K OMPETANSE – HVA ER DET ?

Defini¸c˜ao 5.1.1. Um subconjunto N de um espa¸co topol´ogico X ´e dito raro se int( ¯N) = ∅. Caso contr´ario, N ´e dito abundante. A cole¸c˜ao de todos os subconjuntos raros de um espa¸co topol´ogico X ser´a denotada por N (X).

Defini¸c˜ao 5.1.2. Um espa¸co topol´ogico X ´e dito NODEC se todo subconjunto raro de X for fechado em X.

Proposi¸c˜ao 5.1.3. Um espa¸co topol´ogico X ´e submaximal se, e somente se, ´e OHI e NODEC.

Demonstra¸c˜ao. Seja X um espa¸co topol´ogico submaximal. Mostremos, primeiramente, que X ´e OHI. Com efeito, seja D um subconjunto denso qualquer de X. Da submaximalidade de X, segue que D ´e aberto em X e, portanto, int(D) = D ´e denso em X. Do teorema 3.1.2 decorre que X ´e OHI. Mostremos, agora, que X ´e NODEC. Para tanto, seja N um subconjunto raro qualquer de X. Provemos que N ´e fechado em X ou, equivalentemente, que X \ N ´e aberto em X. Afirmamos que X \ N ´e um subconjunto denso de X. De fato, se U ´e um aberto n˜ao vazio de X temos que U 6⊂ ¯N e, portanto, U 6⊂ N . Desta forma, U ∩ (X \ N ) 6= ∅. Utilizando novamente a submaximalidade de X, conclu´ımos que X \ N ´e aberto em X, o que encerra a demonstra¸c˜ao de que X ´e NODEC. Reciprocamente, seja X um espa¸co topol´ogico OHI e NODEC. Afirmamos que X ´e submaximal. De fato, seja D um subconjunto denso qualquer de X. Queremos mostrar que D ´e aberto em X (ou seja, que X \ D ´e fechado em X). Como X ´e NODEC, basta provar que X \ D ´e um subconjunto raro de X. Uma vez que X ´e OHI, do teorema 3.1.2 segue que int(D) ´e denso em X. Logo, X \ int(D) ´e um subconjunto fechado de X com

interior vazio. Como X \ D ⊂ X \ int(D), segue que (X \ D) ⊂ [X \ int(D)] e, portanto, int[(X \ D)] ⊂ int[(X \ int(D))] = ∅. Da´ı, conclu´ımos que X \ D ´e um subconjunto raro de X, o que encerra a demonstra¸c˜ao de que X ´e submaximal.

Lema 5.1.4. Seja X um espa¸co topol´ogico. Se todo subconjunto abundante de X cont´em um aberto n˜ao vazio de X, ent˜ao todo subconjunto denso de X tem interior denso em X. Demonstra¸c˜ao. Seja D um subconjunto denso de X. Suponhamos, por absurdo, que int(D) n˜ao seja denso em X. Existe, portanto, um aberto n˜ao vazio U de X tal que int(D) ∩ U = ∅. Como D ´e denso em X, segue que U ∩ D = ¯U e, portanto, int(U ∩ D) = int( ¯U) ⊃ U 6= ∅. Logo, U ∩ D ´e um subconjunto abundante de X. Por hip´otese, existe V um aberto n˜ao vazio de X tal que V ⊂ U ∩ D. Portanto, V ⊂ D e V ⊂ U . Como V ´e aberto em X, segue que V ⊂ int(D) e, portanto, ∅ 6= V ⊂ int(D) ∩ U , uma contradi¸c˜ao. Logo, int(D) ´e denso em X.

Exibiremos, a seguir, o resultado mais importante desta se¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao que apresentamos para o teorema 5.1.5 ´e in´edita e foi obtida atrav´es da adapta¸c˜ao de t´ecnicas introduzidas em [12].

Teorema 5.1.5. O cubo de Cantor 2c

possui um subespa¸co enumer´avel, denso e submaximal.

Demonstra¸c˜ao. Do teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery, segue que 2c

cont´em um subespa¸co denso e enumer´avel, o qual ser´a denotado por Y . Notemos que todo subconjunto

denso de 2c

´e, na verdade, ω-denso no cubo de Cantor em quest˜ao, j´a que 2c

´e um espa¸co topol´ogico T1 e todo aberto n˜ao vazio de 2c´e infinito.

