Carolina Guerra Inês Martins Marina Rodrigues
Instituto Politécnico de Leiria
resumo
Esta comunicação decorreu de uma investigação realizada com uma turma de 1.º ano do 1.º Ciclo do Ensino Básico, com a qual se pretendeu descrever e analisar de que forma a implementação de tarefas de Educação e Expressão Físico-Motora contribui para o desenvolvimento do cálculo mental. Nesta comunicação apresentamos apenas uma das tarefas implementadas, que permitiu promo- ver o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental dos alunos, bem como analisar as dificul- dades sentidas.
No decorrer da investigação utilizámos o paradigma qualitativo de índole descritiva, recorrendo à análise de conteúdo e à definição de categorias para organizar e analisar os dados.
Os resultados mostraram que os alunos utilizaram essencialmente dois tipos de estratégias, dobros e saltos de x em x. As dificuldades sentidas pelos alunos prenderam-se sobretudo com a falta de concentração e com a falta de tempo para pensar, visto que a abordagem realizada era nova para a turma, o que condicionou o seu desempenho na realização da tarefa.
Palavras-chave: jogo; cálculo mental; adição; estratégias de cálculo.
AbstrAct
This communication is the product of an investigation conducted with a group of first grade of primary education. The purpose of this investigation was to describe and analyze how the imple- mentation of Physical Education tasks can contribute to the development of mental calculation. In this paper only one of the tasks implemented is presented. This particular task allowed the devel- opment of the students mental calculation strategies and analyzed their difficulties.
During the research we used a qualitative paradigm of descriptive nature, that used content analy- sis and definition of categories to organize and analyze the data.
The results showed that students essentially used two types of strategies: doubles and jumps from x and x. The difficulties experienced by the students related primarily to lack of concentration and lack of time to think. The chosen approach was new to the class, and therefore influenced the learn- ers’ performance.
Keywords: game; mental calculation; addition; calculating strategies. ——————
introdução
Este estudo foi implementado numa turma de 1.º ano do 1.º Ciclo do Ensino Básico, tendo como principal objetivo descrever e analisar de que forma a implementação de uma tarefa de Educação e Expressão Físico-Motora permitiu que os alunos utilizassem diversas estratégias para desenvolver mentalmente o cálculo aditivo.
Partindo das observações realizadas no contexto da turma, foi possível verificar que os alunos apre- sentavam dificuldades tanto a nível cognitivo, como emocional, evidenciando dificuldades de con- centração e envolvimento nas tarefas propostas em sala de aula. Relativamente à área curricular Matemática, os alunos apresentavam dificuldades tanto na realização de cálculos mentais, como na diversificação e comunicação de estratégias de cálculo.
Deste modo, com o intuito de desenvolver a flexibilidade de cálculo relativamente à operação de adi- ção, considerámos pertinente implementar tarefas que contribuíssem para o desenvolvimento do cálculo mental, permitindo também o desenvolvimento do sentido de número e a melhoria da capaci- dade crítica e de estimação dos alunos. Para isso, construímos jogos, nos quais aliámos a Matemática
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à Expressão e Educação Físico-Motora, pretendendo tornar a tarefa motivante e desafiante para os alunos e, simultaneamente, contribuindo para o desenvolvimento de competências de cálculo mental.
enquAdrAmento teórico
O que se entende por cálculo mental?
De acordo com Taton (1969), o cálculo mental e o cálculo formal são semelhantes, uma vez que uti- lizam o mesmo encadeamento de operações mentais elementares. Para o autor, será errado limitar o cálculo mental a operações efetuadas “de cabeça”, visto que na realização de operações utilizando algoritmos por cálculo escrito, o cálculo mental está igualmente presente. O cálculo escrito efetuado de memória não será então mais do que uma forma de cálculo mental adaptado.
Mais do que o “calcular de cabeça”, será o “calcular com a cabeça”, uma vez que no cálculo mental são mobilizadas estratégias que permitem rapidez e eficiência na resposta, podendo, como defendem di- versos autores, ser utilizado papel e lápis para cálculos intermédios. Assim, o cálculo mental é um im- portante aspeto a considerar no âmbito do desenvolvimento do sentido do número (Carvalho, 2011). McIntosh, Reys e Reys (1992) referem que um dos aspetos do sentido de número é a capacidade que o aluno tem em aplicar conhecimentos e a sua destreza em operar com números em situações de cálculo. Para tal, indicam que o aluno deve compreender a relação entre o contexto do problema e o cálculo necessário, saber que existem múltiplas estratégias, aplicar um método eficiente e rever os dados e a razoabilidade do resultado obtido. Buys (2001), refere ainda que o aluno deve operar sobre os números e não sobre os dígitos. O cálculo mental é um cálculo pensado, envolvendo factos, propriedades dos números ou das operações e a sua relação.
