Segundo Watson e Kelly (2002), o desvio padrão é a medida de variabilidade mais comum, mas devido a sua natureza complexa, ela é freqüentemente evitada no currículo de matemática do ensino fundamental australiano. E Delmas e Liu (2005, p. 56) declaram que a maioria do “ensino sobre o desvio padrão tende a enfatizar a fórmula, praticar os cálculos e atrelar o desvio padrão à regra empírica da distribuição normal”.
Para a compreensão do conceito de desvio padrão, Delmas e Liu (2005) consideram que o aluno precisa mobilizar três conceitos estatísticos: distribuição, média e desvios da média.
O conceito de distribuição, por sua vez, requer a mobilização de outros conceitos como os valores assumidos pela variável e a freqüência acumulada. A visualização da variação em uma distribuição requer a observação de, pelo menos, os valores da variável, a densidade de freqüência destes valores e a média aritmética como o ponto de equilíbrio de uma balança.
De posse desses conceitos, Delmas e Liu (2005, p. 56) argumentam que um aluno pode imaginar o terceiro conceito fundamental: desvios da média.
É através da coordenação da distribuição (como representada pela coordenação de valor e freqüência) e desvio (como distância da média) que um conceito dinâmico de desvio padrão é derivado como a densidade relativa de valores em torno da média.
Hart (1984, p.24) sugere ensinar o desvio padrão a partir de um intervalo. Segundo a autora, "se a medida de variabilidade for chamada de d, então pode ser possível afirmar que x % das observações ficam entre 1d da média", e afirma
que é perfeitamente possível para o ensino do desvio médio e também pode ser possível para o ensino do desvio padrão.
Quando Hart (1984) pergunta a seus alunos o que é o desvio padrão, as respostas, na maioria das vezes, foram: o desvio padrão é uma medida de variação ou então os alunos reproduzem a fórmula do desvio. Loosen, Lioen e Lacante (1985) questionam estas respostas fornecidas a Hart. Para estes autores, a maioria dos alunos não imagina que o desvio padrão é uma medida especial de variação que "mede o quão fortemente os dados afastam-se da tendência central"
Loosen, Lioen e Lacante (1985) afirmam que os livros didáticos enfatizam a heterogeneidade entre as observações e não dos desvios em relação à tendência
central. Eles realizaram um experimento com cento e cinqüenta e quatro alunos do primeiro ano de graduação em psicologia, na Bélgica.
Eles apresentaram os gráficos da Figura 48, em que o valor acima de cada barra representa o valor da observação e não sua freqüência. Logo, o conjunto A tem duas observações, cujos valores são 45 e 50.
Figura 48 - Primeira seqüência de gráficos usados por Loosen, Lioen e Lacante (1985)
Com relação aos conjuntos A e B, os autores perguntaram: a) em qual dos dois conjuntos você acredita que os blocos são mais diferentes? b) Em qual dos conjuntos os blocos tem a maior variação entre eles mesmos? e c) Qual conjunto apresenta a maior flutuação com relação a altura: A ou B?
Foi verificado que 69% dos alunos disseram que B tinha maior variação, 11% disseram que A tinha maior variação e 20% disseram que tanto A quanto B apresentavam a mesma variação.
Quando foram apresentados os gráficos C e D, foram feitas as mesmas perguntas e 50% dos alunos consideraram que a diversidade em C era maior, 36% pensaram que era em D e 14% disseram que a variação era a mesma tanto em C quanto em D.
Segundo Loosen, Lioen e Lacante (1985), os resultados sugerem que, quando os alunos compararam A e B, a variabilidade entre os dados foram avaliadas relativamente em vez de absolutamente e quando compararam C e D, os alunos apresentaram uma tendência a interpretar, intuitivamente, o conceito de variabilidade em termos de unalikability, definida pelos autores como a escassez de observações do mesmo tipo ou a escassez de grupos com observações idênticas. A 45 50 B 5 10 C 1020 3040 5060 D 10 10 10 60 60 60
A sugestão dos autores para introduzir o conceito de variabilidade é iniciar a etapa de ensino com os gráficos A, B, C e D e, em seguida apresentar os seguintes gráficos:
Figura 49 - Segunda seqüência de gráficos usados por Loosen, Lioen e Lacante (1985)
Loosen, Lioen e Lacante (1985, p.5) sugerem que o resultado numérico do desvio padrão proporciona pouca informação e pode ser melhor traduzido dentro da teoria de probabilidade: "uma proporção p das observações no conjunto de dados fica entre ± k desvios padrão da média". Segundo eles, quando a distribuição é conhecida, esta proporção pode ser calculada, mas, em outros casos, será necessário contentar-se com o cálculo do limite mais baixo da proporção, por meio do Teorema de Tchebichev (apresentado no Capítulo 2 deste trabalho).
Embse e Engebretsen (1996) sugerem iniciar o trabalho com alunos do ensino médio sobre o desvio padrão fazendo uso de calculadora gráfica. Para exemplificar, os autores trabalharam com as calorias de 20 doces e representaram da seguinte maneira: cada doce foi representado por uma barra no gráfico, o eixo das ordenadas apresentava a escala de calorias, a média aritmética foi representada por uma reta paralela ao eixo das abscissas e outras
duas retas paralelas ao eixo das abscissas foram traçadas para representar um desvio padrão acima da média e um desvio padrão abaixo da média.
