Måter tilbakemeldingen gis på

P

LANO

D

E

A

ULA 1

26 de fevereiro de 2016

Matemática A – 12ºB

Escola Secundária da Ramada

Duração da aula: 90 min (2 tempos de 45 min). Horário da aula: das 08:15h às 09:45h.

Sumário: Revisão da função derivada de uma função polinomial de grau menor ou igual

a 3.

Regras de derivação: derivada da soma, derivada do produto e derivada da potência.

Tópico do Programa: Introdução ao Cálculo Diferencial II

Subtópicos:

- Funções deriváveis. Regras de derivação.

Objetivos específicos (os alunos deverão ser capazes de):

- Determinar a derivada de uma função polinomial de grau menor ou igual a 3;

- Aplicar as regras de derivação da soma, do produto e da potência no cálculo de derivadas;

- Mobilizar as regras supramencionadas para o cálculo de derivadas de funções polinomiais de grau arbitrário.

Conhecimentos prévios:

- Conceito de derivada;

- Derivada das funções: constante, identidade, afim, quadrática e cúbica.

Recursos:

Aluno:

- Material de escrita (papel, lápis e borracha); Manual escolar.

Professor:

- Tarefa: “Regras de derivação (soma, produto e potência)”; Versão resumida do “Plano de aula”; Manual escolar; Correção da tarefa.

146

Capacidades transversais:

- Raciocínio matemático; - Comunicação matemática;

- Rigor na escrita (utilização correta da linguagem simbólica relacionada com as derivadas);

- Interpretação de enunciados (linguagem natural); - Autonomia;

- Espírito crítico.

Contextualização:

- Esta será a primeira aula sobre as regras de derivação. Será feita uma breve revisão das derivadas que os alunos já aprenderam no 11.º ano (derivada da função constante, identidade, afim, quadrática e cúbica) através do estudo de alguns exemplos. De seguida será proposto aos alunos uma tarefa com o objetivo de estes inferirem as regras de derivação da soma, produto e potência. Com a realização da tarefa, os alunos ficarão aptos para derivar qualquer função polinomial.

Avaliação:

- A avaliação será reguladora em relação à compreensão e ao estudo das regras de derivação;

- Serão avaliados aspetos como: o envolvimento na resolução da tarefa; o empenho e a participação nos momentos de discussão em grande grupo.

Observação:

- Existe um aluno que se encontra a realizar um plano de trabalho próprio uma vez que apresenta um grande desfasamento em relação ao nível de conhecimento matemático da turma. Este trabalho será desenvolvido com o apoio da professora Inês Campos e da Cristiana Coito.

Metodologia de trabalho:

- Breve momento de revisão, em grande grupo, da função derivada de uma função constante, afim, quadrática e cúbica através da exploração de alguns exemplos;

- Trabalho autónomo dos alunos na resolução da tarefa envolvendo o estudo das regras de derivação;

- Momentos de discussão em grande grupo finalizando com a síntese das regras de derivação;

147

- Trabalho autónomo dos alunos na resolução de exercícios do manual escolar referentes às regras de derivação já estudadas, caso terminem a tarefa em tempo de aula.

Desenvolvimento da aula:

(0) Preparação da sala de aula (0 minutos)

- O professor entra na sala antes do início da aula e certifica-se que o quadro está em condições de ser utilizado: limpo e com o material necessário para escrita.

Objetivo: garantir que o início da aula decorre sem perturbações.

(1) Início da aula: entrada dos alunos e ditado do sumário (5 minutos)

- O sumário é ditado aos alunos. Registo de faltas.

Objetivo: dar a conhecer aos alunos os assuntos que vão ser tratados ao longo da aula.

Início: 08:15  Fim: 08:20

(2) Revisão das derivadas estudadas no 11.º ano (10 minutos)

- Revisão da função derivada de uma função polinomial de grau menor ou igual a 3.