Seja {fi}i<ω uma enumera¸c˜ao do conjunto Y . Por indu¸c˜ao transfinita em ν < c

construiremos, a partir de Y , um subespa¸co enumer´avel e denso do cubo de Cantor 2c

que ser´a, tamb´em, OHI e NODEC (e, portanto, submaximal).

Consideremos c = I0∪I′uma parti¸c˜ao de c, com |I0| = ω e |I′| = c. Particionemos, agora,

I0 em uma cole¸c˜ao de subconjuntos enumer´aveis e n˜ao vazios JA,α, para todo A ∈ [Y ]<ω e

todo α ∈ Y \ A. Note que ´e poss´ıvel obter uma tal parti¸c˜ao, uma vez que |[Y ]<ω_{| = ω.}

Por indu¸c˜ao transfinita em ν < c, definiremos

• Fun¸c˜oes parciais finitas ην ∈ Fn(c, 2) e subconjuntos

Kν ⊂ I′\ [ [ ζ<ν Kζ ∪ [ {domηζ : ζ < ν}] de modo que Kν = ∅ ou |Kν| = ω.

Note que isto ´e poss´ıvel, uma vez que |I′_{| = c, |K}

ζ| ≤ ω e |domηζ| < ω, para todo

ζ < ν < c.

• Subespa¸cos Yν = {fiν}i<ω enumer´aveis e densos no cubo de Cantor 2c, verificando a

seguinte propriedade: se ζ ´e um ordinal menor do que ν, ent˜ao f_iν ↾_{(c\Iν)∪Iζ}= f_iζ ↾_{(c\Iν)∪Iζ}

para todo i < ω, onde

Iα := I0∪ (∪β<αKβ)

ν = 0

Seja Y0 := {fi0}i<ω, onde fi0(ξ) := fi(ξ), se ξ ∈ c\I0. Se ξ ∈ I0, existem ´unicos A ∈ [Y ]<ω

e α ∈ Y \ A tais que ξ ∈ JA,α. Neste caso, fa¸camos

f_i0(ξ) :=          0 se fi 6= α e (fi(ξ) = 0 ou fi ∈ A) 1 se fi = α ou (fi(ξ) = 1 e fi 6∈ A)

Afirma¸c˜ao 1. Y0 ´e denso no cubo de Cantor 2c.

Um aberto b´asico do cubo de Cantor 2c

´e da forma Ω(p) =Y ζ<c Aζ onde p ∈ Fn(c, 2) e Aζ :=          {p(ζ)} se ζ ∈ domp 2 se ζ 6∈ domp Seja Ω(p) um aberto b´asico de 2c

. Como Y ´e denso no cubo de Cantor 2c

, segue que |Y ∩ Ω(p)| = ω. Seja {fi}i∈I⊂ω uma enumera¸c˜ao do conjunto Y ∩ Ω(p).

Consideremos {f0

i}i∈I ⊂ Y0. Afirmamos que |{fi0}i∈I| = ω. De fato, se |{fi0}i∈I| < ω,

existiriam i, j ∈ I, com i 6= j, tais que f0

i = fj0. Desta forma, teremos que fi = fj pois, do

contr´ario, seria poss´ıvel considerar A = {fi} e α = fj, resultando que fi0(ξ) = 0 e fj0(ξ) = 1,

para todo ξ ∈ JA,α, o que ´e absurdo, uma vez que fi0 = fj0. Todavia, isto contradiz o fato

Se domp ⊂ c \ I0, temos que {fi0}i∈I ⊂ Y0∩ Ω(p), pois fi0(ξ) = fi(ξ) = p(ξ), para todo

ξ∈ domp. Portanto, ω = |{f0

i}i∈I| ≤ |Y0∩ Ω(p)| ≤ ω, de onde segue que |Y0∩ Ω(p)| = ω.

Se domp 6⊂ c \ I0, consideremos

[

{A ∪ {α} ⊂ Y : JA,α∩ domp 6= ∅}.

Este ´e um conjunto finito e n˜ao vazio, j´a que {JA,α : A ∈ [Y ]<ω, α ∈ Y \ A} constitui

uma parti¸c˜ao de I0, |domp| < ω e |A| < ω. Seja {fi}i∈J⊂ω uma indexa¸c˜ao do conjunto em

quest˜ao.

Consideremos {f0

i}i∈J ⊂ Y0. Claramente, |{fi0}i∈J| < ω. Mostremos que {fi0}i∈I \

{f0

i}i∈J ⊂ Y0∩ Ω(p).

