A noção de número está associada através dos tempos, a todos os tipos de atividade humana. As primeiras informações sobre a idéia de número são do período paleolítico; no entanto, poucos progressos foram feitos nesse campo, até ocorrer a transição para o período neolítico, durante o qual já existia uma atividade comercial importante entre diversas povoações.
Assim, as idéias de número basearam-se, nesse período, na formação de linguagens, cujas palavras exprimiam coisas muito concretas e poucas abstrações. Contudo, já havia lugar para alguns termos numéricos simples (distinção entre um, dois e muitos) e depois da utilização, durante muitos séculos, dos números para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e as propriedades dos próprios números.
Nesse contexto, com a fração, as coisas não transcorreram de maneira muito diferente. Há um consenso entre diversos pesquisadores da história da Matemática como por exemplo: Boyer (1974); Caraça (1998), entre outros, que o surgimento da Matemática deve-se ao fato de problemas oriundos da vida diária, ou seja, salvo sua evolução e seu formalismo, a Matemática emerge de uma apreensão sensível do real, isto é, de uma tentativa de construir modelos matemáticos para resolver problemas reais.
No Oriente Antigo, a história da Matemática, , com a descoberta do Papiro
de Rhind (descoberto em 1858; escrito por volta de 1650 a. C. por Ahmes) e do Papiro de Moscovo apresenta-nos a Matemática egípcia que pode ser constatada,
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por meio dos problemas neles contidos que esse povo já tinha se familiarizado com as frações. Estas, porém, eram escritas de forma diferente das que
utilizamos atualmente, ou seja, 10
1
era representado com 10, possibilitando,
desde aquela época, a idéia de um inteiro e não de uma unidade fracionada (STRUIK, 1987).
Podemos notar que a aritmética egípcia fazia uso do cálculo de frações, porém estas eram reduzidas à soma das chamadas ‘frações unitárias’, o que
significa afirmar frações de numerador 1. As únicas exceções eram 2 1 e
3
2, para
os quais existiam símbolos especiais. O Papiro de Rhind tem uma tabela que dá as equivalências em frações unitárias a todos os números ímpares de 5 a 101, por exemplo: n=5 3 15 ( 5 2 = 3 1 + 15 1 ) n= 7 4 28 Segundo Struik:
“O princípio subjacente a esta redução especial a frações unitárias não é claro. Este cálculo com frações deu à matemática egípcia um caráter complicado e pesado, mas, apesar destas desvantagens, a maneira de operar com frações unitárias foi praticada durante milhares de anos, não só no período grego, mas também na Idade Média” (STRUIK, 1987, p.53).
As frações foram conhecidas na Antigüidade, mas, na falta de numerações bem constituídas, suas notações foram durante muito tempo mal fixadas, não homogêneas e inadaptadas às aplicações práticas. Não foram consideradas, desde sua origem como números; nem se concebia a noção de
fração geral
n
Boyer (1974) comenta que as frações 8 1
, por exemplo, eram manipuladas
livremente no tempo de Ahmes – 1650 d. C. – mas, a fração geral parece ter sido um enigma aos egípcios. Assim, estes só concebiam as frações denominadas “unitárias” (as de numerador igual a 1), e só exprimiam as frações ordinárias por
meio das somas de frações desse tipo (por exemplo: 12 7 = 3 1 + 4 1).
Observamos que, com o desenvolvimento do cálculo e da aritmética, ficou claro que as frações submetiam-se às mesmas regras que os inteiros e que eram, portanto, assimiláveis aos números (sendo um inteiro uma fração de denominador igual a 1).
No Papiro de Rhind, podemos observar que para a resolução de um
problema para achar dois terços de 5 1
se procede ao método, como
descreveremos a seguir, o que indica alguma percepção das regras gerais utilizadas pelos egípcios.
Para a decomposição de
5 2
o processo de dividir ao meio é inadequado; mas
começando com um terço de
5 1
encontra-se a decomposição dada por Ahmes,
5 2 = 3 1 + 15 1 . No caso de 7 2
aplica-se duas vezes a divisão por dois a
7 1 para obter o resultado 7 2 = 4 1 + 28 1
. A obsessão egípcia com dividir por dois e tomar a
terça parte se percebe no ultimo caso da tabela
n
2
para n = 101. Talvez um dos
objetivos da decomposição de
n
2 1
fosse chegar a frações unitárias menores que
n
1
(BOYER, 1974, p. 11).
