito similar `a Condi¸c˜ao de Entropia
II.
Observa¸c˜ao 4.1.6 ´E muito comum para uma lei de conserva¸c˜ao escalar ter mais que um par de fun¸c˜oes de entropia e de fluxo de entropia, j´a para o caso de um sistema de leis de conserva¸c˜ao ´e comum n˜ao existir essas fun¸c˜oes. Mas, existem algumas classes importantes de equa¸c˜oes (as equa¸c˜oes da dinˆamica dos gases) e algumas classes gerais (quando F′(v) ´e
sim´etrica) onde ´e poss´ıvel encontrar as fun¸c˜oes de entropia e de fluxo de entropia.
Definiremos a fun¸c˜ao fluxo de entropia num´erico Ψn
i+1/2 onde Ψni+1/2 = Ψ(uni, uni+1)
ou Ψn
i+1/2 = Ψ(uni−p, · · · , uni+p) dependendo se temos um esquema de trˆes pontos ou um
esquema de v´arios pontos. Supomos que a fun¸c˜ao fluxo de entropia num´erico Ψ seja con- sistente com a fun¸c˜ao fluxo de entropia da lei de conserva¸c˜ao na qual Ψ(u, · · · , u) = Φ(u). Assim, temos o seguinte teorema.
Teorema 4.1.1 Sejam S e Φ as fun¸c˜oes de entropia e fluxo de entropia consistentes com a lei de conserva¸c˜ao (4.1) e Ψn
i+1/2 uma fun¸c˜ao fluxo de entropia num´erico que ´e consistente
com a fun¸c˜ao fluxo de entropia Φ. Supondo ainda que uma solu¸c˜ao para o esquema de diferen¸cas satisfa¸ca a condi¸c˜ao de entropia discreta
S(un+1i ) ≤ S(uni) − R[Ψni+1/2− Ψni−1/2]. (4.20) Se un
i → v com ∆x, ∆t → 0 ent˜ao v satisfaz a condi¸c˜ao de entropia IIV.
Demonstra¸c˜ao: Multiplicando a inequa¸c˜ao (4.20) por uma fun¸c˜ao teste discretizada, n˜ao negativa φn
i e somando sobre i e n obtemos ∞ X n=0 ∞ X i=−∞
φni[S(un+1i ) − S(uni) + R[Ψni+1/2− Ψni−1/2]] ≤ 0. (4.21) Dividindo a inequa¸c˜ao (4.21) por ∆t e usando a seguinte igualdade
p X i=q ai(bi+1− bi) = apbp+1− aqbq− p X i=q+1 bi(ai− ai−1) (4.22) obtemos − ∞ X n=0 ∞ X i=−∞ φni " S(un+1i )φ n+1 i − φni ∆t + Ψ n i+1/2 φn i+1− φni ∆x − ∞ X i=−∞ S(u0 i)φ0i ∆t # ≤ 0, (4.23)
como φ tem suporte compacto todos os termos do contorno, exceto o termo para n = 0, s˜ao zero. Multiplicando a equa¸c˜ao (4.23) por ∆x∆t e fazendo ∆x, ∆t → 0, obtemos
Z −∞ 0 Z ∞ −∞ [S(v)φt+ Ψ(v, · · · , v)φx] dxdt − Z ∞ −∞ S(v0)φ(x, 0)dx ≤ 0. (4.24)
Como assumimos que Ψ ´e consistente com Φ, a inequa¸c˜ao (4.24) fornece-nos a forma fraca da condi¸c˜ao de entropia IIV. Z −∞ 0 Z ∞ −∞ [S(v)φt+ Ψ(v)φx] dxdt − Z ∞ −∞ S(v0)φ(x, 0)dx ≤ 0. (4.25)
como quer´ıamos provar.
A seguir apresentamos alguns resultados que relacionam solu¸c˜oes fracas, a lei de con- serva¸c˜ao (4.1), solu¸c˜oes viscosas e as condi¸c˜oes de entropia.
• Se v ´e uma solu¸c˜ao com uma descontinuidade que satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia IV,
ent˜ao v ´e a ´unica solu¸c˜ao que satisfaz a Condi¸c˜ao de entropia IV e ´e a solu¸c˜ao viscosa
(ref. [14]).
• Seja (4.1) uma lei de conserva¸c˜ao que admite uma solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao (4.16) onde S ´e estritamente convexa. Seja v uma solu¸c˜ao viscosa da lei de conserva¸c˜ao (4.1). Ent˜ao v satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia IIV (Teorema 5.6, p´agina 32, ref. [15]).
• Se v ´e uma solu¸c˜ao para a lei de conserva¸c˜ao (4.1) que cont´em um choque fraco e satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia IIV onde a fun¸c˜ao de entropia S ´e estritamente convexa, ent˜ao
v ´e a ´unica solu¸c˜ao que satisfaz a Condi¸c˜ao de Entropia IIV e ´e a solu¸c˜ao viscosa.
Se v ´e cont´ınua por partes, ent˜ao sobre uma descontinuidade, v satisfaz
s[S(vL) − S(vR)] − [Φ(vL) − Φ(vR)] ≤ 0 (4.26)
(Teorema 5.6, p´agina 32, ref. [15]). Mais ainda, quando o choque ´e um choque fraco, a condi¸c˜ao de entropia (4.26) ´e equivalente `a Condi¸c˜ao de Entropia IV (Teorema 5.7,
p´agina 32, ref. [15]).
• Se v ´e uma solu¸c˜ao de um sistema de leis de conserva¸c˜ao que tem somente descon- tinuidades de contato (nenhum choque ou leque), ent˜ao v ´e um limite da solu¸c˜ao cont´ınua (ref. [15], p´agina 44).
Observa¸c˜ao 4.1.7 No decorrer de nossos estudos perceberemos que muitos resultados para sistemas de leis de conserva¸c˜ao exigir˜ao que consideremos choques fracos, isto ´e, choques para os quais vL− vR ´e suficientemente pequeno. Usaremos est´a hip´otese v´arias vezes para
eliminar a possibilidade de procedimentos indesej´aveis nas solu¸c˜oes.