La mujer en el aula: experiencias educativas

áreas (diferentes de área zero), e mesmo adotar uma unidade de área. O que significa isso em termos do que se conhece de Álgebra? Veja Corpo, p. ex., em [14], e verifique que a estrutura algébrica da composição de áreas é a de Corpo;6 _{bem como para comprimentos, para volumes, massas, etc.;}

note-se que para a comparação de áreas, para esse exemplo, é importante o inverso multiplicativo (cf. §2.6); o valor numérico (em R) da medida de uma grandeza física escalar quando comparada com outra grandeza de mesma natureza física é dada pela razão dos valores dessas duas grandezas (desde que associadas à mesma unidade), isso significa que se necessita considerar o inverso mul- tiplicativo da grandeza com a qual se compara (que pode ser qualquer grandeza perene de mesma natureza com medida não-nula).

Bem, nem toda grandeza física possui características de grandeza escalar, até mesmo (conforme veremos) a grandeza tão intuitiva quanto rapidez.

Independentemente do carácter da grandeza física, usaremos os seguintes conceitos:

⊲ composição de duas grandezas (de mesma natureza física) significa uma terceira grandeza que as substitui por uma única equivalente (as duas em conjunto) em efeito;

⊲ decomposição de uma (1) grandeza em duas (de mesma natureza física) significa substituí-la por duas outras que a compõem;

a decomposição de uma grandeza pode não ser única,7 _{enquanto a composição deve ser uma ope-}

ração matemática binária.

4.2

Necessidade de caracterização da álgebra de composição

de deslocamentos, de velocidades, de acelerações, de forças

4.2.1 Caracterização de grandezas vetoriais

Grandezas vetoriais são grandezas físicas cuja lei de composição se dá segundo a regra do paralelo- gramo, ou o equivalente à regra do paralelogramo,8_{i.e., conforme veremos, grandezas que admitem}

representação matricial e cuja lei de composição se dê por meio de adição de matrizes.

Da forma como você entende vetor atualmente é possível conceber vetor em espaço diferente de 3? Dimensão 1, 2, 4, 5, 7, 51, 1000, ∞?9

4.2.2 Deslocamentos no espaço físico

Usaremos o conceito de deslocamento no espaço físico para introduzir o conceito de vetor. Observe- -se que a grandeza “deslocamento da posição P_aocupada no instante t_apara a posição P_bno instante t_b” ganha aplicabilidade quando se define uma álgebra de composição para essas grandezas, ou seja, vetor é ente algébrico, i.e., o conceito de vetor está relacionado com uma estrutura algébrica bem caracterizada. (cf. Ap. B, [24], [21]) – O procedimento que indicamos adiante está detalhado em [14, §1.5].

6

Observe-se, por exemplo, uma página de papel milimetrado e as diversas áreas de retângulos que podem ser comparadas, compostas, decompostas, uma escrita em unidades de outra. . .

7

O que não traz qualquer inconveniente, lembre-se, p. ex., que 7 = 5+2 = 4+3 = 6+1 = 7+0.

8

A descoberta da regra do paralelogramo para forças foi realizada por Simon Stevinus (1548–1620), considerado engenheiro (militar), físico e matemático neerlandês – nascido em Bruges, atualmente na Bélgica–, em trabalho de 1586 para estudo preliminar de Estática dos Sólidos (cf. [53]), provavelmente antes de Galileu e seguramente antes de Newton. Há indícios de que essa propriedade fora sugerida por Leonardo da Vinci.