Para tanto, seja f0

i ∈ {fi0}i∈I \ {fi0}i∈J, qualquer. Se ξ ∈ domp ∩ (c \ I0), ent˜ao

f0

i(ξ) = fi(ξ) = p(ξ). Se ξ ∈ domp ∩ I0, ent˜ao existem ´unicos A ∈ [Y ]<ω e α ∈ Y \ A

tais que ξ ∈ JA,α. Como fi0 6∈ {fi0}i∈J (isto ´e, i 6∈ J), temos que fi 6∈ A ∪ {α} e, portanto,

f0

i(ξ) = fi(ξ) = p(ξ).

Logo, f0

i ∈ Y0∩ Ω(p).

Assim, temos que {f0

i}i∈I \ {fi0}i∈J ⊂ Y0∩ Ω(p). Como |{fi0}i∈I| = ω e |{fi0}i∈J| < ω,

segue que ω = |{f0

i}i∈I\ {fi0}i∈J| ≤ |Y0 ∩ Ω(p)| ≤ ω.

Portanto, |Y0∩ Ω(p)| = ω.

Afirma¸c˜ao 2. |Y0| = ω.

Como Y0 = {fi0}i<ω, temos que |Y0| ≤ ω. Da afirma¸c˜ao 1 segue que |Y0| ≥ ω. Logo,

|Y0| = ω.

ν ordinal limite

f_iν(ξ) :=                      fi(ξ) se ξ ∈ c \ Iν f_i0(ξ) se ξ ∈ I0

f_iζ+(ξ) se ξ ∈ ∪ζ<νKζ onde ζ ´e o ´unico ordinal tal que ξ ∈ Kζ

Note que c = (c \ Iν) ∪ I0∪ (∪ζ<νKζ).

Como as hip´oteses de indu¸c˜ao s˜ao v´alidas para todo ζ < ν, conclu´ımos que f_iζ(ξ) = f0 i(ξ),

para todo ξ ∈ (c \ Iν) ∪ I0 (pois, se ζ < ν, ent˜ao Iζ ⊂ Iν e, portanto, c \ Iζ ⊃ c \ Iν).

No caso em que ξ ∈ (c\Iν), temos que fi0(ξ) = fi(ξ), j´a que I0 ⊂ Iν. Logo, fiν(ξ) = fi0(ξ),

para todo ξ ∈ (c \ Iν) ∪ I0 e, portanto, fiν(ξ) = f ζ

i(ξ), para todo ξ ∈ (c \ Iν) ∪ I0, onde ζ < ν

´e ordinal.

Afirma¸c˜ao 3. Yν ´e denso no cubo de Cantor 2c.

Seja Ω(p) um aberto b´asico de 2c

. Temos, por hip´otese de indu¸c˜ao, que |Yζ∩ Ω(p)| = ω,

para todo ordinal ζ < ν. Mostremos que |Yν ∩ Ω(p)| = ω.

Caso 1: domp ⊂ [(c \ Iν) ∪ I0]

Sabemos que |Y0∩ Ω(p)| = ω. Seja {fi0}i∈I⊂ω uma enumera¸c˜ao do conjunto Y0∩ Ω(p).

Consideremos {fν

i }i∈I ⊂ Yν. Neste caso, fiν(ξ) = fi0(ξ) = p(ξ), para todo ξ ∈ domp e

para todo i ∈ I. Portanto, {fν

i }i∈I ⊂ Yν ∩ Ω(p). A fim de demonstrar que |{fiν}i∈I| = ω,

utilizaremos o lema 4 enunciado abaixo.

Demonstra¸c˜ao. De fato, como f0

i 6= fj0, temos que fi 6= fj. Assim, fa¸camos A = {fi}

e α = fj. Escolhemos ξ ∈ JA,α ⊂ I0. Como fj = α, segue que fj0(ξ) = 1. Como fi 6= α e

fi ∈ A, segue que fi0(ξ) = 0.

 Suponhamos, por absurdo, que |{fν

i }i∈I| < ω. Ent˜ao, existem i, j ∈ I, com i 6= j, tais

que fν

i = fjν. Em particular, fiν(ξ) = fjν(ξ), para todo ξ ∈ I0. Mas, se ξ ∈ I0, ent˜ao

fiν(ξ) = fi0(ξ) e fjν(ξ) = fj0(ξ). Da´ı, segue que fi0(ξ) = fj0(ξ), para todo ξ ∈ I0. Do lema

acima, vem que f0

i = fj0, o que ´e absurdo, pois {fi0}i∈I⊂ω ´e uma enumera¸c˜ao de Y0∩ Ω(p).

