3. Utvikling og validering av en modell for miljøgifter i Mjøsa
3.2 Inngangsdata
Com a finalidade de analisar o desempenho dos alunos em questões envolvendo o conceito de semelhança, aplicamos um pré-teste em alunos de duas classes de 1ª série do Ensino Médio que, supostamente, já estudaram o conceito de semelhança no Ensino Fundamental.
O objetivo do pré-teste foi verificar os conhecimentos anteriores do aluno com relação ao conceito de semelhança. Além de diagnosticar esses conhecimentos e, posteriormente, adequarmos a seqüência de ensino, essa avaliação serviu de parâmetro para indicar, ao final da seqüência, se ocorreu a construção dos conceitos pretendidos, por intermédio de um novo teste (o pós-teste). Antes de realizar a análise de nosso pré-teste, apresentamos o público-alvo.
3.4.2 Público-alvo
Realizamos a experimentação numa escola particular do município de São Vicente, no estado de São Paulo. A escola apresenta turmas de Educação Infantil, ensinos Fundamental e Médio e cursos de graduação.
Aplicamos o pré-teste nas duas classes da 1ª série do Ensino Médio que funcionam no período da manhã, as quais chamamos de grupo E (experimental) e grupo C (controle). A escolha da classe, para o grupo experimental levou em conta a adequação dos horários da aplicadora e da observadora.
Antes de aplicar o teste, entregamos um questionário16 com o objetivo de
conhecer um pouco os alunos que participariam da pesquisa. No grupo E, havia 39 alunos e, no grupo C 32, alunos17, com idades entre 14 e 15 anos, sendo 52,1% meninas e 47,9% meninos.
16 Em anexo.
17 Estes números equivalem à quantidade final de alunos que consideramos em nossa pesquisa
A maioria dos alunos (77,5%) fez o Ensino Fundamental na própria escola, enquanto 4,2% vieram de escolas municipais e outros 18,3% de outras escolas particulares da região. Nessa escola, adota-se, para todas as séries, um sistema apostilado de ensino, desde a Educação Infantil até o final do Ensino Médio.
A professora que lecionou para esses alunos no Ensino Fundamental relatou, numa entrevista, que na 7ª série foi trabalhado o conteúdo de congruência, enquanto na 8ª série foi trabalhado o conteúdo de semelhança de triângulos, porém em nenhum momento foi apresentado o conceito de homotetia.
Também entrevistamos o professor de Arte, que nos disse que havia abordado a homotetia apenas de forma artística, sem trabalhar diretamente as propriedades envolvidas. Segundo o professor, o objetivo de suas atividades era apenas ampliar e reduzir imagens quaisquer através da utilização de uma simples técnica.
3.4.3 Análise a Priori do Pré-teste 3.4.3.1 Introdução
As questões do teste envolvem conceitos de semelhança para triângulos, polígonos em geral e figuras não-poligonais nos seguintes aspectos:
• justificativa da semelhança ou não semelhança entre as figuras; • cálculo de valores desconhecidos em triângulos;
• aplicação do conceito de semelhança em situação contextualizada.
Com o objetivo de facilitar futuras análises, dividimos o pré-teste
conforme o esquema abaixo:
QUADRO 7 – ESQUEMA EXPLICATIVO DO PRÉ-TESTE
A análise do teste está dividida em três categorias que se referem às
condições necessárias e suficientes para a semelhança, em cálculos de valores desconhecidos em triângulos sobrepostos e opostos pelo vértice e em questão contextualizada de formação de sombra
Para a realização das atividades, acreditávamos que os alunos poderiam encontrar algumas dificuldades, tais como: não-percepção das condições necessárias e suficientes para a semelhança entre figuras, não-percepção da aplicação do conceito de semelhança, montagem da proporção, aplicação da propriedade fundamental da proporção, resolução de equação e simplificação de fração. A seguir, realizamos a análise a priori das questões aplicadas no pré-teste. 3.4.3.2 Parte 1 – Condições necessárias e suficientes
O objetivo geral dessa parte do teste foi verificar o conceito de semelhança para polígono qualquer e para não-polígono, que consta das questões 1, 2, 3 e 4.