9

A caracterização de grandezas vetoriais como aquelas que possuem: (1) módulo, (2) direção e (3) sentido, se presta apenas para a primeira abordagem “didática”. Porém não está de acordo com outras grandezas para as quais se podem associar módulo-direção-sentido e que não são grandezas vetoriais (como, p. ex., rotação rígida no E3_{); além disso, essa}

caracterização, por meio de três itens, leva o estudante (esperamos que unicamente estudantes) a considerar apenas a possibilidade de vetores geométricos tridimensionais (em que plano, reta e ponto são subconjuntos, ou subespaços “palpáveis”). Para a Física e para aplicações tecnológicas, o conceito de vetor (e de grandeza tensorial) em “espaços” de dimensão qualquer é de grande importância, mesmo para situações em que não se associa módulo a esse vetores.

Not

as

de

Aula

em

reda

ção

# Álgebra de composição de deslocamentos no espaço físico.

# Álgebra de decomposição de deslocamentos no espaço físico (elemento simétrico da lei de com- posição).

# A comutatividade da composição de deslocamentos, em contraste com a não-comutatividade da composição de rotações de um corpo rígido.

# Contraste com a não-comutatividade da composição de rotações rígidas. # _{Elemento neutro da álgebra de composição de deslocamentos.}

# _{Deslocamentos paralelos: composição e representação. (Grandezas vetoriais paralelas.)} # Elemento simétrico pela lei de composição.

# Caracterização algébrica de grandeza vetorial como qualquer grandeza de mesma natureza física que se componha segundo a regra do paralelogramo ou o equivalente.

# Representação algébrica de grandezas vetoriais por meio de composição vetorial, usando o conceito de vetores paralelos.

# Representação matricial de grandezas vetoriais e a lei de composição de duas grandezas em termos de suas representações matriciais, estabelecimento de isomorfismo entre vetores e matrizes (coluna ou linha) de representação.

# O equivalente à regra do paralelogramo – composição por meio da representação estabelecida por meio de isomorfismo.

# Conceito de base, dependência linear, independência linear.

# Justificativa para a representação geométrica de vetores no plano e no R3 por meio de seg- mentos orientados.

# Destacar, mais uma vez, que um vetor é um elemento de uma estrutura algébrica definida sobre um corpo.

Se |wi é uma grandeza vetorial e β uma grandeza escalar, então a grandeza β |wi = |ui é vetorial e |ui = β |wi e |wi são vetores paralelos.

4.2.3 Velocidade no espaço físico

Pretendemos definir quantitativamente velocidade a partir do conceito qualitativo e intuitivo de rapidez. Desde a antiguidade se sabe distinguir se um movimento (ou qualquer outra ocorrência) foi mais rápido(a) ou mais lento(a) do que outro(a), fixaremos atenção nos movimentos.

Para fixar ideia fiquemos restritos a movimentos que ocorram sobre um segmento de reta, sem perda de generalidade, conforme veremos em aula seguinte (cf. §5.2); p. ex., movimentos de carrinhos sobre trilhos retilíneos ou de contas em um arame retilíneo.10

Ensaiemos diversos movimentos; saberemos ordená-los do menos rápido ao mais rápido? Cer- tamente sim.11 _{Como os avaliar numericamente de acordo com essa classificação?}

Bem, a primeira coisa a se observar é que de outras grandezas (mensuráveis) dependem dessa classificação de rapidez. Deve ser bem conhecido há milênios que um grupo de competidores em uma corrida (atletas, cavalos, bigas, etc.), partindo em formação por mesmo caminho (pista), os mais rápidos chegam primeiro. Sabemos hoje que podemos nos concentrar nos conceitos primitivos, por exemplo: os associados com as unidades de base do SI. Mas quando se definiu pela primeira vez não havia ainda esse conhecimento.

# Velocidade média e velocidade instantânea, fazendo uso do conceito de deslocamento em um segmento de reta e do intervalo de tempo correspondente a esse deslocamento.

10

A regra do paralelogramo se encarregará em nos dizer como definir o vetor velocidade, a partir dos conceitos aqui discutidos.

11

Note-se que essa classificação ordenada significa que tratamos com grandezas físicas de mesma natureza, portanto comparáveis e mensuráveis.

Not

as

de

Aula

em

reda

ção