Logo, ω = |{fν i }i∈I| ≤ |Yν ∩ Ω(p)| ≤ ω e, portanto, |Yν∩ Ω(p)| = ω. Caso 2: domp 6⊂ [(c \ Iν) ∪ I0] Seja ζ0 := max{ζ < ν : domp ∩ Kζ 6= ∅} < ν ´

E f´acil ver que o conjunto acima descrito ´e finito e n˜ao vazio. Como ν ´e ordinal limite, temos que ζ₀+ < ν. Al´em disso, sabemos que |Y_ζ+

0 ∩ Ω(p)| = ω.

Seja {fζ0+

i }i∈I⊂ω uma enumera¸c˜ao do conjunto Yζ₀+ ∩ Ω(p). Considere {f ν

i }i∈I ⊂ Yν.

Como ζ₀+< ν temos, por hip´otese de indu¸c˜ao, que

fζ0+

i ↾I_ζ+= fζ

+

i ↾I_ζ+

para todo ordinal ζ < ν tal que domp ∩ Kζ 6= ∅, qualquer que seja i ∈ I.

Se ξ ∈ domp ∩ [(c \ Iν) ∪ I0], ent˜ao fiν(ξ) = f ζ₀+

i (ξ) = p(ξ), para todo i ∈ I.

Se ξ ∈ domp ∩ (Iν \ I0) = domp ∩ (∪ζ<νKζ), ent˜ao fiν(ξ) = f ζ+

i (ξ) = f ζ₀+

i (ξ), j´a que

Iζ+ ⊃ K_ζ, para todo i ∈ I. Em particular, teremos que

{fν

Por um argumento an´alogo ao utilizado no caso anterior, conclu´ımos que |Yν∩Ω(p)| = ω.

Afirma¸c˜ao 5. |Yν| = ω.

Como Yν = {fiν}i<ω, temos que |Yν| ≤ ω. Da afirma¸c˜ao 3, segue que |Yν| ≥ ω. Logo,

|Yν| = ω.

Afirma¸c˜ao 6. Para todo ordinal ζ < ν, temos que f_iν ↾_{(c\Iν)∪Iζ}= f_iζ ↾_{(c\Iν)∪Iζ} para todo i < ω.

Com efeito, fixemos i < ω, qualquer.

Fixemos, tamb´em, um ordinal ζ < ν arbitr´ario. Sabemos que se ξ ∈ [(c \ Iν) ∪ I0], ent˜ao fiν(ξ) = f

ζ i(ξ).

Se ξ ∈ Iζ \ I0 = ∪µ<ζKµ, ent˜ao existe um ´unico µ < ζ tal que ξ ∈ Kµ. Temos, por

defini¸c˜ao de Yν, que fiν(ξ) = f µ+

i (ξ). Como Kµ ⊂ Iµ+, segue que ξ ∈ I_µ+. Note que

µ+ _{≤ ζ < ν e, portanto, por hip´otese de indu¸c˜ao, conclu´ımos que f}ζ

i(ξ) = f µ+ i (ξ). Logo, fν i(ξ) = f ζ i(ξ). Assim, f_iν ↾(c\Iν)∪Iζ= f ζ i ↾(c\Iν)∪Iζ . ν+ 1 Seja F = {F0

ν : ν < c} uma indexa¸c˜ao dos subconjuntos de Y0 que tˆem cardinalidade ω.

Para cada ν < c, seja

Jν = {j < ω : fj0 ∈ F 0 ν e f 0 j 6= f 0

i para todo i < j tal que f 0

i ∈ F

0 ν}

e consideremos {f0

j}j∈Jν⊂ω uma enumera¸c˜ao do conjunto F

0 ν.

Definamos, para cada ν < c, Fν = {fjν}j∈Jν ⊂ Yν.

Caso 1: Fν ⊃ Ω(p) ∩ Yν, para algum aberto b´asico (n˜ao vazio) Ω(p) de 2 c

Neste caso, escolhamos alguma p ∈ Fn(c, 2) tal que Fν ⊃ Ω(p) ∩ Yν e definamos ην := p.

Definamos, tamb´em, Kν = ∅.

Fa¸camos Yν+1 := {fiν+1}i<ω, onde fiν+1 := fiν, para todo i < ω.

