No SRTL-3 (Terceiro Fórum de Pesquisa em Letramento, Pensamento e Raciocínio Estatístico), os autores discutiram diferentes aspectos do raciocínio
sobre variabilidade, tais como variação inerente aos dados, variabilidade representada em distribuições univariada e bivariada, o papel da variabilidade na comparação de grupos, o entendimento dos alunos sobre medidas particulares de variabilidade e variabilidade em diferentes contextos amostrais (Ben-Zvi e Garfield, 2004).
Esses aspectos do raciocínio sobre variabilidade e variação foram utilizados como categorias para agrupar os estudos analisados, que estão apresentados nos quadros seguintes. Além desses aspectos, outras categorias foram criadas, como a Explicação de Variação e a Variabilidade na descrição do formato da distribuição.
Quadro 11 - Explicação de Variação apresentada pelos sujeitos Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Torok (2000)
Alunos de: 7ª e 8ª séries do ensino fundamental
Assemelha-se a uma pequena mudança. Variedade de cores
Meletiou (2000) Alunos de graduação
Variedade; Múltiplos valores; Inconstância; Variação de um máximo para um mínimo.
Como pode ser observada no Quadro 11, a única medida de variação sugerida intuitivamente é a amplitude. Os alunos associam variação com a diferença entre os dados, ou seja, variação inerente, cujos estudos estão sintetizados no Quadro 12.
Quadro 12 – Percepção da variação inerente aos dados Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Watson e Kelly (2002)
Alunos de 3ª série do ensino fundamental
Os alunos não tiveram dificuldade para perceber que existia variação na quantidade de balas de cada cor
Lehrer e Schauble (2002) Alunos de 4ª e 5ª séries do ensino fundamental
Percebem variação entre os dados, mas não conseguem perceber variação em torno de uma medida (nem mesmo aceitar uma medida para representar o todo)
Os alunos percebem naturalmente a diferença entre os valores, mas não sentem necessidade de representar esta variação com uma medida. Ou seja, a utilização das medidas de tendência central e dispersão para representar um conjunto de observações não acontece naturalmente.
As estratégias utilizadas pelos participantes da pesquisa para representar um conjunto de observações estão sintetizadas no Quadro 13.
Quadro 13 – Raciocínio sobre variabilidade na análise de uma distribuição Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Reading (2004)
Alunos de: 6ª e 8ª séries do ensino fundamental e 2º ano do ensino médio
-Variação entre os dados;
-dividem o conjunto em pequenos grupos
-usam valores máximos e mínimos ou a amplitude -Não usaram gráficos
Ben-Zvi (2002)
Alunos de 7ª série do ensino fundamental
Na etapa de elaboração de hipóteses, alguns alunos focam em padrões gerais, mas alguns elaboram com foco em pontos específicos ou de contexto.
Na etapa de análise de uma série temporal, poucos alunos conseguem “ver” o todo. Centram a atenção em pontos específicos
Na análise de uma distribuição, as estratégias utilizadas foram a divisão do conjunto de dados em pequenos grupos, o foco em alguns pontos da distribuição e a utilização da amplitude. Ou seja, a única estratégia utilizada para trabalhar com toda a variabilidade foi o uso da amplitude, pois as outras estratégias têm como objetivo diminuir a variabilidade ou ignorá-la.
Os estudos que associaram o formato da distribuição e a variabilidade estão apresentados no Quadro 14.
Quadro 14 – Raciocínio sobre Variabilidade na descrição do formato da distribuição
Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Watson e Kelly (2002)
Alunos de 3ª série do ensino fundamental
Gráfico de barras: Descreveram como montanha
Bakker (2004)
Alunos de 8ª série do ensino fundamental
Representação contínua (semi-círculo, assimetria, etc):
Tendência a escolher distribuição simétrica Meletiou (2000)
Alunos de graduação
Histograma: muitos alunos acharam que uma barra representava uma única observação, o que dificultou observar a variação. Escolheram o histograma cuja distribuição era simétrica.
Tanto no estudo de Bakker (2004) quanto no estudo de Meletiou (2000) foi observada uma preferência a distribuições simétricas como representativas de menor variação. Isso também foi observado no estudo de Delmas e Liu (2005), quando os alunos tentavam identificar a distribuição com menor desvio padrão.
Distribuição é um conceito que está diretamente relacionado à variabilidade. Segundo Petrosino et. al. (apud Bakker, 2004, p. 65) distribuição poderia proporcionar uma organização da estrutura conceitual para pensar sobre variabilidade localizada dentro de um contexto mais geral de modelar os dados.
O maior número de estudos encontrados foi referente ao raciocínio sobre variação utilizado na comparação de duas distribuições, como pode ser observado no Quadro 15.