Os autores salientam a diferença existente entre gráfico de barras e histograma, porém denominaram de histograma o gráfico das calorias dos 20 doces. Como já salientado por Meletiou e Lee (2002) existe grande dificuldade dos alunos para interpretar um histograma e é possível que esta representação colabore ainda mais para esta dificuldade. Além disso, Loosen, Lioen e Lacante, já em 1985 salientavam complementar esta informação com o gráfico de bastão (conforme Figura 49).
Delmas e Liu (2005) realizaram um estudo para verificar o raciocínio dos alunos sobre a magnitude do desvio padrão, quando as observações estão representadas em uma distribuição de freqüência. Os autores utilizaram um aplicativo desenvolvido por eles mesmos, que permitia ao aluno movimentar as barras do gráfico e perceber a mudança nas medidas de tendência central e dispersão. Além disso, cada barra do gráfico apresentava o desvio absoluto em relação à média aritmética. A Figura 50 apresenta um exemplo do tipo de gráfico fornecido pelo aplicativo desenvolvido por eles.
Figura 50 - Exemplo de gráficos fornecidos pelos aplicativo desenvolvido por Delmas e Liu (2005)
Como pode ser observado na Figura 50, o deslocamento da barra verde (que continha duas observações) do valor 2 para o valor 1 no eixo das abscissas proporcionou um valor absoluto maior do desvio padrão (de 0,964 para 1,179).
Para os autores, a interação com o software poderia permitir ao aluno entender que o desvio da média e a freqüência, ambas combinadas, determinam
o valor do desvio padrão, e que para isto é necessário fazer a distinção entre valor e freqüência, reconhecer a distância de cada valor em relação à média, entender que uma distribuição e sua imagem espelhada tem o mesmo desvio padrão e entender que o valor do desvio padrão é independente de onde a distribuição é centrada. Além disso, o aluno poderia compreender a relação entre o formato da distribuição e a magnitude do desvio padrão.
Foram participantes da pesquisa doze estudantes voluntários (cinco homens e sete mulheres) que tinham participado de uma disciplina de Introdução à Estatística em uma universidade nos EUA. Foram feitas três entrevistas, em uma fase introdutória, exploratória e de teste. Na fase introdutória os sujeitos deveriam movimentar duas barras de um gráfico e observar a mudança dos valores das medidas (média, desvio padrão, desvios absolutos, desvios quadrados e a fórmula do desvio padrão). Após alguns minutos na fase introdutória, os alunos decidiam quando passar para a fase exploratória, em que iriam buscar os fatores que afetavam o desvio padrão. Com cinco pares de distribuições diferentes, os alunos deveriam encontrar um formato que produzisse o maior e o menor valor de desvio e justificar a escolha.
Os autores encontraram onze categorias de justificativas para esta fase exploratória, em que cinco categorias referiam-se a justificativas para produzir um alto valor do desvio padrão: barras distantes umas das outras (sem referência à média), barras igualmente espalhadas, barras distantes da média, distribuição equilibrada de valores acima e abaixo da média, nos valores extremos da escala numérica, alto valor numérico da média. As categorias (quatro) referentes ao menor valor do desvio padrão foram: barras contíguas em ordem crescente ou decrescente de freqüências, mais barras (ou valores) no meio, distribuição simétrica, equilíbrio (balança).
Para justificar o mesmo desvio padrão foram encontradas duas categorias de respostas: imagem espelhada da distribuição e locação (em que o aluno poderia perceber que a mesma combinação das barras, independente da localização, produz o mesmo valor do desvio padrão –mas não da média).
Na terceira etapa, foram elaborados 10 pares de histogramas onde o primeiro histograma de cada par continha a média e o desvio padrão da distribuição e o segundo histograma só continha a média e os alunos foram
solicitados a responder se o desvio padrão seria maior, menor ou igual ao desvio padrão da primeira distribuição.
Os alunos não apresentaram dificuldade para observar que o desvio padrão é o mesmo em uma distribuição espelhada e independente da localização, mas poucos estudantes perceberam que, em uma distribuição simétrica, o desvio padrão tende a ser menor. Para trabalhar esse tipo de concepção, os autores criaram um par de histogramas em que a distribuição simétrica tinha maior desvio padrão, pois a amplitude da escala numérica era maior (tal como a questão 7 do pré-teste de Meletiou 2000). Amplitude da variação dos dados não foi um conceito levado em consideração por muitos sujeitos da pesquisa no momento de justificar o maior ou menor desvio padrão, que ratifica os resultados encontrados por Meletiou e Lee (2002). Um dos pares foi criado com o objetivo de levar os alunos a repensar que distâncias iguais entre uma barra e a seguinte produzem menor desvio.
O estudo desses autores foi o primeiro encontrado em que são levantados os conceitos que devem ser mobilizados para compreender o desvio padrão de uma distribuição: valores da distribuição, freqüência (densidade de freqüência), média e as distâncias da média, todos combinados. Porém, deve-se tomar cuidado ao reproduzir estudo semelhante. Os autores referiam-se ao valor absoluto do desvio padrão e que nem sempre corresponde a uma variação relativa maior, pois isto depende do valor da média (como já discutido no Capítulo 2 sobre o coeficiente de variação).
Os autores concluem que as idéias do desvio padrão formadas pelos alunos tais como barras contíguas, amplitude, média no meio e valores distantes resgatam aspectos importantes desse conceito, mas podem representar níveis de entendimento superficial e fragmentado enquanto outras idéias como grande média e distâncias iguais das barras são inconsistentes. Outras idéias como distâncias da média, equilíbrio, mais valores no meio e distribuição simétrica podem representar um entendimento mais completo do desvio padrão.
4.5 Os Aspectos do Raciocínio de Variabilidade e Variação que apareceram