Ação do professor:

- Recordar os alunos das derivadas já estudadas no 11.º ano;

- Questionar os alunos acerca da derivada da função constante, identidade, afim, quadrática e cúbica (calcular com a ajuda e colaboração dos alunos a derivada de algumas funções polinomiais de grau menor ou igual a 3);

- Fazer uma síntese onde será apresentada uma tabela com as derivadas de funções que os alunos já estudaram;

- Esclarecer eventuais questões que ainda possam surgir em relação às derivadas deste tipo de funções.

Início: 08:20  Fim: 08:30

(3) Apresentação e distribuição da tarefa (5 minutos)

- Distribuir o enunciado da tarefa aos alunos;

- Informar os alunos que podem realizar a tarefa em pequeno grupo (trabalho a pares); - Explicar aos alunos que serão feitas pausas para discussão da tarefa no final de cada grupo de questões;

- Pedir aos alunos para resolverem a tarefa a caneta numa folha à parte para permitir que seja recolhida no final de cada aula e devolvida na aula seguinte. Solicitar aos alunos para corrigirem a tarefa no caderno diário.

148

(4) Resolução da tarefa – Grupo I (10 minutos)

- Metodologia de trabalho:Trabalho em pequeno grupo (trabalho a pares).

Ação do professor:

- Circular pela sala de aula para tirar dúvidas e apoiar os alunos com eventuais dificuldades que surjam na resolução do Grupo I da tarefa;

- Selecionar alguns alunos para apresentarem a sua resolução no quadro;

- Observar as respostas dadas pelos alunos da turma com o objetivo de identificar os alunos com mais dificuldades e perceber os seus raciocínios;

- Interromper a aula para fazer uma explicação para toda a turma caso existam dúvidas comuns a muitos alunos.

Dificuldade geral: para além das dificuldades que aponto em cada questão da tarefa, as operações com polinómios na simplificação de expressões e os erros de cálculo serão certamente dificuldades comuns à generalidade das questões.

Questões 1, 2 e 3 Objetivo:

- Motivar os alunos para a regra de derivação da soma;

- Levar o aluno a desenvolver a ideia intuitiva de derivada da soma de funções. - Aplicar a regra de derivação da soma.

Resolução esperada: recorrer aos resultados recordados no início da aula para efetuar o

cálculo das derivadas das funções.

1 – a) 𝑓′(𝑥) = (3𝑥2_{+ 2𝑥 + 5)}′ _{= 2 × 3𝑥 + 2 = 6𝑥 + 2} 1 – b) 𝑔′(𝑥) = (𝑥3 _{− 3𝑥)}′_{= 3𝑥}2_{− 3} 1 – c) ℎ′_{(𝑥) = (2𝑥}3_{− 5𝑥}2_{+ 7)}′ _{= 3 × 2𝑥}2 _{− 2 × 5𝑥 = 6𝑥}2_{− 10𝑥} 2 – a) i) 𝑓′(𝑥) = (4𝑥3 _{− 5𝑥}2₎′ _{= 3 × 4𝑥}2_{− 2 × 5𝑥 = 12𝑥}2_{− 10𝑥} 𝑔′_{(𝑥) = (2𝑥 + 6)}′_{= 2} ii) (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = (4𝑥3_{− 5𝑥}2_{+ 2𝑥 + 6)}′_{= 3 × 4𝑥}2_{− 2 × 5𝑥 + 2 = 12𝑥}2_{− 10𝑥 + 2} 2 – b) i) 𝑓′(𝑥) + 𝑔′_{(𝑥) = (3𝑥}2_{+ 5𝑥)}′_{+ (}7 3𝑥 3_{+ 2𝑥}2_{+ 𝑒)}′_{= 2 × 3𝑥 + 5 + 3 ×}7 3𝑥 2_{+ 2 ×} 2𝑥 = 6𝑥 + 5 + 7𝑥2_{+ 4𝑥 = 7𝑥}2 _{+ 10𝑥 + 5}

149 (𝑓 + 𝑔)′_{(𝑥) = (3𝑥}2_{+ 5𝑥 +}7 3𝑥 3_{+ 2𝑥}2_{+ 𝑒)} ′ = (7 3𝑥 3_{+ 5𝑥}2_{+ 5𝑥 + 𝑒)} ′ = 3 ×7 3𝑥 2 _{+ 2 × 5𝑥 + 5 = 7𝑥}2_{+ 10𝑥 + 5} ii) (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) Dificuldades previstas:

- Não saber aplicar as regras de derivação já estudadas no 11.º ano; - Identificar o tipo de função que pretende derivar em cada caso.