Desenvolvimento do cálculo mental
A importância do desenvolvimento do cálculo mental nos alunos do 1.º ciclo é defendida por di- versos autores.
Para Buys (2001), o cálculo mental permite ao aluno calcular livremente, sem restrições, dando- -lhe a oportunidade de desenvolver novas estratégias de cálculo ou usar números de referência e estratégias que já desenvolveu. Como objetivo primordial o cálculo mental visa melhorar a prática das operações de adição e subtração, promovendo a operação com números cada vez maiores com rapidez e segurança (Carvalho, 2011).
Para aplicar o cálculo mental, o autor salienta alguns aspetos importantes a considerar. A exten- são das operações que se podem calcular mentalmente depende em grande parte do número de algarismos que cada aluno retém, quer numa só vez, quer em várias etapas. Assim, a memória é fundamental no cálculo mental, ora facilitando algumas operações pelo conhecimento de algarismos de referência, ora permitindo reter dados e diversos resultados parciais, de diferentes tentativas realizadas. A habilidade de calcular mentalmente não depende somente da memória de cada criança, mas também do modo como escolhe e aplica a estratégia operatória mais apropriada ao cálculo que se encontra a resolver (Taton, 1969).
A comunicação matemática influencia, de forma marcante, o processo de ensino e de aprendizagem desta área de conteúdo. Segundo Bivar, Grosso, Oliveira e Timóteo (2013) deve-se dar oportunidade e incentivar os alunos a, oralmente, expor as suas ideias, a explicar os seus raciocínios, a comentar as afirmações dos seus colegas e do professor e a colocar dúvidas.
Bourdenet (2007) defende ainda que, nos momentos de cálculo mental em sala de aula, comparam- -se procedimentos, reflete-se, pensa-se, conjetura-se, analisam-se os erros, desenvolve-se o sentido crítico e promove-se intenso debate, o que considera fundamental para o estabelecimento de cone- xões entre aprendizagens matemáticas.
O autor enfatiza a pertinência do debate do cálculo e do erro com toda a turma como forma de aprender, visto que o momento de correção, quando repetido com regularidade e contemplando diferentes procedimentos possíveis, promove uma aprendizagem mais sólida dos saberes e permite uma manutenção dos conhecimentos, em que cada noção pode ser regularmente revista e repensada. Algumas tarefas para trabalhar cálculo mental, essencialmente com números naturais, deverão en- volver contagens, cadeias de números, sequências de números ou jogos. São atividades que se re- alizam em pouco tempo, nas quais a comunicação matemática deve estar bastante presente, uma vez que a discussão de ideias é fundamental para a ampliação de conhecimentos sobre os números (Carvalho, 2011).
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Estratégias de cálculo mental com números naturais
É importante que os alunos tenham acesso a todos os tipos de ferramentas de cálculo e conhecimento sobre elas, pois assim poderão escolher qual a melhor opção para se chegar a um resultado esperado, dependendo da circunstância (Carvalho, 2011).
Ribeiro, Valério e Gomes (2009) argumentam que, embora o cálculo mental permita a utilização de estratégias pessoais, existe um conjunto de estratégias que devem ser ensinadas, discutidas e treinadas com aos alunos. Os autores indicam algumas estratégias de cálculo mental a utilizar com números naturais e para as operações de adição e subtração:
§ Decomposição de números: estratégia utilizada nas duas operações em que na adição e sub- tração se opera ordem a ordem, adicionando-se primeiro as dezenas e depois as unidades (35+15=50; 30+10=40; 5+5=10; 40+10=50);
§ Compensação: estratégia em que se adiciona ou se subtrai um número próximo. Ao resul- tado obtido subtrai-se o que se adicionou a mais ou adiciona-se o que se adicionou a menos (48+8=48+10-2=56);
§ Uso das propriedades das operações: estratégia que envolve o uso das propriedades comuta- tiva (10 + 5 = 15 e 5 + 10 = 15) e associativa [(10 + 3) + 2 = 10 (3 + 2)] na adição.