PRÉ-TESTE Condições necessárias e suficientes Cálculo de valores desconhecidos Aplicação do conceito de semelhança em questão contextualizada Quadriláteros, triângulos, outros polígonos e figuras não-poligonais Triângulos Sobrepostos Segmento na paralela e na transversal Opostos pelo vértice Segmento na paralela e na transversal Formação de sombra com fonte puntiforme Questões 1, 2, 3 e 4 Questão 5 Questão 6 Questão 7
Questão 1
Podemos afirmar que os quadriláteros ABCD e EFGH abaixo são semelhantes? Justifique. a) c)
b)
FIGURA 13 – QUESTÃO 1 DO PRÉ-TESTE
O objetivo dessa questão foi verificar se o aluno aplica o conceito de semelhança de figuras para quadriláteros. Esperávamos que os alunos apresentassem dificuldade na utilização das condições necessárias e suficientes para a semelhança em quadriláteros, visto ser necessário verificar se as duas condições (proporcionalidade entre os lados homólogos e congruência dos ângulos correspondentes) são satisfeitas.
No item a, o aluno poderia afirmar que os polígonos são semelhantes, especialmente se observar somente a relação proporcional entre os lados e não verificar que dois ângulos correspondentes não são congruentes. No item b, esperávamos que os alunos percebessem facilmente que os retângulos são semelhantes, devido à proporcionalidade dos lados e à congruência dos ângulos. No item c, apresentamos apenas os valores dos ângulos dos dois polígonos. Nesse caso, não podemos afirmar a semelhança entre os quadriláteros.
pensarem que os quadriláteros são semelhantes devido à congruência dos ângulos, pois para a semelhança entre triângulos essa condição é suficiente.
Questão 2
Podemos afirmar que os triângulos ABC e DEF são semelhantes? Justifique. a) b) c) d) e) f)
FIGURA 10 – QUESTÃO 2 DO PRÉ-TESTE
O objetivo dessa questão foi verificar se o aluno aplica o conceito de semelhança de figuras para triângulos. Nos itens a, b e c, consideramos os casos LAL, AA e LLL de semelhança em triângulos. Pretendíamos verificar se os alunos conheciam as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam
semelhantes, ou seja, se conseguiam perceber que, para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que tenham:
• dois lados homólogos proporcionais e os ângulos entre eles congruentes; • dois ângulos correspondentes congruentes;
• os lados homólogos proporcionais.
Acreditávamos que os alunos poderiam apresentar dificuldades no item d, no qual não é possível afirmar que os triângulos são semelhantes, devido ao fato de serem dados somente as medidas de dois lados desses triângulos.
Nos itens e e f, apresentamos a representação de dois triângulos semelhantes nos casos AA e LLL em forma não-homotética18. Pretendíamos verificar, com essas questões, se as posições dos triângulos interferem na percepção da semelhança, considerando que nos itens anteriores (b e c) as configurações são apresentadas de forma homotética.
Questão 3
Coloque F (falso) e V (verdadeiro) para as afirmações abaixo. Explique por quê. Você também pode fazer um desenho para justificá-la.
a) Dois triângulos são sempre semelhantes.
b) Dois triângulos regulares são sempre semelhantes. c) Dois retângulos são sempre semelhantes.
d) Dois quadrados são sempre semelhantes. e) Dois pentágonos são sempre semelhantes.
f) Dois pentágonos regulares são sempre semelhantes.
FIGURA 15 – QUESTÃO 3 DO PRÉ-TESTE
Nessa questão, não apresentamos a representação geométrica da situação e solicitamos aos alunos que realizassem o esquema ilustrativo, com o objetivo de colhermos os mais variados dados para nossa análise.
Pretendíamos verificar se eles percebiam que dois polígonos regulares, com o mesmo número de lados, são sempre semelhantes, pois são satisfeitas as condições de proporcionalidade dos lados homólogos e da congruência dos ângulos. Pensávamos que os alunos poderiam apresentar dificuldade por não lembrarem ou
não saberem que os polígonos regulares com mesmo número de lados apresentam os ângulos internos congruentes.
Outra questão importante que pretendíamos analisar novamente é o fato de que, para a existência da semelhança entre dois quadriláteros, é necessário que sejam satisfeitas as duas condições da definição do conceito. Ao colocarmos as afirmações de que dois quadrados e dois retângulos sempre são semelhantes, acreditávamos que poderíamos obter dados interessantes que auxiliassem nossa análise.
Questão 4
Estas figuras são semelhantes? Justifique sua resposta.
FIGURA 16 – QUESTÃO 4 DO PRÉ-TESTE
Essa questão tinha como objetivo verificar o comportamento do aluno diante de uma situação não-tradicional. As garrafas não são semelhantes, pois as duas tampas são iguais, apesar de as garrafas apresentarem tamanhos diferentes.