Utilizando diferentes representações gráficas, os estudos apresentam as estratégias que os alunos utilizaram para fazer as comparações. Independente da faixa etária dos sujeitos, houve uma tendência de utilizar partes da distribuição, os valores extremos e a amplitude total para fazer a análise. E, principalmente, existiu uma tendência para a não utilização de uma medida de centro para representar cada distribuição.
Segundo Hammerman e Rubin (2004), os professores usavam o pensamento agregativo (que focava em características emergentes de um conjunto de dados), mas sem envolver medidas de centro, ou seja, analisavam
um conjunto de dados, encontravam um intervalo em que havia concentração dos dados mas sem pensar na média.
Quadro 15 – Raciocínio sobre Variabilidade na comparação de duas distribuições Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Watson e Kelly (2002)
Alunos de 3ª série do ensino fundamental
Com uso de gráfico de pontos, os alunos fizeram análises em termos de grupos, buracos, valores mais comuns e menos comuns e amplitude. Discutiram que uma observação é diferente das demais.
Ben-Zvi (2004)
Alunos de 7ª série do ensino fundamental
Gráfico de barras múltiplas e tabela de distribuição de freqüências. Análise começa com valores extremos, passando paulatinamente para os valores centrais. Alunos identificam a moda, mas não retém que as medidas representam um conjunto e nem que existe variação em torno da tendência central.
Meletiou (2000) Alunos de graduação
Uso de histogramas.
Analisam o formato das colunas (irregularidade) e as freqüências. Não analisam a amplitude da amostra.
Meletiou (2000) Alunos de graduação
Boxplots
Analisaram o intervalo interquartílico Makar e Confrey (2005) Futuros professores de Matemática e Ciências Gráfico de pontos
Ordem decrescente de termos usados: proporção, média, máximo e mínimo, tamanho da amostra, outliers, amplitude, formato da distribuição e desvio padrão.
Na primeira entrevista, nenhum professor usou o termo desvio padrão e na segunda entrevista, somente dois professores.
Referem-se à variação como o formato da distribuição ou como pedaços da distribuição.
Hammermam e Rubin (2004)
Professores
Semelhante ao Gráfico de Pontos
Não usaram medidas de centro para comparar os dois grupos.
Dividiram o conjunto de dados em duas partes (a partir de uma medida de contexto) ou em mais partes.
A questão que emerge destes resultados é: se os participantes das pesquisas não sentiram necessidade de uma medida de tendência central, como poderiam sentir necessidade de uma medida de variação? Ou seja, perceberam a variação, tentaram diminuí-la, mas não buscaram sintetizá -la numa medida. Isto
reforça o tipo de estratégia utilizada, pois o resultado é semelhante quando os participantes analisavam uma distribuição (Quadro 13).
Isto pode estar indicando que o conceito de variação ainda não está estável para os sujeitos de pesquisa, independente da faixa etária.
Os únicos estudos encontrados especificamente sobre o raciocínio dos participantes com o desvio padrão estão apresentados no Quadro 16.
Os estudos também avaliavam o raciocínio dos participantes quando comparavam duas distribuições, mas tinham o objetivo específico de trabalhar com as medidas de variação.
Quadro 16 - Comparação de duas distribuições utilizando média e desvio padrão Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa
Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Loosen, Lioen e
Lacante (1985)
Alunos de graduação em psicologia
Utilização de gráficos de barras, em que cada barra representa uma observação.
Alunos “vêem” a variação entre as observações e não em relação à tendência central: Unalikability .
Delmas e Liu (2005) Alunos de graduação
Movimentar o Gráfico de barras e observar as alterações no desvio padrão.
Conceitos relacionados: valor e freqüência das observações; distância de cada valor em relação à média; distribuição espelhada tem mesmo desvio padrão; o va lor do desvio padrão é independente de onde a distribuição é centrada.
Raciocínio dos alunos: barras distantes umas das outras (sem referência à média), barras igualmente espalhadas, barras distantes da média, distribuição equilibrada de valores acima e abaixo da média nos valores extremos da escala numérica, alto valor numérico da média, barras contíguas em ordem crescente ou decrescente de freqüências, mais barras (ou valores) no meio, distribuição simétrica, equilíbrio (balança), imagem espelhada da distribuição e locação
Conforme Loosen, Lioen e Lacante (1985) salientam, os alunos continuaram a perceber a variação que existia entre as observações e não a variação em torno da medida de tendência central.
No estudo de Delmas e Liu, os autores trabalharam exaustivamente no entendimento do desvio padrão. Utilizaram o histograma para representar uma variável discreta. Como já identificado por Meletiou (2000), utilizaram uma estratégia que o aluno, geralmente, apresenta dificuldade, pois precisa perceber o valor da variável (eixo horizontal), a freqüência em cada valor (eixo vertical), a densidade de freqüência em torno da medida de tendência central para poder escolher a menor variação em torno dessa medida. Para raciocinar desta maneira, o aluno precisa mobilizar os conceitos de distribuição de freqüência e sua representação gráfica e o conceito de média.
