5°CAPITOLO: SINTESI DEI RISULTATI E DISCUSSIONE IN BASE ALLE IPOTESI FORMULATE
5.5 Ipotesi 5: Le nuove Versioni Fattoriali del APQ e PCRQ
A análise em freqüência é um dos métodos mais amplamente usados em processamento de sinais, a qual é realizada usando-se análise de Fourier (ver anexo 1). No caso de sinais digitais, a versão discreta, transformada discreta de Fourier – DFT (“Discrete Fourier Transform”), é utilizada. A DFT é uma seqüência, ao invés de uma função de uma variável contínua, e corresponde a amostras, igualmente espaçadas no domínio da freqüência, da transformada de Fourier – FT (“Fourier Transform”) do sinal. A DFT é a base para a implementação de uma variedade de algoritmos para processamento digital de sinais, sendo o mais popular, pela rapidez de processamento o da transformada rápida de Fourier – FFT (“Fast Fourier Transform”).
A transformada discreta de Fourier fornece as componentes de freqüências presentes em um sinal e suas respectivas amplitudes dentro do mesmo. A figura 3.11 mostra um sinal com componentes de freqüência de 10, 30, 60 e 120 Hz e sua transformada de Fourier. O sinal da figura 3.11 tem conteúdo de freqüência que não muda com o tempo. Sinais desse tipo são chamados de estacionários. Nesse caso, a transformada de Fourier mostra-se adequada para a análise em freqüência do sinal, já
que a mesma mostra o conteúdo de freqüência do sinal, que é o mesmo para qualquer instante de tempo.
Figura 3.11 – (a) sinal estacionário com componentes de freqüência de 10, 30, 60,120 Hz, e o correspondente espectro de freqüências em (b).
A figura 3.12 mostra um sinal com o mesmo conteúdo de freqüência do sinal da figura 3.11, com a diferença que as diferentes freqüências ocorrem em tempos diferentes. A transformada de Fourier desse sinal apresenta o mesmo aspecto que o do sinal da figura 3.11, mesmas raias de freqüência. A diferença entre os sinais das figuras 3.11 e 3.12, é que o da figura 3.12 é um sinal não-estacionário, ou seja, apresenta variação no conteúdo de freqüência com o tempo. Se o interesse na análise do sinal é apenas em seu conteúdo espectral, a transformada de Fourier ainda é adequada, porém, se a análise requer conhecimento dos instantes de tempo onde as diversas freqüências ocorrem, a transformada de Fourier torna-se inadequada.
Figura 3.12 – (a) sinal não-estacionário com componentes de freqüência de 10, 30, 60,120 Hz, e o correspondente espectro de freqüências em (b).
Uma alternativa para superar esse problema é o uso da transformada de Fourier janelada – WFT (“Windowed Fourier Transform”). A diferença entre a transformada de Fourier janelada e a convencional, é que, na primeira o sinal é dividido em curtos intervalos de tempo, intervalos esses onde se considera o sinal como estacionário. Para esse propósito usa-se uma função janela . A largura da janela deve ser igual ao segmento do sinal onde o mesmo pode ser considerado como estacionário. A função janela é então localizada no início do sinal. A função janela e o sinal são multiplicados. O sinal resultante dessa multiplicação é considerado como um novo sinal, do qual a transformada de Fourier é obtida. A função janela é deslocada e o procedimento é repetido até se atingir o fim do sinal. A figura 3.13 mostra esquematicamente o procedimento.
w
Figura 3.13 – Representação esquemática do deslocamento da janela no cálculo da WFT.
