Nosso objetivo n e os participantes, dentro
a sua equipe, retomassem todas as leituras e traçassem um paralelo entre elas.
Alguns professores se eximiram de emitir sua opiniões, somente ão dos demais.
se simplesmente modificarem a maneira como apresentam uma questão, podem ob
a alunos do 3º ano do nsino Médio. “Verifique se, num triângulo retângulo, a mediana relativa à ipotenusa tem por medida a metade da medida da hipotenusa”.
Quatro alunos, João, Paulo, Renata e Flávia resolveram o problema de uatro maneiras diferentes. Comentar as quatro resoluções destacando os tipos de gistros (tratamentos e conversões), se houve mudança de quadro e possíveis
gundo os níveis de Parsysz (G0, G1 u G2) e preencher eventuais lacunas deixadas pelo aluno.
s vértices d
ixo. Em seguida, calculou as coordenadas (xM , yM) do ponto m
e os pontos B e C encontrando
esse encontro era fazer com qu d
Essa atividade, como visto nas interações anteriores, suscitou dúvidas com relação à sua resolução.
acompanhando a discuss
Nossa intenção era provocar nos professores um certo desconforto com relação às atividades produzidas por eles em suas salas de aula. Muitos puderam notar que
ter respostas variadas e até surpreendentes por parte de seus alunos. A atividade proposta aos participantes era a seguinte:
Um professor propôs a seguinte tarefa de casa E
h
q re
reconfigurações. Classificar as estratégias se o
1) João criou um sistema de coordenadas no seu caderno. Nomeou o o triângulo retângulo de A (0,0), B (0, a) e C (b,0) e desenhou uma figura representada pelo desenho aba
édio M da hipotenusa obtendo (b/2, a/2). Finalmente, calculou a distância entre os pontos A e M e entr
d(A,M)= 2 2 a 2 2 b ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 2 2 2 a 2b + 2 = 2 2 2 b +a e d (B,C)= 2 2 b +a .
Figura 3.47 – Figura do enunciado.
A resposta dada e o comentário feito pelos professores A, B e D para essa questão fo
Parsysz.
utilizou o para descobrir o ponto médio
e a distância entre A e M.
Observamos que nenhum dos participantes apontou que para a resolução da questão houve uma mudança do quadro geométrico para o quadro das coordenadas cartesianas.
A segunda parte da questão era:
2) Paulo construiu um triângulo retângulo ABC e a sua respectiva mediana
AM, utiliza gmentos
AM e BC e concluiu que a afirmação era verdadeira. Em seguida, desenhou no seu caderno a figura representada pelo desenho abaixo.
i:
“Ele fez a demonstração utilizando os conhecimentos de Geometria Analítica (propriedade evidente), recorreu à geometria plana e à álgebra para a resolução.Logo d (A, M) = ½ d (B, C)”.
Para o grupo, a resposta do aluno João se enquadrava no nível G2 de
Para o professor E, o aluno João usou geometria analítica. Ele (João) a conversão do modo gráfico para o simbólic
ndo o software Cabri. Mediu com a ferramenta “distância” os se
Tentou várias vezes estabelecer a relação “olhando” para a figura e nada conseguiu.
Então, considerou o ponto médio P do segmento AC e traçou o segmento
PM confo do” o desenho que PM é perpendicular
a AC. Co
rme figura abaixo. Observou “olhan
nsiderou os triângulos CPM e APM e afirmou que são congruentes pelo caso LAL concluindo, dessa forma, que AM = MC.
Figura 3.49 – Figura do enunciado.
Ao que os profes
“Ele fez a demonstração perceptiva por meio do software Cabri Géomètre,
como AM = x/2 e então AM = BC/2.
ara o grupo, a resposta do aluno Paulo se enquadrava no nível G1 de Parsysz.
idade houve uma transição do nível
ngruentes, seus lados têm as mesmas
medidas. O que ele preciso i achar o ângulo reto nos
dois triângulos que, no caso, é o que está no ponto P. O professor não classificou o nível em q
A terceira parte da questão era:
sores A, B e D responderam:
mas não explicitou sua conclusão. Poderia dizer: considerando BC = x,
Também utilizou alguns conhecimentos de congruência de triângulos. Há lacunas em sua conclusão e raciocínio, pois deveria provar sua observação de que um segmento é perpendicular a outro, para recorrer ao caso LAL de congruência de triângulos e concluir sua demonstração de forma satisfatória “.
