Susana Carreira
Universidade do Algarve e Unidade de Investigação do IE, Universidade de Lisboa
Apresentação do painel
Neste painel, cujo objetivo é discutir a temática das representações matemáticas no ensino e aprendizagem da Matemática, participam investigadores que no âmbito dos seus projetos e trabalhos de investigação deram uma atenção especial às representações matemáticas e as elegeram como parte do seu objeto de estudo. Os membros do painel trazem naturalmente perspetivas diferenciadas e interesses distintos no que respeita ao estudo das representações matemáticas, partilhando todavia a convicção de que se trata de uma questão preponderante na aprendizagem e no ensino da Matemática. A diversidade de pontos de vista foi aliás intencional e espelha-se, por exemplo, nos tópicos curriculares que cada um aborda, nos níveis de escolaridade em que desenvolvem a sua pesquisa, no foco sobre o aluno ou sobre o professor, nas linhas teóricas que adotam e nos resultados que apresentam decorrentes dos seus estudos.
Alessandro Ribeiro considera a relação entre formas de representação matemática de um conceito e os significados desse conceito. Debruça-se sobre os significados do conceito de equação e tem em mente desenvolver o conhecimento profissional do professor de Matemática relativamente ao ensino deste conceito, desde o ensino básico ao secundário.
Ana Henriques centra-se na relação entre representações matemáticas e raciocínio, referindo-se especificamente ao raciocínio estatístico. O seu trabalho tem a particularidade de integrar o uso de uma ferramenta tecnológica – o TinkerPlots – e assenta em dados empíricos relativos ao trabalho realizado em sala de aula por alunos de 8.º ano.
Paula Teixeira tem, como base do seu estudo, os recursos tecnológicos que acompanham os manuais escolares, seja no ensino básico ou no secundário, e analisa as representações que os professores têm das aulas que lecionam com a aplicação desses recursos tecnológicos, em tópicos de álgebra e de geometria.
Sandra Nobre investiga a aprendizagem de métodos algébricos formais, utilizando a Folha de Cálculo como um recurso para a representação e expressão de relações
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algébricas e analisando as conversões e tratamentos de representações realizados por alunos do 9.º ano, em diversos tipos de tarefas na sala de aula.
Problematização do tema
Uma breve análise das ideias trazidas pelos membros do painel poderá conduzir-nos rapidamente a algumas ideias gerais:
i. Não é trivial descrever o papel ou a função que as representações matemáticas desempenham na aprendizagem escolar e na atividade do professor – ora são recursos para a expressão de ideias e por isso é importante aumentar o leque de ferramentas disponíveis; ora estão na base da construção dos significados de um conceito matemático, pelo que sem a representação matemática não se pode atingir plenamente o significado de um conceito; servem ainda para apoiar o raciocínio, tornando-se eventualmente em parte integrante do raciocínio matemático; e também influenciam a forma como o professor concebe e perceciona a aprendizagem e o ensino da Matemática.
ii. Observa-se uma presença crescente de representações tecnológicas na vasta variedade de representações matemáticas, sendo que a disponibilidade da tecnologia e das representações dinâmicas que esta oferece parece facilitar a aprendizagem e aumentar a flexibilidade representacional de alunos e de professores.
O tema das representações matemáticas no ensino e na aprendizagem da Matemática – provavelmente com mais ênfase em torno da questão da aprendizagem – tem muitas décadas de trabalho de investigação associado. Em grande medida foi a própria investigação em torno da resolução de problemas de Matemática que impulsionou uma maior atenção sobre as representações matemáticas. E este tema nunca foi destituído de divisões e divergências entre os teóricos e os investigadores em Educação Matemática. Uma das polémicas de que certamente nos recordamos prende-se com a questão da
possibilidade/impossibilidade de distinguir entre representações externas e internas, um tema que ateou discussões vivas, protagonizadas, por exemplo, por Gerard Goldin (veja- se Goldin, 1998; Kaput, 1998). Uma outra clivagem foi ainda salientada por Paul Cobb e colaboradores ao questionarem a ideia de representação como fonte de compreensão, chamando a atenção para a transparência/opacidade das representações matemáticas, também abordada por Godino e Font (2010) em termos do caráter ostensivo/não-
ostensivo das representações. Outros investigadores, como Ainsworth (2006) ou Panasuk e Beyranevand (2011) têm estudado as preferências dos alunos por determinados tipos de representações e questionam a ideia de representação adequada/desadequada para determinada tarefa matemática. Mais recentemente, assiste-se a uma outra discussão acerca do poder representacional das ferramentas tecnológicas. Vários são os investigadores que têm salientado a expressividade representacional das tecnologias digitais como algo que transforma profundamente a natureza do pensamento e do
raciocínio matemático, entre os quais se podem incluir Hegedus e Moreno-Armella (2009) ou Richard Noss (2001).