A transformada de Fourier janelada é representada matematicamente por:
∫
+∞ ∞ − ω − − = ω f t w t b e dt b WFT( , ) [ ( ) *( ) j t (3.4)onde é o intervalo de deslocamento da janela, é o conjugado complexo da função janela. Então, para cada b e , novos coeficientes da transformada de Fourier são calculados, tendo-se então uma representação tempo-frequência do sinal. Uma transformada similar foi primeiramente proposta por Gabor, para transmissão de dados, na qual a janela é uma função Gaussiana (Daubechies, 1990).
b w*
ω
A principal diferença entre a WFT e FT, é que a FT usa uma janela de comprimento infinito, a qual fornece uma perfeita resolução em freqüência, porém nenhuma informação no tempo, e a WFT usa uma janela de comprimento finito, para que o sinal possa ser considerado como estacionário dentro da janela, a qual é deslocada no tempo. Isso cria o efeito de um conjunto de filtros passa-faixa, ou de um banco de filtros, com a mesma largura de banda f∆ , determinada pela taxa de amostragem e pela própria janela (Rioul et al, 1991 e Driesen et al, 1996b). Isso leva a um compromisso entre o comprimento da janela, o que determina a resolução no tempo, , e a resolução em freqüência . Ou seja, quanto mais estreita a janela melhor resolução no tempo e pior resolução em freqüência, o contrário ocorre com o aumento na largura da janela. Esse compromisso é referido como o principio da incerteza de Heisenberg, o qual estabelece que “exatas localizações em tempo e freqüência são mutuamente exclusivas” (Rioul et al, 1991). Esse princípio pode ser estabelecido pela seguinte equação (Rioul et al, 1991 e Kaiser, 1994): t ∆ f ∆ π ≥ ∆ ∆ 4 1 f t (3.5)
Dado um sinal a transformada de Fourier janelada discreta para uma banda de freqüência k em um tempo é definida como (Gu et al, 2000)
) (n x
∑
− ω ω = ω − m m j j n k k x m n m e e X ( ) ( ) ( ) (3.6) onde: N k k π = ω 2 , é a freqüência em radianos; , é o número de bandas de freqüência; N) , é a janela simétrica selecionada com comprimento . (L
ω L
A questão mais importante envolvendo a WFT, é que uma vez que a janela é escolhida a resolução torna-se fixa em todo plano tempo-freqüência, uma vez que a janela é a mesma em todas as freqüências. A figura 3.14 mostra a representação em duas dimensões, plano tempo-freqüência, de um sinal. As divisões sobre o eixo horizontal representam o comprimento da janela no tempo, e as divisões no eixo vertical representam as larguras de banda dos filtros passa faixa. Cada retângulo representa um especifico intervalo de freqüência durante um especifico intervalo de tempo, e que é constante em todo plano tempo-freqüência.
Figura 3.14 – Plano tempo-freqüência obtido com a WFT.
Muitos sinais requerem um método mais flexível, no sentido de se poder variar a largura da janela para se determinar mais precisamente tempo ou freqüência. Sinais desse tipo são freqüentemente encontrados em sistemas de energia elétrica, como o resultado de faltas ou operações de chaveamento. Esses sinais apresentam transitórios superpostos à freqüência fundamental, que precisam ter seus conteúdos de freqüência e localização no tempo bem determinados. Por isso, a WFT mesmo fornecendo uma alternativa para análise de sinais não estacionários, ainda torna-se inadequada para análise de sinais que apresentam conteúdo de freqüência que podem variar em uma
ampla faixa, como é o caso dos sinais citados anteriormente. Essa questão pode ser solucionada com o uso de uma poderosa ferramenta de processamento de sinais, a transformada wavelet – WT (“Wavelet Transform”), assunto do próximo capítulo.
3.7 – CONCLUSÃO.
Este capítulo apresentou os conceitos básicos sobre o processo de obtenção de um sinal digital a partir de um sinal analógico. Foi apresentado o conceito de sinais contínuos e discretos, e como um sinal digital pode ser obtido através de sistema de aquisição de dados, do qual foram apresentados os componentes básicos, e o teorema da amostragem, que é o principal fundamento do processamento digital de sinais. Foi feita uma abordagem da análise em freqüência, uma das principais ferramentas usadas em processamento de sinais, destacando-se a DFT que possibilita a análise de sinais digitais. Por fim foram feitas considerações sobre a WFT, a qual possibilita a análise de sinais não estacionários, sendo então uma alternativa quando o interesse da análise não é apenas sobre o conteúdo espectral do sinal, mas também sobre a localização desse espectro no tempo.