El mètode TEACCH

As pérolas eram em número de 36 e deviam ser repartidas por 6 pessoas. A primeira tirou 1 pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30.

A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24.

A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um, sétimo de 21, ou 3. Tirou, portanto, 6, deixando 18 de resto.

A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 e mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2. Recebeu, também, 6 pérolas.

A quinta encontrou 12 pérolas; dessas 12 tirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo, tirou 6.

A filha mais moça recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes. E Beremiz concluiu:

- Como vedes, o problema, embora engenhoso, nada tem de difícil. Chega- se à solução sem artifícios ou sutileza de raciocínio.

Nesse momento, a atenção do príncipe Cluzir Schá foi despertada por um número que se achava escrito cinco vezes na parede do quarto; 142 857.

- Que significação tem esse número? - perguntou.

- Trata-se - respondeu o calculista - de um dos números mais curiosos em matemática. Ele apresenta, em relação aos seus múltiplos, coincidências interessantes. Multipliquemo-lo por 2. O produto será:

142857 2 285714x =

Vemos que os algarismos constitutivos do produto são os mesmos do número dado, em outra ordem. O 14 que se achava à esquerda transportou-se para a direita.

Efetuemos o produto do número 142 857 por 3: 142857 3 428571x =

Ainda uma vez observamos a mesma singularidade: os algarismos do produto são, precisamente, os mesmos do número, alterada apenas a ordem. O 1 que se achava a esquerda passou para a direita, os outros algarismos lá ficaram, onde estavam.

A mesma coisa ocorre, ainda, quando o número é multiplicado por 4: 142857 4 571428x =

Notemos, agora, o que vai ocorrer no caso da multiplicação por 5: 142857 5 714285x =

O algarismo 7 deslocou-se da direita para a esquerda, os restantes permaneceram em seus lugares. Observemos a multiplicação por 6:

142857 6 857142x =

Feito o produto, nota-se que o grupo 142 permutou, apenas, de posição com o 857.

Uma vez chegados ao fator 7, impressiona-nos outra particularidade. O número 142 857 multiplicado por 7 dá como produto o número:

999 999 formado de seis noves!

Experimentemos multiplicar o número 142 857 por 8. O produto será: 142857 8 1142856x =

Todos os algarismos do número aparecem, ainda, no produto, com exceção do 7. O 7 do número primitivo foi decomposto em duas partes: 6 e 1. O algarismo 6 ficou à direita e o 1 foi para a esquerda completar o produto.

Vejamos agora o que acontece quando multiplicamos o número 142 857 por 9:

142857 9 1285713x =

Observemos com atenção esse resultado. O único algarismo do multiplicando que não figura no produto é o 4. Que teria acontecido com ele? Aparece decomposto em duas parcelas, 1 e 3, colocadas nos extremos do produto.

Do mesmo modo, poderíamos verificar as singularidades que apresenta o número 142 857 quando multiplicado Por 11, 12, 13, 15, 17, 18, etc.1

Eis por que o número 142 857 se inclui entre os números cabalísticos da matemática. Ensinou-me o dervixe Nô-Elin...

- Nô-Elin! - repetiu, tomado de vivo júbilo, o príncipe Cluzir Schá. - É possível que tenha conhecido esse sábio?

- Conheci-o muito bem, ó príncipe - respondeu Beremiz. - Com ele aprendi todos os princípios que hoje aplico nas pesquisas matemáticas.

- Pois o grande Nô-Elin - explicou o hindu - era amigo de meu pai. Certa vez, vencido pelo desgosto, por ter perdido um filho em combate, numa guerra injusta e cruel, afastou-se da cidade e nunca mais foi visto. Tenho feito várias pesquisas para encontrá-lo, mas até hoje não consegui obter a menor indicação sobre seu paradeiro. Cheguei, até, a admitir que ele tivesse perecido no deserto, devorado pelas panteras. Saberá, acaso, dizer-me onde poderei encontrar Nô- Elin?

Respondeu Beremiz:

- Quando parti para Bagdá deixei o sábio Nô-Elin em Khói, na Pérsia, recomendado a três amigos.

- Pois logo que eu regresse de Meca iremos à cidade de Khói, buscar esse grande ulemá - respondeu o príncipe. - Quero levá-lo para o meu palácio! Poderá você, ó calculista, auxiliar-me nessa grandiosa empresa?

- Senhor! - apoiou Beremiz. - Se é para prestar auxílio e fazer justiça àquele que foi meu guia e mestre, pronto estou para acompanhar-vos, se for preciso, até à índia.

E, assim, por causa de 142 857, ficou resolvida a nossa viagem à índia, a terra dos rajás.

O tal número é realmente cabalístico!

CAPÍTULO XXIV

Reaparece Tara-Tir. O epitáfio de Diofante. O problema de Hierão. Livra-se Beremiz

de um inimigo perigoso. Uma carta do capitão Hassã. Os cubos de 8 a 27. A paixão pelo cálculo. A morte de Arquimedes.

Impressão desagradável causou em meu espírito a ameaçadora presença de Tara-Tir. O rancoroso cheique, que estivera durante longo período ausente de Bagdá, tinha sido visto, ao cair da noite, em companhia de três sicários, rondando a rua em que morávamos.

Alguma cilada ele preparava, na certa, contra o incauto Beremiz.

Preocupado com seus estudos e problemas, não percebia o calculista o perigo que o acompanhava como uma sombra negra.

Falei-lhe da presença sinistra de Tara-Tir, e recordei-lhe os avisos cautelosos do cheique Iezid.

- Todos os receios são infundados - respondeu-me Beremiz, sem ponderar detidamente o meu aviso. - Não posso crer nessas ameaças. O que me interessa no momento é a solução completa de um problema que constitui o epitáfio do célebre geômetra grego Diofante:

“Eis o túmulo que encerra Diofante - maravilha de contemplar! Com artifício aritmético, a pedra ensina a sua idade.

Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho - desgraçado e, no entanto, bem-amado! -, apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência.1

É possível que Diofante, preocupado em resolver o problemas indeterminados da aritmética, não tivesse cogitado de obter a solução perfeita para o problema do rei Hierão, que não aparece indicado em sua obra.

- Que problema é este? - perguntei. Beremiz contou-me o seguinte:

- Hierão, rei de Siracusa, mandou ao seu ourives certa porção de ouro para a confecção de uma coroa que ele desejava oferecer a Júpiter. Quando o rei recebeu a obra acabada, verificou que ela tinha o peso do metal precioso fornecido, mas a cor do ouro inspirou-lhe a desconfiança de que o ourives tivesse ligado prata ao ouro. Para pôr a limpo a dúvida, consultou Arquimedes, o grande geômetra.

Arquimedes, tendo verificado que o ouro perde, na água, 52 milésimos do seu peso e a prata, 99 milésimos, procurou saber o peso da coroa mergulhada na água e achou que a perda de peso era em parte devida a certa porção de prata adicionada ao ouro2_.

Conta-se que Arquimedes pensou muito tempo, sem poder resolver o problema proposto pelo rei Hierão. Um dia, estando no banho, descobriu o modo de solucioná-lo, e, entusiasmado, saiu dali a correr para o palácio do monarca, gritando pelas ruas de Siracusa: Eureka! Eureka! - o que quer dizer: Achei! Achei!

No momento em que assim conversávamos, veio visitar-nos o capitão Hassã Muarique, chefe da guarda do sultão. Era um homem corpulento, muito expedito e serviçal. Ouvira narrar o caso dos 35 camelos e não parava, por isso,