outras ideias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Nesta perspectiva, equação é vista como uma noção primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana. Tal significado foi concebido a partir de reflexões e críticas à Teoria da Transposição Didática, de Chevallard.
Apesar da apresentação acima desenvolvida obedecer uma ordenação histórica, fato que foi tomado apenas por uma questão de escolha na maneira de apresentar os resultados, chamo a atenção para o fato de que, a meu ver, os diferentes significados de equação devam ser considerados de forma articulada e sem nenhum “nível de hierarquização”. Coloco ainda que, o significado axiomático-postulacional parece ter uma natureza distinta dos demais, pois acredito que ele deva ser considerado como o primeiro a ser discutido, de maneira implícita principalmente, no processo de ensino e aprendizagem de Álgebra. Digo isto baseado em minha conjectura de que não seja necessário definirmos o conceito de equação, para podermos abordá-lo em nossas aulas de Matemática.
Como continuidade às pesquisas desenvolvidas em Ribeiro (2007), os trabalhos de Barbosa (2009) e de Dorigo (2010) foram investigar como professores e alunos veem, interpretam e tratam situações matemáticas que contemplem os diferentes significados de equação. Estas pesquisas estavam vinculadas à um projeto docente4 mais amplo, o qual
foi composto por outros alunos de graduação e pós-graduação que constituíram uma equipe de trabalho.
A partir dos resultados apresentados por Barbosa (2009) e por Dorigo (2010), identificamos o que professores e alunos pensam e fazem quando se deparam com situações matemáticas envolvendo equações. O trabalho de Barbosa (2009) foi desenvolvido com 6 professores de Matemática com diferentes tempos de experiência e diferentes titulações. Por outro lado, o trabalho de Dorigo (2010) foi realizado com um grupo de alunos da 3a série do Ensino Médio regular (alunos de 16-17 anos) de uma escola
pública na cidade de São Paulo, Brasil5.
4 O referido projeto docente tem por objetivo principal identificar as possibilidades e potencialidades que a
abordagem de diferentes significados de conceitos algébricos na formação do professor de Matemática que ensina Álgebra na Educação Básica (alunos de 6 a 17 anos).
5 Vale acrescentar que Barbosa (2009) utilizou-se de entrevistas semi- estruturadas para coletar seus dados,
as quais foram realizadas individualmente com cada professor. Enquanto isso, Dorigo (2009) trabalhou com o grupo de alunos distribuídos em duplas, ambientado num contexto de um “espaço de discussão”. Em
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Barbosa (2009) e Dorigo (2010) apontam que, tanto professores como alunos apresentam em suas concepções, uma forte presença do significado Intuitivo-Pragmático. Entretanto, ainda que os alunos “utilizem” com mais naturalidade tal significado (Dorigo, 2010), percebe-se que eles sentem uma grande necessidade de utilizar-se de procedimentos e técnicas (significado Processual-Tecnicista) para tratar as situações às quais eles foram expostos.
Nas análises desenvolvidas por eles e nos resultados apresentados, pudemos observar que há necessidade de se discutir tanto com professores, como com alunos, situações “não usuais”, quer seja, situações que possibilitem abordar as equações em problemas e contextos que “fujam” da exclusividade e/ou excesso de procedimentos e técnicas. Finalmente, gostaria de colocar em discussão se e como resultados de pesquisas como as apresentadas acima podem trazer para o ambiente da Formação do Professor de Matemática, uma discussão sobre temas da Educação Básica – como é o caso das equações – que não contemple um simples caráter de revisão e retomada de conteúdos “básicos”. Em meu ponto de vista, tal abordagem pode possibilitar discussões epistemológicas e/ou didático-pedagógicas desses conhecimentos, o que pode propiciar a ampliação das concepções que os professores e os futuros professores possam ter desses conceitos matemáticos.
Nessa direção, parece-me que o trabalho com os diferentes significados de equação na formação do professor de Matemática possibilita ainda a elaboração de contextos em que sejam discutidas as diferentes vertentes do conteúdo (Shulman, 1986), bem como pode permitir reflexões e discussões acerca do Mathematical Knowlegde for Teaching – Conhecimento Matemático para o Ensino (Ball, Thames & Phelps, 2008), no que se refere às equações, por exemplo.