De acordo com Buys (2001 citado por Brocardo, Serrazina & Rocha, 2008, p. 107) “o cálculo mental assenta em três formas básicas de cálculo”:
§ Cálculo recorrendo à decomposição decimal, operando a partir das composições dos números; § Cálculo mental aplicando diversas estratégias, estruturando os números de diferentes for-
mas e efetuando as operações considerando a sua estrutura ou propriedades aritméticas; § Cálculo em linha, “em que os números são vistos como se estivessem colocados na recta nu-
mérica e as operações são movimentos ao longo da recta” (Buys, 2001 citado por Brocardo, Serrazina & Rocha, 2008, p. 107).
Para realizar cálculo em linha, os alunos podem recorrer a diversas estratégias, nomeadamente, a aproximação à dezena mais próxima, saltos de dez em dez, saltos com compensação, dobros e quase dobros. São estas estratégias que permitem a transição do cálculo por estruturação para o cálculo formal. Assim, na continuidade da utilização destas estratégias surgem outras ao nível mais formal quando os alunos compreendem as propriedades da adição (Equipa do Projecto Desenvolvendo o sentido do número: perspectivas e exigências curriculares, 2005).
O jogo e a matemática
Vários autores referem a influência e importância que a atividade lúdica tem no desenvolvimento da criança. Os jogos ocupam um lugar de destaque, uma vez que os alunos revelam um grande interesse pelos mesmos, sendo evidente a sua capacidade para os motivar para outras atividades menos apelativas. Segundo Rosa (2011), os jogos tornam-se cruciais no processo educativo se explorarem algo desa- fiante, se permitirem a autoavaliação e se estimularem a participação do aluno. Os jogos fomentam o desenvolvimento físico e mental da criança, sendo bastante prazerosos e despertando o seu interesse. Os jogos permitem ainda aos alunos o trabalho de forma independente e possibilitam ao professor oportunidades de observação e de avaliação. A utilização dos jogos no ensino da Matemática é assim um bom recurso, visto que estes são facilitadores da transmissão de conceitos e servem de motivação para os alunos, contribuindo eficazmente para o sucesso escolar (ibidem).
metodoLogiA
O estudo pressupôs uma investigação qualitativa de índole descritiva e interpretativa (Bogdan & Biklen, 1994), uma vez que o principal objetivo é descrever e analisar de que forma a implementação de tarefas de Educação e Expressão Físico-Motora permitiu que os alunos utilizassem diversas estra- tégias promotoras do cálculo mental na adição e evidenciassem as dificuldades sentidas.
Participaram neste estudo dezasseis crianças, com idades compreendidas entre os seis e os oito anos, sendo onze do género masculino e cinco do género feminino.
A recolha de dados foi feita através do registo videográfico da tarefa, ficando assim gravada a partilha das respostas dadas pelos alunos e o debate que surgiu aquando dessa partilha.
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Os dados foram analisados através da análise de conteúdo, tendo sido definidas, à posteriori, duas categorias, consoante as estratégias utilizadas pelos alunos na realização dos cálculos propostos, ten- do em conta a opinião de Buys (2001) e da Equipa do Projecto Desenvolvendo o sentido do número: perspectivas e exigências curriculares (2005):
§ Dobro: O aluno adiciona duas vezes a mesma quantidade para obter o valor definido; § Saltos de x em x: O aluno parte de um número e efetua saltos de x valor para chegar ao valor
pretendido.
A tarefa em análise consistiu na realização de um jogo no campo de jogos, com o intuito de interligar as áreas curriculares anteriormente designadas.
Depois de a turma estar reunida no exterior, foi sugerido aos alunos que se deslocassem de formas diversas, como por exemplo, a correr, a andar, a saltitar, a saltar a pé juntos, entre outras formas. Antes de se deslocarem, foram atribuídos diferentes valores aos rapazes e às raparigas. O objetivo do jogo era que, ao som de uma palma, os alunos se organizassem em grupos em que a soma dos dife- rentes elementos alcançasse o valor proposto, tendo em conta os valores anteriormente atribuídos. No decorrer do jogo, foram atribuídos novos valores aos rapazes e às raparigas e novos valores a serem alcançados, complexificando a tarefa. Tendo em conta a caracterização da turma, sendo uma turma do 1.º ano de escolaridade e apresentando dificuldades tanto a nível cognitivo como emocio- nal, nesta primeira tarefa, optámos por explorar números que promovessem o uso das estratégias dobro e saltos de x em x e que facilitassem o cálculo mental, de modo a envolver e estimular os alunos e a desafiá-los para as tarefas posteriores.