Outro objetivo, nessa questão, era verificar se o aluno possuía apenas um conceito tradicional de semelhança de figuras (que é a verificação das razões dos lados das figuras e a congruência dos ângulos) ou se possuía uma concepção de que uma semelhança é uma transformação geométrica e, portanto, a percepção de
17 cm 34 cm
4,5 cm 9,0 cm 3 cm
que quaisquer dois segmentos correspondentes nas duas figuras têm de ser proporcionais.
3.4.3.3 Parte 2 – Cálculo de valores desconhecidos
O objetivo geral dessa parte do teste foi a determinação de valores desconhecidos em triângulos. Para a realização da análise das questões referentes aos triângulos, utilizamos três pontos de vista19, relacionados em pesquisa realizada por Guy Brousseau (1995), na qual foram analisadas as variáveis didáticas relacionadas com a apreensão do teorema de Thales.
• Ponto de vista 1 – Conservação das abscissas
Exprime que as relações entre segmentos contidos em uma mesma transversal não dependem dessa transversal mas, sim, das paralelas consideradas.
FIGURA 17 – FIGURAS DOS PONTOS DE VISTA
• Ponto de vista 2 – Conservação da relação de projeção
Exprime a igualdade de razões entre medidas de segmentos correspondentes determinados por duas transversais.
BB' CC' AB' AC' AB AC = = AC' AC AB' AB C' B' // BC =
• Ponto de vista 3 – Dilatação
Exprime a igualdade de razões entre medidas de segmentos contidos nas paralelas e nas transversais.
AB AB' BC C' B' =
Aos postos de vista apresentados por Brousseau, acrescentamos o ponto de vista que se refere à semelhança entre os triângulos AB’C’ e ABC.
BC AB C' B' AB' = Questão 5
Determine x e y na figura, sendo DE//BC
FIGURA 18 – QUESTÃO 5 DO PRÉ-TESTE
Nessa questão, tínhamos como objetivo verificar se os alunos associam a condição de as retas serem paralelas com a semelhança entre os triângulos ABC e ADE, bem como se aplicam a definição de semelhança ou, diretamente, o teorema de Thales, sem estabelecerem relação com o conceito de semelhança de triângulos para determinar os valores desconhecidos nos triângulos sobrepostos. O valor de x se refere à medida de segmento na transversal, e y se refere ao segmento formado na paralela.
A apreensão perceptiva20 dessa questão em dois triângulos semelhantes pode causar dificuldade devido à sobreposição dos triângulos. O cálculo do valor de y também apresenta uma certa dificuldade, pois se limita apenas ao ponto de vista da dilatação e de semelhança de triângulos. O cálculo do valor de x apresenta mais
facilidade, pois pode ser calculado pelos quatro pontos de vista. A seguir, realizamos as resoluções possíveis para a determinação dos valores de x e y.
PONTOS DE VISTA RESOLUÇÃO 1 RESOLUÇÃO 2 RESOLUÇÃO 3
Conservação das abscissas x 8 5 6 = 11 5 8 = + x x 8 8 6 11 +x = Conservação da relação de projeção x 5 8 6 = x x + = 8 11 5 8 6 8 11 = + x Dilatação para o cálculo de y 11 6 4 = y Semelhança de triângulos y 11 4 6 =
QUADRO 8 – ALGUMAS POSSÍVEIS RESOLUÇÕES PARA O CÁLCULO DE X E Y EM TRIÂNGULOS SOBREPOSTOS
Há uma certa dificuldade com relação à apreensão perceptiva nesse tipo de configuração, pois é preciso uma decomposição para percebermos a sobreposição dos triângulos ABC e DEF.
No que diz respeito ao cálculo de um segmento na transversal, a apreensão perceptiva pode favorecer a aplicação do teorema de Thales, sem que haja, necessariamente, a percepção da semelhança entre os triângulos. Para o cálculo do valor da medida de um segmento formado na paralela, é necessário observar a semelhança entre os triângulos que estão sobrepostos ou utilizar o ponto de vista da dilatação, fato que faz com que esse cálculo seja mais difícil de ser realizado.
Questão 6
Determine x e y na figura, sendo DE//BC
Apresentamos, nessa questão, uma outra configuração em que o aluno deveria determinar os valores de x e de y. O valor de x se refere à medida de segmento na transversal, e y se refere ao segmento formado na paralela. Conforme pesquisa realizada por Charalambos, o índice de acerto, nesse tipo de questão, é inferior ao da questão de triângulos sobrepostos (questão anterior).