Ratificando a importância de se contemplar e desenvolver pesquisas que tenham como preocupação investigar os conhecimentos do professor de matemática que ensina Álgebra, Doerr (2004) ressalta a carência de um corpo substancial de pesquisas sobre o
conhecimento e a prática do professor no ensino de Álgebra (p. 268).
A continuidade dos trabalhos e investigações iniciadas por mim, como em Ribeiro (2007), caminha na direção de observar, contemplar e sistematizar tais discussões e reflexões uma vez que tenho desenvolvido pesquisas com professores e alunos acerca do conceito de equação em aulas de Matemática. Além dos trabalhos já concluídos, ou em fase final de conclusão, outros mais estão sendo levados a cabo na mesma perspectiva e, também, considerando outros conceitos da Álgebra.
Dentre as propostas finais que pretendemos alcançar com nosso trabalho temos, por um lado, um anseio de instrumentalizar as “tarefas” do professor, nas quais os resultados aqui
ambos os casos, as intervenções que ocorreram foram no sentido de possibilitar uma maior “explicitação” das concepções de equação que tais alunos e professores possuíam.
discutidos possam ser incorporados às práticas dos professores de matemática no que se refere ao ensino de equações na Educação Básica e/ou no Ensino Superior. Por outro lado, reflexões teóricas estão sendo desenvolvidas no intuito de delinear o MKT (Mathematical
Knowlegde for Teaching) no que se refere ao conceito de equação.
Fundamentado nos resultados apresentados e nas reflexões aqui desenvolvidas, alguns questionamentos encontram-se em aberto e estimulam nossas inquietações, tais como: Qual é o conhecimento específico (ou especializado) sobre o conceito de equação é necessário para o professor de matemática? Como considerar e contemplar o desenvolvimento epistemológico do conceito de equação na formação do professor de matemática? Qual o papel das diferentes formas de representar matematicamente um conceito para/na formação do professor? Quais as principais dificuldades de aprendizagem estão presentes quando se ensina equações na Educação Básica e/ou no Ensino Superior? Quais as principais dificuldades para o ensino de equação na Educação Básica e/ou Ensino Superior? Qual poderia (ou deveria?) ser o percurso para o ensino de equação, do ponto de vista curricular, na Educação Básica e/ou Ensino Superior?
Enfim, as questões ainda são muitas; são amplas; são complexas. Todavia, certamente, elas são necessárias e fundamentais se queremos propiciar a alunos e professores um ensino e uma aprendizagem de equações – e de Álgebra – que possa romper com uma mera manipulação sem sentido e sem significados de símbolos, procedimentos e técnicas.
Referências Bibliográficas
Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59, 389-407.
Barbosa, Y. O. (2009). Multisignificados de equação: uma investigação sobre as concepções de
professores de Matemática. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 196 f.
Doerr, H. M. (2004). Teachers’ knowledge and teaching of algebra. In K. Stancey, H. Chick & M. Kendal (Eds.), The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI Study (pp. 267-289). New York: Kluwer Academic Publishers.
Dorigo, M. (2010). Investigando as concepções de equação de um grupo de alunos do Ensino
Médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, 2010, 137f.
Kilpatrick, J., Hoyles, C., & Skovsmose, O. (2005). Meaning in Mathematics Education. New York: Springer.
Ribeiro, A. J. (2007). Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições
de um estudo epistemológico. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, 2007, 142f.
Ribeiro, A. J. (2008). Multisignificados de equação e o ensino de matemática: desafios e
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Ribeiro, A. J. (2010). Uma proposta de construção de perfil conceitual de equação: implicações para a Educação Matemática. Boletim GEPEM, 56.
Ribeiro, A. J., & Cury, H. N. (2015). Álgebra e a formação do professor: explorando os conceitos
de equação e de função. Belo Horizonte: Autêntica.
Ribeiro, A. J., & Machado, S. D. A. (2009). Equação e seus multisignificados: potencialidades para a construção do conhecimento matemático. Zetetiké, 17(31), 109-128.
Shulman, L. S. (1986). Those who undestand: Knowledge growth in the teaching. Educational