À medida que os alunos realizaram os agrupamentos, foi-lhes solicitado que explicassem como tinham pensado para chegar ao valor sugerido, permitindo a partilha de diferentes estratégias.
ApresentAção, AnáLise e discussão dos resuLtAdos
Na primeira proposta, pretendia-se que os grupos alcançassem o valor de oito unidades, valendo cada rapaz quatro e cada rapariga duas unidades. Ao som de uma palma, os alunos organizaram-se em quatro grupos com dois rapazes e um grupo constituído por duas raparigas e um rapaz. Quando sugerido que explicassem como tinham pensado, um rapaz do grupo justificou “Então cada menino vale quatro, quatro mais quatro é igual a oito.”. Através da justificação apresentada verifica-se que o aluno recorreu a estratégia do dobro, compreendendo que o número oito pode ser decomposto em duas vezes o quatro.
Relativamente ao outro grupo, uma aluna explicou que “Juntei-me ao A, mas só tínhamos seis, por isso precisávamos de mais dois. Então, quatro mais dois é igual a seis, mais uma rapariga e ficámos com oito.”. Pode-se constatar que o aluno utilizou a estratégia de saltos de dois em dois, uma vez que partindo do número quatro adicionou duas vezes o número dois, chegando ao número oito e demonstrando o seu conhecimento dos números pares.
Aos alunos que não conseguiram integrar nenhum grupo (dois rapazes e três raparigas) foi-lhes questionado se seria possível formar um novo grupo. De imediato, um dos rapazes sugeriu “Eu com o RB.”, aplicando a estratégia do dobro.
Uma das raparigas, ao perceber que não tinha sido incluída no grupo, sugeriu a formação de um novo agrupamento “Eu, a V, a L e o RB.”, mas rapidamente concluiu que ultrapassaria o valor pro- posto, corrigindo-se “Tirávamos uma das raparigas e ficavam duas raparigas e um rapaz.”.
Quando proposto agrupamentos cuja soma fosse dezasseis unidades, em que os rapazes valiam oito unidades e as raparigas quatro, os alunos formaram cinco grupos de dois rapazes, um grupo com um rapaz e duas raparigas e um grupo com três raparigas.
No decorrer da formação, um rapaz e uma rapariga, ao perceberem que não tinham alcançado o valor desejado, o rapaz propôs a outro rapaz e a outra rapariga que “O RB pode ser deste par com o RS e a C pode vir para nós, para ficarmos certos.”. Para chegar a esta conclusão, o aluno utilizou a estratégia do dobro, percebendo que ao juntar dois rapazes (oito valores cada) obteria o resultado pretendido e que ao juntar duas raparigas (quatro valores cada) obteria metade do valor definido, pelo que precisaria de mais um rapaz (oito mais oito).
Após formarem os agrupamentos, um grupo formado por dois rapazes justificou que “Oito mais oito é igual a dezasseis. Cada rapaz vale oito.”, recorrendo à estratégia do dobro.
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O grupo de duas raparigas e um rapaz disse que “Primeiro estávamos nós os dois e deu doze. Mas depois precisávamos de mais uma rapariga, doze mais quatro dá dezasseis. Então, oito mais quatro é igual a doze, mais quatro igual a dezasseis.”. Este grupo usou a estratégia de saltos de quatro em quatro, partindo do número oito e chegando ao número dezasseis através de dois saltos de quatro. Por fim, o grupo de três raparigas justificou que “Quatro mais quatro são oito, mais quatro dá doze.”, concluindo que não tinha alcançado a soma igual a dezasseis e que, para tal, precisavam de “Mais uma rapariga que desse quatro que era para nos dar dezasseis.”. Foi questionado ao grupo “Então se eu pusesse aí um rapaz, o que tinha que acontecer?”. Os alunos responderam que, ao colocar um rapaz, só poderiam integrar o grupo duas raparigas para obter dezasseis unidades.