Ação do professor:

- Auxiliar o aluno na interpretação das derivadas presentes no início da tarefa (através da apresentação de um exemplo simples) e no cálculo da derivada que for o foco da dificuldade.

Resolução esperada: recorrer à regra de derivação da soma para o cálculo da derivada.

3 –

Temos que 𝑓 é uma função derivável em ℝ pois é uma função afim e toda a função afim é derivável em ℝ.

Logo, como 𝑓 é uma função derivável em ℝ e 𝑔 é também uma função derivável em ℝ, temos que 𝑓 + 𝑔 é uma função derivável em ℝ porque a soma de duas funções deriváveis em ℝ é uma função derivável em ℝ.

Aplicando a regra de derivação da soma vem, para cada 𝑥 ∈ ℝ: (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′_{(𝑥) + 𝑔}′_{(𝑥) = (−}2 3𝑥 + 3) ′ + cos(𝑥) = −2 3+ cos (𝑥) Dificuldades previstas:

- Justificar que a função 𝑓 + 𝑔 é derivável em ℝ;

- Pensar que necessitam da expressão algébrica da função 𝑔 para calcular a derivada pedida.

Ação do professor:

- Perguntar à turma o que aprenderam no 11.ºano em relação a derivabilidade das funções afins; - Ajudar o aluno a aplicar a regra da derivação da soma.

Início: 08:35  Fim: 08:45

(5) Discussão e correção da tarefa – Grupo I (10 minutos)

- Breve correção e discussão das questões 1, 2 e 3 com o objetivo de identificar alguma dificuldade generalizada e para os alunos ficarem com o registo da resposta correta; - Possível ida ao quadro por parte de alguns alunos.

150

Foco da discussão: conjeturar e generalizar a regra de derivação da soma.

Início: 08:45  Fim: 08:55

(6) Resolução da tarefa – Grupo II (10 minutos)

- Metodologia de trabalho:Trabalho em pequeno grupo (trabalho a pares).

Ação do professor:

- Circular pela sala de aula para tirar dúvidas e apoiar os alunos com eventuais dificuldades que surjam na resolução do Grupo II da tarefa;

- Selecionar alguns alunos para apresentarem a sua resolução no quadro;

- Observar as respostas dadas pelos alunos da turma com o objetivo de identificar os alunos com mais dificuldades e perceber os seus raciocínios;

- Interromper a aula para fazer uma explicação para toda a turma caso existam dúvidas comuns a muitos alunos.

Questões 4, 5 e 6 Objetivo:

- Aplicar a regra de derivação da soma;

- Motivar os alunos para a regra de derivação do produto.

Resolução esperada: 4 – a) 𝑓′_{(𝑥) = (2𝑥 + 2)}′_{= 2} 𝑔′(𝑥) = (3𝑥 − 1)′_{= 3} (𝑓 × 𝑔)′_{(𝑥) = (𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥))}′_{= (6𝑥}2_{+ 4𝑥 − 2)}′ _{= 12𝑥 + 4} Estratégias:

- Calcular diretamente as derivadas usando os conhecimentos adquiridos durante o 11.ºano;

- Efetuar passos intermédios recorrendo à regra de derivação da soma.