Temos, portanto, que Yν+1 = Yν e, desta maneira, todas as hip´oteses da indu¸c˜ao

transfinita em quest˜ao est˜ao trivialmente satisfeitas.

Caso 2: Ω(p) ∩ Yν 6⊂ Fν, para todo aberto b´asico (n˜ao vazio) Ω(p) de 2c

Neste caso, tomemos ην = ∅ e escolhamos

Kν ⊂ I′\ [ [ ζ<ν Kζ ∪ [ {domηζ : ζ < ν}]

tal que |Kν| = ω. Seja {ξj : j < ω} uma enumera¸c˜ao de Kν.

Definamos Yν+1 := {fiν+1}i<ω, onde

f_iν+1(ξ) :=                      fi(ξ) se ξ ∈ c \ Iν+1 fi0(ξ) se ξ ∈ I0 fν i (ξ) se ξ ∈ ∪ζ<νKζ

Como c = (c \ Iν+1) ∪ I0∪ (∪ζ<νKζ) ∪ Kν, resta apenas definir o valor de fiν+1 nos pontos

de Kν, para cada i ∈ ω.

f_iν+1(ξj) :=                      fν i (ξj) se fiν = fjν fν i (ξj) se fiν 6= fjν e fiν 6∈ Fν 1 − fν j(ξj) se fiν 6= fjν e fiν ∈ Fν

Sabemos que se ξ ∈ (c \ Iν+1) ∪ I0, ent˜ao fiν+1(ξ) = fi0(ξ), uma vez que se ξ ∈ c \ Iν+1,

ent˜ao fi(ξ) = fi0(ξ) (pois I0 ⊂ Iν+1).

Como as hip´oteses de indu¸c˜ao valem para ν, temos que

f_iν ↾_(c\Iν)∪I0= f_i0 ↾_(c\Iν)∪I0 . Logo, se ξ ∈ c \ Kν, ent˜ao fiν+1(ξ) = fiν(ξ).

Afirma¸c˜ao 7. Yν+1 ´e denso no cubo de Cantor 2c.

Suponhamos, por absurdo, que exista Ω(p) um aberto b´asico (n˜ao vazio) de 2c

tal que |Yν+1∩ Ω(p)| < ω. Seja {fiν+1}i∈I⊂ω uma indexa¸c˜ao do conjunto Yν+1∩ Ω(p).

Afirmamos que existe ξ∗ _{∈ I}

0\ domp tal que fiν+1(ξ∗) = 0, para todo i ∈ I. Com efeito,

consideremos {fi}i∈I ⊂ Y . Claramente, |{fi}i∈I| < ω. Desta maneira, fa¸camos A = {fi}i∈I.

Tomando α ∈ Y \ A qualquer, segue que, para todo ξ ∈ JA,α ⊂ Y0, teremos que fi0(ξ) = 0,

para todo i ∈ I. Como {α ∈ Y \ A : domp ∩ JA,α 6= ∅} ´e finito, para obter ξ∗ ∈ I0 \ domp

tal que f0

i(ξ∗) = 0, para todo i ∈ I, basta escolher α ∈ Y \ A tal que domp ∩ JA,α = ∅, o

que ´e poss´ıvel, j´a que |Y \ A| = ω. Como fiν+1 ↾I0= f

0

i ↾I0, segue a tese.

Seja q ∈ Fn(c, 2) tal que domq = domp ∪ {ξ∗_{}, q ↾}

domp= p e q(ξ∗) = 1.

Afirmamos que Yν+1 ⊃ Yν \ Fν. De fato, seja fiν ∈ Yν \ Fν, para algum i < ω, qualquer.

Sabemos que fiν+1(ξ) = fiν(ξ), para todo ξ ∈ c \ Kν. Se ξj ∈ Kν, ent˜ao fiν+1(ξj) = fiν(ξj),

j´a que fν

i 6∈ Fν. Logo, fiν = fiν+1 ∈ Yν+1.

Desta forma, Yν+1 ⊃ Yν \ Fν e, em particular, temos que

Yν+1∩ Ω(q) ⊃ [Yν ∩ Ω(q)] \ Fν 6= ∅

o que ´e absurdo, posto que Yν+1∩ Ω(q) = ∅.

Logo, |Yν+1∩ Ω(p)| ≥ ω.

Como Yν+1 = {fiν+1}i<ω, segue que |Yν+1| ≤ ω.

Portanto, |Yν+1∩ Ω(p)| = ω.