A extensão dos conceitos numéricos foi crescente e se outrora serviam apenas para recenseamento, tornaram-se “marcas” adaptadas a inúmeros usos.
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De agora em diante, não só duas grandezas podiam comparar “por estimativa”, como era possível dividí-las em parcelas ou, pelo menos, supô-las divididas em partes iguais de uma grandeza da mesma espécie escolhida como padrão.
Apesar desse progresso, por causa de suas notações imperfeitas, os antigos não foram capazes nem de unificar a noção de fração nem de construir um sistema coerente para suas unidades de medida. Ifrah esclarece que:
A notação moderna das frações ordinárias se deve aos hindus, que, devido a sua numeração decimal de posição, chegaram a simbolizar mais ou menos como nós uma fração como
1265 34
: onde 34 é o numerador e 1265 é o denominador. Esta notação foi depois adotada e aperfeiçoada pelos árabes, que inventaram a famosa barra horizontal (IFRAH, 1996, p.327).
Entre os babilônios, que já sabiam resolver equações de 1º e do 2º graus, também, era comum o uso de frações e em tabuletas de argila provenientes do período babilônico antigo (1990 a 1600 a.C.) é possível encontrar tabelas de números, incluindo, frações.
Entre os gregos, casos particulares de proporções (média aritmética, geométrica e a proporção áurea) eram familiares, desde as épocas dos pitagóricos, por exemplo, no Livro V dos Elementos de Euclides, era possível encontrar a teoria das proporções de Eudoxo de Cnido (aproximadamente 408 a
355 a.C.), que não só sugere a definição atual de igualdade de frações
b a =
dc , se
e somente se ad = bc, como é muito próxima às definições de número real surgidas no século XIX.
Em que pesem todas as considerações feitas até aqui, encontramos a noção da fração (representando uma medida ou uma quantidade) em diversas civilizações, porém, a maneira de representá-la é diferente.
Nesse contexto, observamos que, nos séculos XI e XII, se de um lado a aritmética indo-arábica produzia um sistema de numeração e de escrita de frações, no qual o numerador era colocado sobre o denominador; por outro lado, as tradições judias exprimiam as frações por intermédio de uma linguagem retórica, como quantidades de partes de unidades originadas dos pesos e medidas.
Na segunda metade do século XV, a principal linha de desenvolvimento da matemática passa pelo crescimento das cidades mercantis sob a influência direta do comércio, da navegação, da astronomia e da agrimensura: a grande Era voltada às navegações e descobertas.
Assim, as frações passaram a fazer parte do cotidiano das pessoas e os tipos de representação e conceitos da antiguidade foram aperfeiçoados e adaptados às soluções dos problemas da época.
As frações com numeradores maiores que o inteiro aparecem somente a partir do século XVI, representação essa já bem próxima das contidas nos livros dos séculos XIX e XX, com expressão de divisão. A notação moderna deve-se aos hindus pela sua numeração decimal de posição e aos árabes que inventaram a famosa barra horizontal, separando o numerador do denominador.
Em suma, neste breve relato histórico, pudemos observar que do ponto de vista histórico para a formação conceitual das frações, os grandes “insights” vão da pré-história até a Idade Média. Após esse período, observamos que houve uma preocupação maior com o aperfeiçoamento da escrita e utilização de decimais.
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Finalmente, a presença dos números em nossa vida diária é datada desde os tempos mais remotos, para ser mais preciso, está presente desde as primeiras tentativas do homem como um ser social.
Os números, em geral, estão inseridos em diversos contextos, pois não poderíamos imaginar a existência desses sem a presença dos números: no comércio, nos horários, nos impostos, nas estatísticas, nas contagens, entre outros.
No mundo contemporâneo – a era da tecnologia – os números e suas operações são imprescindíveis na informatização. As novas ferramentas de trabalho – como calculadora e computador – surgem, como uma possibilidade de facilitar e libertar o homem das atividades mecânicas e repetitivas (cálculo e aplicação de fórmulas). Esta inovação, também, contribui, de maneira decisiva, para a abertura de novos caminhos que traz em seu bojo possibilidade da exploração conceitual que compreende as idéias envolvidas em cada criação matemática.