4 – b)

𝑓′_{(𝑥) × 𝑔(𝑥) + 𝑔}′_{(𝑥) × 𝑓(𝑥) = 2(3𝑥 − 1) + 3(2𝑥 + 2) = 12𝑥 + 4}

4 – c)

(𝑓 × 𝑔)′_{(𝑥) = 𝑓}′_{(𝑥) × 𝑔(𝑥) + 𝑔}′_{(𝑥) × 𝑓(𝑥)}

Dificuldade prevista:

- Não atender ao trabalho realizado nas alíneas anteriores e considerar que a derivada do produto é o produto das derivadas, quando generaliza.

Ação do professor: sugerir ao aluno que primeiro efetue o produto e só depois calcule a derivada.

151

Resolução esperada: recorrer às regras de derivação da soma e do produto para o cálculo

das derivadas. 5 – a) ℎ′(𝑥) = (𝑥2₎′_{× (𝑥}2_{+ 1) + (𝑥}2_{+ 1)}′_{× 𝑥}2 _{= 2𝑥(𝑥}2 _{+ 1) + 2𝑥 × 𝑥}2 = 2𝑥3 + 2𝑥 + 2𝑥3 = 4𝑥3 + 2𝑥 5 – b) 𝑔′(𝑥) = (𝑥4_{− 2𝑥}3_{+ 6𝑥)}′ _{= (𝑥(𝑥}3_{− 2𝑥}2 _{+ 6))}′ = (𝑥)′(𝑥3_{− 2𝑥}2_{+ 6) + (𝑥}3 _{− 2𝑥}2 _{+ 6)′ × 𝑥} = 𝑥3− 2𝑥2+ 6 + (3𝑥2− 4𝑥)𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 6 + 3𝑥3− 4𝑥2 = 4𝑥3− 6𝑥2+ 6 5 – c) 𝑓′(𝑥) = (𝑥4₎′ _{= (𝑥 × 𝑥}3₎′_{= (𝑥)}′_{× 𝑥}3 _{+ (𝑥}3₎′_{× 𝑥 = 𝑥}3_{+ 3𝑥}2_{× 𝑥 = 𝑥}3_{+ 3𝑥}3 = 4𝑥3 Estratégias:

- Na alínea c), diferentes fatorizações levarão ao cálculo de derivadas diferentes; - Calcular diretamente a derivada de 𝑥4, antecipando a regra de derivação da potência.

Dificuldade prevista:

- Fatorizar as funções como produto de funções cujas derivadas já saibam calcular.

Ação do professor:

- Perguntar ao aluno se não consegue colocar nada em evidência (alínea b)) ou tentar escrever 𝑥4 como produto de duas funções que já saiba derivar (alínea c));

- Caso o aluno calcule diretamente a derivada de 𝑥4, pedir-lhe que recorra apenas a regras já conhecidas.

Resolução esperada: aplicar a regra de derivação do produto para efetuar a demonstração

pedida.

6 – a)

(𝑘𝑓)′_{= 𝑘}′_{× 𝑓 + 𝑓}′_{× 𝑘 = 0 × 𝑓 + 𝑓}′_{× 𝑘 = 𝑘𝑓′}

Resolução esperada: aplicar o resultado demonstrado na alínea a) em combinação com

o resultado obtido na questão 6) alínea c).

6 – b) (3𝑥4₎′_{= 3 × (𝑥}4₎′_{= 3 × 4𝑥}3 _{= 12𝑥}3 (1 2𝑥 4₎ ′ = 1 2(𝑥 4_{)′ =}1 2× 4𝑥 3 _{= 2𝑥}3 (−5𝑥4₎′ _{= −5 × (𝑥}4₎′_{= −5 × 4𝑥}3 _{= −20𝑥}3

152

Estratégia:

- Decompor as funções num produto onde conhecem a derivada de cada fator e aplicar a regra de derivação do produto.

Dificuldade prevista:

- Aplicar o resultado demonstrado na alínea a) à alínea b) e combinar com o resultado obtido na alínea c) da questão 6.

Ação do professor:

- Sugerir ao aluno que atribua valores a 𝑘 e uma expressão à função 𝑓 de forma a perceber o resultado demonstrado na alínea a);

- Lembrar o aluno que já calculou a derivada de 𝑥4.