Nosso objetivo era verificar se o aluno associava a condição de as retas serem paralelas com a semelhança entre os triângulos ou com o teorema de Thales. Também pretendíamos verificar como o aluno aplica a condição de proporcionalidade entre os lados homólogos dos triângulos, nos casos em que é necessário calcular a medida de um segmento paralelo e de um segmento na transversal. O cálculo do valor de y, que se encontra em um segmento paralelo, somente seria possível com a utilização do ponto de vista da dilatação ou por semelhança de triângulos, enquanto o cálculo do segmento x, que se encontra na transversal, seria possível utilizando-se dos quatro pontos de vista.
Para esse caso, triângulos opostos pelo vértice, a apreensão perceptiva dos dois triângulos é mais simples do que o caso dos triângulos sobrepostos, porém a apreensão operatória apresenta uma certa dificuldade no que diz respeito à realização da montagem da proporção, pois os lados correspondentes dos dois triângulos apresentam-se em lados opostos.
A seguir, segue um quadro-resumo das resoluções dessa questão, conforme os pontos de vista por nós utilizados.
QUADRO 9 – ALGUMAS POSSÍVEIS RESOLUÇÕES PARA O CÁLCULO DE X E Y EM TRIÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Pontos de vista Resolução 1 Resolução 2
Conservação das abscissas 4 4 5 15 + = x 4 5 10 x = Conservação da relação de projeção 4 5 4 15 = + x 4 5 10 = x Dilatação para o cálculo de y 5 10 6 = y Semelhança de triângulos 5 6 10 y =
Analisando a utilização do ponto de vista da conservação das abscissas, acreditávamos que os alunos não teriam muita dificuldade, pois os triângulos estão em oposição em relação a um vértice comum (esse vértice pode facilitar a percepção dos lados correspondentes). Considerando a aplicação do ponto de vista da conservação da relação de projeção e do ponto de vista da dilatação, achávamos que ficaria mais difícil aplicar corretamente o teorema de Thales ou a semelhança, pelo fato de os lados correspondentes dos triângulos não estarem na mesma posição. Nesse caso, seria necessário uma maior atenção na apreensão operatória para a aplicação correta das propriedades.
3.4.3.4 Parte 3 – Aplicação
O objetivo geral dessa parte do teste, que é formada pela questão 7, era verificar como o aluno age diante de uma situação contextualizada envolvendo o conceito de semelhança.
Questão 7
É fixada uma lâmpada puntiforme em uma sala que tem uma mesa quadrada de lado 2,0m, conforme figura abaixo. Responda as questões, sabendo que as distâncias da fonte até as extremidades da mesa, AO e OB, medem 3m cada uma e que as distâncias da extremidade da mesa até a extremidade da figura formada pela sombra, AC e BD, medem 1m cada uma.
a) Explique o porquê da formação da sombra.
b) Determine o comprimento do lado CD da figura formada pela sombra projetada.
FIGURA 20 – QUESTÃO 7 DO PRÉ-TESTE
Nosso objetivo era verificar a realização do cálculo de valor desconhecido
O
A B
sobre a formação de sombra. A questão também tinha como objetivo estudar algumas habilidades e atitudes:
• Leitura e interpretação de texto: o aluno teria de ler e interpretar um texto escrito da área de Ciências, bem como esboçar uma resolução de um questionamento proposto.
• Conversões entre os registros discursivo, gráfico e algébrico: na interpretação do enunciado, o aluno deveria perceber a figura como uma representação da formação da sombra devido à propagação retilínea da luz. Com a observação da figura, é possível perceber a relação proporcional entre os segmentos e determinar o valor solicitado.
Pensávamos que muitos alunos não teriam a concepção de que a formação
da sombra ocorre devido à falta de luz naquela região. Conforme pesquisa realizada por GONÇALVES (1995, p. 8), alguns alunos, por volta de 14 anos, ainda supõem que as sombras são um outro tipo de imagem com existência concreta e não consideram que as imagens são formadas pelo bloqueio da luz.
Para o cálculo do valor do comprimento do segmento CD que representa a sombra, o aluno teria de verificar a semelhança dos triângulos sobrepostos OAB e OCD. Pelo fato de já sabermos, por pesquisas realizadas (Charalambos, Haruna), que os alunos apresentam dificuldades no cálculo do valor do segmento formado na paralela, acreditávamos que também iriam apresentar dificuldades no cálculo do valor solicitado. Outro fator que também poderia dificultar a resolução é o fato de essa situação não ser comum para o aluno.
3.5 ANÁLISE A POSTERIORI