Afirma¸c˜ao 8. |Yν+1| = ω.

Como Yν+1 = {fiν+1}i<ω, temos que |Yν+1| ≤ ω.

Da afirma¸c˜ao 7 segue que |Yν+1| ≥ ω.

Logo, |Yν+1| = ω.

Afirma¸c˜ao 9. Para todo ordinal ζ < ν + 1, temos que fiν+1 ↾(c\Iν+1)∪Iζ= f

ζ

i ↾(c\Iν+1)∪Iζ

para todo i < ω.

Seja ζ < ν + 1 um ordinal qualquer. Como Kν ⊂ Iν+1 e Kν ∩ Iζ = ∅, temos que se

ξ ∈ (c \ Iν+1) ∪ Iζ, ent˜ao fiν+1(ξ) = fiν(ξ). Como as hip´oteses de indu¸c˜ao valem para ν,

segue que fν i (ξ) = f ζ i(ξ), para todo ξ ∈ (c \ Iν+1) ∪ Iζ. Logo fiν+1(ξ) = f ζ i (ξ), para todo ξ ∈ (c \ Iν+1) ∪ Iζ. Seja Z = Yc:= {f c i}i<ω, onde

fc i(ξ) :=                      fi(ξ) se ξ ∈ c \ Ic f_i0(ξ) se ξ ∈ I0

f_iζ+(ξ) se ξ ∈ ∪ζ<cKζ onde ζ ´e o ´unico ordinal tal que ξ ∈ Kζ

e

Ic:= I0∪ (∪ζ<cKζ).

Por um argumento an´alogo ao utilizado no passo limite da indu¸c˜ao transfinita, conclu´ımos que Z ´e um subespa¸co enumer´avel e denso do cubo de Cantor 2c

tal que se ζ < c, ent˜ao

f

c i

↾

(c\Ic)∪Iζ

= f

ζ i

↾

(c\Ic)∪Iζ para todo i < ω.

Al´em disso, observamos que todo aberto n˜ao vazio de Z cont´em um conjunto da forma Z ∩ Ω(p), para alguma p ∈ Fn(c, 2). Como Z ´e denso em 2c

, segue que |Z ∩ Ω(p)| = ω e, portanto, todo aberto n˜ao vazio de Z cont´em, pelo menos, ω pontos distintos (em outras palavras, ∆(Z) = ω).

Afirma¸c˜ao I. Todo subconjunto finito de Z ´e raro. Com efeito, como 2c

´e um espa¸co topol´ogico T1, segue que Z tamb´em o ´e e, portanto,

de todo subconjunto finito de Z tem interior vazio em Z e, portanto, todo subconjunto finito de Z ´e raro.

Afirma¸c˜ao II. Z ´e NODEC.

Seja F um subconjunto raro de Z. Mostremos que F ´e fechado em Z. J´a sabemos que se F ´e finito, ent˜ao F ´e fechado em Z. Portanto, basta considerar o caso em que |F | = ω.

Seja {fc

i}i∈I⊂ω uma enumera¸c˜ao do conjunto F .

Consideremos {f0

i}i∈I ⊂ Y0. Temos que, se i, j ∈ I e i 6= j, ent˜ao fi0 6= fj0 (pois, do

contr´ario, ter´ıamos que fc i = f

c

j, o que ´e absurdo, uma vez que {f c

i}i∈I ´e uma enumera¸c˜ao

de F ). Em particular, segue que |{f0

i}i∈I| = ω.

Como F ´e a cole¸c˜ao dos subconjuntos de Y0 de cardinalidade ω, conclu´ımos que

{f0

i}i∈I ∈ F e, portanto, existe ν < c tal que Fν0 = {fi0}i∈I.

Consideremos Fν = {fiν}i∈I ⊂ Yν.

Se Fν ⊃ Yν ∩ Ω(p), para alguma p ∈ Fn(c, 2), podemos assumir que Fν ⊃ Yν ∩ Ω(ην).

Afirmamos que F ⊃ Z ∩ Ω(ην).