Início: 08:55  Fim: 09:05

(7) Discussão e correção da tarefa – Grupo II (10 minutos)

- Breve correção das questões 4 ,5 e 6 com o objetivo de identificar alguma dificuldade generalizada e para os alunos ficarem com o registo da resposta correta;

- Possível ida ao quadro por parte de alguns alunos.

Foco da discussão: conjeturar e generalizar a regra de derivação do produto.

Início: 09:05  Fim: 09:15

(8) Resolução da tarefa – Grupo III (10 minutos)

- Metodologia de trabalho:Trabalho em pequeno grupo (trabalho a pares).

Ação do professor:

- Circular pela sala de aula para tirar dúvidas e apoiar os alunos com eventuais dificuldades que surjam na resolução do Grupo III da tarefa;

- Selecionar alguns alunos para apresentarem a sua resolução no quadro;

- Observar as respostas dadas pelos alunos da turma com o objetivo de identificar os alunos com mais dificuldades e perceber os seus raciocínios;

- Interromper a aula para fazer uma explicação para toda a turma caso existam dúvidas comuns a muitos alunos.

Questões 7 e 8 Objetivo:

- Aplicar as regras de derivação da soma e do produto; - Motivar os alunos para a regra de derivação da potência.

153

7 – a)

(𝑓𝟑₎′_{= (𝑓 × 𝑓}2₎′ _{= 𝑓}′_{× 𝑓}2_{+ (𝑓}𝟐₎′_{× 𝑓 = 𝑓}′_𝑓2_{+ 2𝑓𝑓}′_{× 𝑓 = 𝑓}′_𝑓2_{+ 2𝑓′𝑓}2

= 𝟑𝑓𝟐_𝑓′

7 – b)

Tendo em conta o enunciado e a alínea anterior, se (𝑓2₎′_{= 2𝑓𝑓′ e (𝑓}3₎′₌

3𝑓2𝑓′, podemos conjeturar que (𝑓100)′ _{= 100𝑓}99_𝑓′.

Dificuldades previstas:

- Aplicar a regra de derivação do produto a uma função abstrata; - Identificar a regularidade necessária à formulação da conjetura.

Ação do professor:

- Sugerir ao aluno que siga a estratégia presente no exemplo;

- Perguntar ao aluno qual é a relação entre o expoente inicial da função que queremos derivar, o expoente ao qual a função está elevada no final do cálculo da derivada e o coeficiente da função.

Início: 09:15  Fim: 09:25

(9) Discussão e correção da tarefa – Grupo III (10 minutos)

- Breve correção da questão 7 com o objetivo de identificar alguma dificuldade generalizada e para os alunos ficarem com o registo da resposta correta;

- Possível ida ao quadro por parte de alguns alunos.

Focos da discussão:

- Conjeturar a regra de derivação da potência de expoente natural; - Estudar o caso particular de (𝑥𝑛)′ com 𝑛 ∈ ℕ;

- Generalizar a regra de derivação de expoente natural ao expoente racional não nulo;

- Mostrar aos alunos que já possuem o conhecimento necessário para derivar qualquer função polinomial.

Início: 09:25  Fim: 09:35

(10) Encerramento da aula (10 minutos)

- Resolver com a ajuda e colaboração dos alunos as alíneas a) e d) da questão 8;

- Informar os alunos que as restantes alíneas são para realizar em casa e serão discutidas no início da próxima aula.

Resolução a ser apresentada: 8 – a)

154 8 – d) 𝑓′_{(𝑥) = (√3𝑥 + 2)}′_{= ((3𝑥 + 2)}1₂₎ ′ = 1 2× (3𝑥 + 2) 1 2 −1_{× (3𝑥 + 2)}′₌ 3 2√3𝑥 + 2 Observação:

- Na próxima aula será realizada uma questão de aula sobre as regras de derivação da soma, produto e potência (avaliação reguladora).

155

In document Vurdering av muntlige presentasjoner i KRLE og religion og etikk (sider 47-55)