Nas contribuições dos membros deste painel surgem ideias, dados e resultados que nos permitem revisitar algumas das controvérsias históricas associadas ao estudo e à teorização das representações matemáticas. Mas para além dessas, as oportunidades de convergência parecem igualmente abundantes. Assim, mais do que reiterar as complexidades que o estudo das representações acarreta, parece-nos que esta é uma boa oportunidade para encontrar fios condutores, em torno de algumas questões que pretendem acima de tudo alimentar o debate.
Algumas questões a debater
1. Fará sentido perguntar que tipos de representações matemáticas são mais úteis para responder a determinada questão ou resolver determinado problema?
2. Sabemos que toda a representação matemática resulta em grande medida do estabelecimento de convenções. A linguagem simbólica da álgebra é um bom exemplo de um sistema de representação repleto de convenções. Como é que a tradução entre sistemas de representação pode promover a aprendizagem, sabendo que isso obriga a mudar sistematicamente de significados convencionados? 3. Existe uma distinção entre i) o papel das representações matemáticas como um
meio para exprimir (exteriorizar, comunicar) determinada ideia ou informação e ii) como um meio para o próprio indivíduo desenvolver uma estratégia ou uma forma de pensar?
4. Como estão os recursos tecnológicos a “invadir” o espaço das representações matemáticas e como é que, em particular, as representações dinâmicas, visuais, e interativas convivem (melhor ou pior) com as representações estáticas, formais e tradicionais?
5. Qual a importância de fomentar o uso de múltiplas representações externas na aprendizagem da Matemática, quando sabemos que em dada fase do desenvolvimento da aprendizagem, preterimos o uso de determinados sistemas de representação, isto é, removemos os andaimes representacionais (as figuras ou os esquemas, os números na reta ordenada, a linguagem do Excel, etc.)?
6. Quando algebrizamos a Geometria, passamos a usar uma linguagem específica – a da Álgebra – mas os conceitos com que trabalhamos continuam a ser geométricos (ex. equação da reta tangente a uma circunferência ou equação da reta perpendicular ao plano…). O que significa então a representação matemática no campo da Geometria? E o que significará trabalhar em Geometria com o registo da Álgebra?
7. Que vantagens e desvantagens em associar a representação matemática aos multi- significados dos conceitos quer para o conhecimento pedagógico do professor quer para fomentar a compreensão dos alunos?
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Referências bibliográficas
Ainsworth, S. (2006). DeFT: A conceptual framework for considering learning with multiple representations. Learning and Instruction, 16, 183-198.
Cobb, P., Yackel, E., & Wood, T. (1992). A constructivist alternative to the representational view of mind in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 23(1), 2-33.
Godino, J., & Font, V. (2010). The theory of representations as viewed from the onto-semiotic approach to mathematics education. Mediterranean Journal for Research in Mathematics
Education, 9(1), 189-210.
Goldin, G. (1998). The PME Working Group on Representations. Journal of Mathematical
Behavior, 17(2), 283-301.
Hegedus, S., & Moreno-Armella, L. (2009). Intersecting representation and communication infrastructures. ZDM, 41, 399-412.
Kaput, J. (1998). Representations, iinscriptions, descriptions and learning: A kaleidoscope of windows. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 265-261.
Noss, R. (2001). For a learnable mathematics in the digital culture. Educational Studies in
Mathematics, 48, 21-46.
Panasuk, R., & Beyranevand, M. (2011). Preferred representations of middle school algebra sudents when solving problems. The Mathematics Educator, 13(1), 32-52.