Com efeito, seja fc

i ∈ Z ∩ Ω(ην) qualquer, onde i < ω. Sabemos que fiν ∈ Yν. Temos

tamb´em que se ξ ∈ domην, ent˜ao ξ 6∈ Kµ, para todo µ > ν. Lembremos tamb´em que,

neste passo da indu¸c˜ao transfinita, fizemos Kν = ∅ e, portanto, ξ 6∈ Kν. Logo, temos que

ξ ∈ (c \ ∪ν≤µ<cKµ) = (c \ Ic) ∪ Iν e, portanto, segue que f c

i(ξ) = fiν(ξ). Assim, como

fc

i ∈ Ω(ην), temos que se ξ ∈ domην, ent˜ao fic(ξ) = ην(ξ). Logo, fiν(ξ) = ην(ξ), de onde se

conclui que fν

i ∈ Ω(ην). Como Yν ∩ Ω(ην) ⊂ Fν, segue que fiν ∈ Fν = {fiν}i∈I e, portanto,

fc i ∈ F .

Deste modo, ¯F ⊃ Z ∩ Ω(ην) = Ω(ην) ⊃ Ω(ην) 6= ∅, o que ´e absurdo, pois F ´e um

subconjunto raro de Z.

Logo, Fν 6⊃ Yν∩ Ω(p), qualquer que seja p ∈ Fn(c, 2).

Para tanto, seja fν+1

i ∈ {f

ν+1

i }i∈I, qualquer.

Consideremos p ∈ Fn(c, 2) tal que domp = {ξi} ⊂ Kν e p(ξi) = fiν(ξi).

Temos que f_iν+1(ξi) = fiν(ξi) = p(ξi) e, portanto, fiν+1 ∈ {f ν+1

i }i∈I ∩ Ω(p). Se

f_jν+1 ∈ {fν+1

i }i∈I (isto ´e, se j ∈ I) ´e tal que fjν+1 6= fiν+1, ent˜ao fjν ∈ Fν e fjν 6= fiν.

Logo, f_jν+1(ξi) = 1 − fiν(ξi) 6= p(ξi).

Da´ı, conclu´ımos que Ω(p) ∩ {fiν+1}i∈I = {fiν+1}.

Portanto, {f_iν+1}i∈I ´e discreto em Yν+1.

Suponhamos, por absurdo, que exista fjν+1 ∈ {fiν+1}i∈I\ {fiν+1}i∈I.

Consideremos p ∈ Fn(c, 2) tal que domp = {ξj} ⊂ Kν e p(ξj) = fjν(ξj).

Afirmamos que Yν+1 ∩ Ω(p) ´e um aberto de Yν+1 ao qual fjν+1 pertence e que n˜ao

intersecta {f_iν+1}i∈I. Com efeito, fjν+1(ξj) = fjν(ξj) = p(ξj) e, portanto, fjν+1 ∈ Ω(p) ∩ Yν+1.

Al´em disso, se fiν+1 ∈ {fiν+1}i∈I (isto ´e, se i ∈ I), ent˜ao fiν+1(ξj) = 1 − fjν(ξj) 6= p(ξj), pois

neste caso fν

i ∈ Fν e fiν 6= fjν. Da´ı, segue que Yν+1∩ Ω(p) ´e uma vizinhan¸ca aberta de fjν+1

que n˜ao intersecta {fiν+1}i∈I, o que ´e absurdo, pois fjν+1 ∈ {fiν+1}i∈I.

Logo, {f_iν+1}i∈I ´e fechado em Yν+1.

Mostremos, agora, que F = {fc

i}i∈I ´e discreto e fechado em Z.

Para tanto, seja fc

i ∈ F , qualquer.

Consideremos p ∈ Fn(c, 2) tal que domp = {ξi} ⊂ Kν e p(ξi) = fiν(ξi).

Temos que F ∩ Ω(p) = {fc

i}. De fato, f c

i(ξi) = fiν+1(ξi) = fiν(ξi) = p(ξi), pois

ξi ∈ Kν ⊂ Iν+1 e ν + 1 < c. Portanto, fic ∈ F ∩ Ω(p). Al´em disso, se f c j ∈ F ´e tal que fc j 6= f c i, ent˜ao fjν 6= fiν e, portanto, f c

j(ξi) = 1 − fiν(ξi) 6= p(ξi). Da´ı, segue que

fc

j 6∈ Ω(p). Logo, F ∩ Ω(p) = {f c i}.

Suponhamos, por absurdo, que exista fc

j ∈ ¯F \ F .

Consideremos p ∈ Fn(c, 2) tal que domp = {ξj} ⊂ Kν e p(ξj) = fjν(ξj).