P
Observamos que nessa parte da ativ G1 de Parsysz para o nível G2.
Para o professor E, o aluno Paulo fez uma demonstração correta AM = MC, porque se os triângulos são co
u para identificar essa medida fo
3) Ren da hipotenusa d dos catetos AB e
ata desenhou um triângulo retângulo ABC e indicou o ponto médio e M. A seguir, traçou a altura AH do triângulo e indicou as medidas
AC e da hipotenusa BC respectivamente por c, b e a.
Figura 3.50 – Figura do enunciado.
A seguir, usou a relação métrica num triângulo retângulo que diz que
b.c = a.h, no qual h é a medida da altura AH. Donde co
ncluiu que AH = bc
a . Aplicou o teorema de Pitágoras no triângulo ABH da seguinte maneira: c² = BH² + AH². Logo
BH² = c² - AH² = 2 2 2 2 b c c a − = 2 2 2 2 2 c a b c a − =
(
)
2 2 2 2 c a b a − = 2 2 2 c c a = 4 2 c a . Donde BH = 2 ca . Depois calculou a medida do segmento HM fazendo
HM = BM – BH = 2 2 a c a − . Finalmente, aplicou o t AM² = AH² + HM² =
eorema de Pitágoras no triângulo AHM,
2 2 2 b c a + 2 2 2 a c a ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 2 2 2 b c + a 2 2 4 2 2 4 2 a ac c a a − + = 2 4 a . Donde AM = 2 a .
Pitágoras (propriedade evidente) para concluir a dem está
O professor E não teceu comentários, apenas disse a resolução pode ser classificada como G2.
Ao que os professores A, B e D responderam:
“Ela fez a demonstração a partir da figura e utilizou o Teorema de
coerente”.
Para o grupo, a resposta da aluna Renata se enquadra no nível G2.
onstração e
A quarta e última parte da questão era:
4) Flávia juntou dois esquadros de ângulos de 30º e 60º e obteve um nais de um retângulo se encontram nos respectivos pontos iu que a propriedade era verdadeira. A seguir, utilizando Cabri, rotacio
retângulo. Como as diago médios, conclu
nou de 180º (simetria central) o triângulo retângulo ABC em torno do ponto médio M da hipotenusa obtendo a figura representada pelo desenho abaixo:
Figura 3.51 – Figura do enunciado. Professor E.
A partir da figura acima, concluiu que, no quadrilátero ABA’C, o ângulo oposto ao ângulo A é reto, pois que a rotação preserva as medidas dos ângulos e que os outros dois ângulos formados pelo
meio da utilização de esquadros provou nada, somente fez verificações. seu raciocínio lógico e sua validação é só
”.
sa parte da atividade houve uma mudança do quadro
O comentá
”Pode se dizer que esse exercício foi respondido de maneira
quadrilátero são retos, posto que os ângulos C e B do triângulo retângulo são complementares. O ponto A’, sendo simétrico de A em relação ao centro M, é alinhado com A e M e A’M = AM. Utilizando o fato que as diagonais de um retângulo se encontram nos respectivos pontos médios concluiu que AM é a metade de BC.
Ao que os professores A, B e D responderam:
“Ela fez a demonstração por (material concreto). Não Há lacunas em
perceptiva e nada dedutiva
Para o grupo, a resposta da aluna Flávia se enquadra no nível G0. Observamos que nes
geométrico para o quadro das transformações geométricas. rio que o professor E fez, foi o seguinte:
prática. O que a aluna fez foi testar, de maneira prática, a teoria, depois passar para a teórica. Pode ser classificado como G0”.
A professora C não depositou suas respostas no fórum.
Síntese do 5º encontro
Esta atividade foi realizada em diferentes momentos pelos participantes. os professores a tentarem responder baseados na
configurou uma surpresa Normalmente
nossas respostas. Para e nha que adotar o ponto de vista
da person as.
espostas.
sões foram postadas após vários debates.