Quando proposto agrupamentos cuja soma fosse sessenta unidades, formaram-se cinco grupos de diferentes composições.
Ao sugerir que explicassem como tinham pensado, o grupo constituído por quatro raparigas e um rapaz justificou que “Eu e a C valemos vinte, mais a V trinta, mais a L faz cinquenta.”. Ao ser questionada por- que tinha atribuído o valor de vinte unidades à aluna L, a aluno reformulou “(Tocando nas cabeças das raparigas) Dez, vinte, trinta e quarenta. Depois com ele dava sessenta. Ele tinha que sair e tínhamos que ter mais uma rapariga”. A aluna foi novamente questionada sobre que valor queria obter:
Professora: Qual era o valor do grupo?
Aluna M: A soma era sessenta. Ah espera, nós temos sessenta! Professora: Quanto valem as raparigas M?
Aluna M: Dez.
Professora: E os rapazes? Aluna M: Vinte.
Professora: Experimenta fazer outra vez!
Aluna M: 10, 20, 30, 40 … 60 (apontando para o rapaz).
A aluna utilizou a estratégia de saltos de dez em dez, partindo do número dez e chegando ao núme- ro quarenta, adicionando por último o valor do rapaz (vinte valores), chegando assim ao resultado pretendido.
Um grupo constituído por três rapazes foi questionado sobre a maneira que pensou para se organizar. Um dos alunos justificou que “Então vinte mais vinte mais vinte, igual a sessenta”. Pode constatar-se que o grupo realizou três saltos de vinte em vinte, obtendo o resultado de sessenta unidades. Sobraram dois grupos, um constituído por dois rapazes (A) e outro por dois rapazes e uma rapariga (B). Quando confrontados pelos restantes alunos da turma, o primeiro grupo referiu que “vinte mais vinte dá quarenta, falta-nos um rapaz.” Já o segundo grupo disse que para atingirem o valor junta- ram “vinte mais vinte igual a quarenta, depois cinquenta (apontando para a rapariga). Falta-nos uma menina.”. Os alunos são questionados sobre que alterações poderiam fazer.
Professora: Se for um menino deste grupo (A) para este grupo (B)? Fica correto? Aluno A: Não porque fica setenta.
Professora: Então mas podemos arranjar uma maneira de, pelo menos, um grupo correto. Como?
Aluno A: Eu ou o RS irmos para o outro grupo (A). Professora: Pode ir a rapariga?
Aluno A: Não porque a E só vale dez e assim fica cinquenta. Professora: Então quem é que vai para aquele grupo (A)? Aluno RN: Vou eu!
Através do diálogo é visível que o aluno percebe que se se juntar a um grupo de dois rapazes (qua- renta valores) irá chegar ao resultado pretendido, o que não aconteceria se fosse uma rapariga (dez valores), uma vez que só se obteria o valor de cinquenta unidades.
Analisando as observações realizadas, verificámos que os rapazes foram mais dinâmicos e mais rá- pidos a formar os grupos, sendo que, geralmente, os alunos que não conseguiram agrupar-se eram, maioritariamente, raparigas. Parece-nos que esta regularidade deveu-se ao facto de, primeiramente, a turma ser heterogénea quanto ao género, estando os rapazes em maioria. Por outro lado, os alunos, ao formarem os grupos, procuraram agrupar-se com os seus pares mais próximos, indo ao encontro da tendência de, maioritariamente, não haver grupos formados pelos dois géneros.
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Constatámos ainda que os alunos que não se agruparam não conseguiram compreender autonoma- mente que, em muitas situações, havia a possibilidade de formar mais um grupo.
considerAções finAis
Esta comunicação teve como objetivo apresentar os resultados de uma tarefa inserida num estudo que pretendeu analisar de que modo jogos de Educação e Expressão Físico-Motora facilitam o desen- volvimento do cálculo mental em alunos de 1.º ano do 1.º Ciclo do Ensino Básico.
A turma envolvida apresentava, no início do 3.º período, dificuldades visíveis ao nível do cálculo mental e no envolvimento em tarefas que exigissem alguma passividade física. No nosso ponto de vista, o facto de a tarefa ter sido implementada através do jogo foi essencial para motivar os alunos, refletindo-se no seu envolvimento e participação no decorrer da atividade.
Os resultados obtidos mostram que a estratégia utilizada, ao conjugar as duas áreas curriculares,