Afirmamos que Z ∩ Ω(p) ´e um aberto se Z ao qual fc

j pertence e que n˜ao intersecta

F. Com efeito, fc

Portanto, fc

j ∈ Z ∩ Ω(p). Al´em disso, se f c

i ∈ F (isto ´e, se i ∈ I), ent˜ao f c

j(ξj) = fjν+1(ξj) =

1 − fν

i (ξj) 6= p(ξj), pois fiν ∈ Fν e fiν 6= fjν. Contudo, isto ´e um absurdo, j´a que f c j ∈ ¯F.

Logo, F ´e fechado em Z. Portanto, Z ´e NODEC. Afirma¸c˜ao III. Z ´e OHI.

De acordo com o teorema 3.1.2, ´e suficiente mostrar que todo subconjunto denso de Z tem interior denso em Z. Utilizando o lema 5.1.4, basta provar que todo subconjunto abundante de Z cont´em um aberto n˜ao vazio de Z.

Para tanto, seja E um subconjunto abundante de Z. J´a observamos que |E| = ω. Seja {fc

i}i∈I⊂ω uma enumera¸c˜ao de E.

Consideremos {f0

i}i∈I ⊂ Y0. Temos que se i, j ∈ I e i 6= j, ent˜ao fi0 6= fj0 (pois, do

contr´ario, ter´ıamos que fc i = f

c

j, o que ´e absurdo, uma vez que {f c

i}i∈I ´e uma enumera¸c˜ao

de F ). Em particular, segue que |{f0

i}i∈I| = ω.

Como F ´e a cole¸c˜ao dos subconjuntos de Y0 de cardinalidade ω, conclu´ımos que

{f0

i}i∈I ∈ F e, portanto, existe ν < c tal que {fi0}i∈I = Fν0.

Seja Fν = {fiν}i∈I.

Se Fν 6⊃ Yν ∩ Ω(p), qualquer que seja p ∈ Fn(c, 2), ent˜ao E ser´a fechado e discreto em

Z (ver demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao II) e, portanto, E n˜ao ser´a abundante em Z (de fato, como ¯E = E, basta mostrar que int(E) = ∅. Caso existisse um aberto n˜ao vazio U de Z contido em E, tomar´ıamos p ∈ U ⊂ E. Como E ´e discreto em Z, existe um aberto V de Z tal que V ∩ E = {p}. Logo, U ∩ V = {p} ´e um aberto de Z, o que significa que ∆(Z) = 1, um absurdo).

Desta forma, Fν ⊃ Yν∩ Ω(p), para alguma p ∈ Fn(c, 2). Da demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao

II, conclui-se que E ⊃ Z ∩ Ω(ην).

Das afirma¸c˜oes II e III, conclu´ımos que Z ´e OHI e NODEC e, portanto, do lema 5.1.3, segue que Z ´e submaximal.

O resultado que consta no pr´oximo corol´ario j´a havia sido demonstrado, por outros m´etodos, em [2].

Corol´ario 5.1.6. O cubo de Cantor 2c

possui um subespa¸co enumer´avel, denso e irresol´uvel. Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente do teorema 5.1.5, uma vez que todo espa¸co topol´ogico submaximal ´e, em particular, irresol´uvel.

Observamos, por fim, que cada subespa¸co denso e enumer´avel de 2c

´e homeomeorfo a um subespa¸co denso de [0, 1]c

. De fato, seja S um subconjunto denso e enumer´avel de 2c

. ´

E poss´ıvel obter uma parti¸c˜ao {Iν : ν < c} de c de modo que |Iν| = ω e tal que 2Iν\ (S ↾Iν)

´e denso em 2Iν_{, qualquer que seja ν < c. Para cada ν < c, tomemos um subconjunto denso}

enumer´avel Dν ⊂ 2Iν\ (S ↾Iν). ´E conhecido que o espa¸co topol´ogico 2

Iν_{\ D}

ν ´e homeomorfo

ao espa¸co P dos n´umeros irracionais, para todo ν < c. Claramente, S ↾Iν⊂ 2

Iν \ D

ν e,

portanto, S ´e naturalmente homeomorfo a um subespa¸co denso deQ{2Iν_{\ D}

ν : ν < c} que,

por sua vez, ´e homeomorfo ao cubo Pc

. Logo, S ´e homeomorfo a um subespa¸co denso de [0, 1]c

. Portanto, do teorema 5.1.5, segue que o cubo de Tychonoff [0, 1]c

tamb´em cont´em um subespa¸co enumer´avel, denso e submaximal.

In document Kompetanseutvikling og ledelsesstrategier (sider 43-48)