Da maneira como foi conduzido o estudo, os alunos foram induzidos a olhar toda a distribuição, evitando que caíssem no mesmo resultado que os outros estudos: perceber a variação inerente.
Porém deve ser notado que, quando os autores comentam o mesmo valor do desvio padrão independente de onde se situa a média, ou seja, movimentando toda a distribuição ao longo do eixo horizontal, deve-se tomar o cuidado de verificar que é o valor absoluto da variação (desvio padrão) e não o valor relativo da variação (coeficiente de variação).
Alguns estudos verificaram outros aspectos de variabilidade tal como sintetizado no Quadro 17 e 18.
Quadro 17 - Variabilidade e representatividade amostral Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa
Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas
Bakker (2004)
Alunos de 8ª série do ensino fundamental
Alunos perceberam que as observações ficavam muito separadas e que não permitia tirar conclusões.
Meletiou (2000) Alunos de graduação
1) Amostra grande; preferência por amostras aleatórias; Detectavam vieses.
2) Amostra pequena; em situações reais os alunos podem ser levados a analisar o contexto e superestimar o tamanho da amostra.
É possível notar no Quadro 17 que os alunos conseguiam perceber que amostras pequenas não permitiam emitir conclusões, mas não é possível inferir
que os alunos perceberam que amostras pequenas apresentavam maior variabilidade, como já questionado por Pfannkuch (2005) sobre o trabalho de Bakker (2004).
Quando trabalhadas situações que envolviam o acaso, foi possível perceber mais claramente o raciocínio de variação dos alunos, tal como apresentado no Quadro 18.
Quadro 18 – Raciocínio sobre Variabilidade em situações de acaso. Autores e Nível dos
sujeitos de pesquisa Respostas e as estratégias de raciocínio utilizadas Reading e Shaughnessy
(2004)
Alunos de 4ª série do ensino fundamental à 3º ano do ensino médio
A atividade sobre a estimativa de balas vermelhas em uma única amostra estimula o participante a apresentar raciocínio sobre as causas de variação enquanto que a atividade que solicita escolher uma lista de possíveis resultados para seis amostras leva o participante a apresentar raciocínio sobre a descrição de variação.
Torok (2000)
Alunos de 7ª e 8ª séries do ensino fundamental
Inicialmente os alunos pensam de maneira determinística. Com o aumento das repetições, alguns alunos percebem que os resultados giram em torno de um valor.
Meletiou (2000) Alunos de graduação
Em jogos de azar - Tendência de balancear os resultados.
Em contexto real – Percebem que existe variação, mas não levam em consideração o tamanho da amostra. Focam em causas físicas.
Canada (2006)
Professores (em formação) das séries iniciais do Ensino Fundamental
No pré-teste, a maioria dos alunos apresentaram a proporção de casos como o resultado, sem levar em consideração a variação.
No pós-teste, os alunos perceberam que devido à variação inerente em situações de acaso, tanto a proporção de um set de 50 rodadas como os resultados de vários sets tendem a ficar próximos da proporção (devido à teoria), mas podem variar e que resultados muito distantes da proporção são improváveis.
Torok (2000, p. 25) explica que variação em situações de acaso é aquela que nasce em um processo aleatório. Este autor explica, também, que variação amostral (sampling variation) é a idéia que repetir um experimento aleatório várias vezes (nas mesmas condições) ou tomar várias amostras aleatórias de uma população e produzir uma variedade de resultados.
Meletiou-Mavrotheris e Lee (2002) alertam para as diferentes competências requeridas para entender variação em um plano aleatório e variação em contexto real. Nesse último, o professor precisa levar em consideração a grande variedade de crenças, concepções e interpretações que os estudantes trazem para cada situação.
Baseado nos estudos de Wild e Pfannkuch (1999) e em Reading e Shaughnessy (2004), Ben-Zvi (2004) resume 6 aspectos de variação que devem ser considerados: observação e reconhecimento, medida e modelagem (para as propostas de predição, explicação ou controle), explicação e manuseio da variação, desenvolvimento de estratégias de investigação em relação variação, descrição e representação.
De acordo com esses aspectos identificados por Ben-Zvi (2004), os estudos apresentados conseguiram trabalhar com a observação e o reconhecimento da variação (quase todos), com as diferentes maneiras de representar graficamente esta variação, mas sem utilizar uma medida (exceto para o estudo de Delmas e Liu (2005) que tratava especificamente do desvio padrão).
Ressalta-se que Ben-Zvi (2004) está denominando de aspectos de variação o que Snee (1990) denominou de elementos do pensamento estatístico e que Wild e Pfannkuch (1999) denominaram de pensamento fundamental do pensamento estatístico.
Desta maneira, o próximo subcapítulo discute os diferentes aspectos de variação e sua relação com os níveis de raciocínio sobre este objeto.
4.6 A Relação entre os Aspectos de Variação/Variabilidade com os Níveis de