3. Utvikling og validering av en modell for miljøgifter i Mjøsa
3.3 Evaluering av modell mot observasjoner
Após a aplicação do pré-teste com alunos de duas classes da 1ª série do Ensino Médio, realizamos a análise de dados, usando a estatística descritiva e procurando interpretar as tabelas e gráficos que representam as informações recolhidas.
3.5.2 Análise Geral das Questões
Nas tabelas, quadros e gráficos utilizados em nossa pesquisa, as questões foram subdivididas conforme a tabela abaixo.
OBJETIVO
1a Verificar se os quadriláteros são semelhantes – Ângulos diferentes e dois lados
proporcionais.
1b Verificar se os quadriláteros são semelhantes –- Lados proporcionais e ângulos
congruentes.
1c Verificar se os quadriláteros são semelhantes – Ângulos congruentes e lados
não oferecidos.
J1a Justificar a semelhança dos quadriláteros – Ângulos diferentes.
J1b Justificar a semelhança dos quadriláteros – Lados proporcionais e ângulos
congruentes.
J1c Justificar a semelhança dos quadriláteros – Ângulos congruentes e lados não
oferecidos.
2a Verificar se os triângulos são semelhantes – Caso LAL em posição não-
homotética.
2b Verificar se os triângulos são semelhantes – Caso AA em posição homotética.
2c Verificar se os triângulos são semelhantes – Caso LLL em posição homotética.
2d Verificar se os triângulos são semelhantes – Dados somente dois lados
proporcionais.
2e Verificar se os triângulos são semelhantes – Caso LLL em posição não-
homotética.
2f Verificar se os triângulos são semelhantes – Caso AA em posição não-
homotética.
J2a Justificar a semelhança dos triângulos – Caso LAL em posição não-homotética.
J2b Justificar a semelhança dos triângulos – Caso AA em posição homotética.
J2c Justificar a semelhança dos triângulos – Caso LLL em posição homotética
J2d Justificar a semelhança dos triângulos – Dados somente dois lados
proporcionais.
J2e Justificar a semelhança dos triângulos – Caso LLL em posição não-homotética.
J2f Justificar a semelhança dos triângulos – Caso AA em posição não-homotética.
3a Verificar a semelhança de triângulos.
3b Verificar a semelhança de triângulos regulares.
3c Verificar a semelhança de retângulos.
3d Verificar a semelhança de quadrados.
3e Verificar a semelhança de dois pentágonos quaisquer.
3f Verificar a semelhança de dois pentágonos regulares.
4a Verificar a semelhança de duas figuras não-poligonais.
4b Justificar a semelhança de duas figuras não-poligonais.
5a Cálculo do valor de segmento (x) transversal em triângulos sobrepostos.
5b Cálculo do valor de segmento (y) na paralela em triângulos sobrepostos.
6a Cálculo do valor de segmento (x) transversal em triângulos sobrepostos.
6b Cálculo do valor de segmento (y) na paralela em triângulos sobrepostos.
7a Explicação da formação da sombra.
7b Cálculo de valor desconhecido em situação de sombra.
O gráfico abaixo representa o percentual do desempenho dos alunos das turmas E e C em relação às sete questões.
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0% 1a 1b 1c J1aJ1bJ1c 2a 2b 2c 2d 2e 2f J2a J2b J2c J2d J2e J2f 3a 3b 3c 3d 3e 3f 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7b F re qüê nc ia ACERTOS E ACERTOS C
GRÁFICO 1 – PERCENTUAL DE ACERTO DOS GRUPOS E e C
Podemos observar, pelos resultados obtidos, que o índice de acerto da maioria dos itens foi menor que 50%. As questões que apresentaram maior índice de acerto foram 1b, 2b, 2c, 2f e 3d. Essas questões tratam, respectivamente, de semelhança em retângulos, semelhança em triângulos com ângulos congruentes e posição homotética, semelhança em triângulos com lados correspondentes proporcionais em posição homotética, triângulos semelhantes com ângulos congruentes em posição não-homotética e semelhança entre quadrados.
Também é importante relatar que os alunos, tanto do grupo de controle quanto do experimental, apresentaram uma maior facilidade na percepção de que os polígonos seriam semelhantes ou não e uma maior dificuldade na justificativa dessa semelhança.
Podemos perceber que os alunos apresentaram maior facilidade nas condições necessárias e suficientes para a semelhança. A parte relacionada aos cálculos dos valores desconhecidos (5a, 5b, 6a e 6b) foi a que apresentou maiores dificuldades aos alunos, seguida pela parte em que é necessária a utilização do conceito em situação contextualizada (7a e 7b).
A seguir, o gráfico que representa o percentual de erros dos alunos dos dois grupos. 0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0% 1a 1b 1c J1aJ1bJ1c 2a 2b 2c 2d 2e 2f J2a J2b J2c J2d J2e J2f 3a 3b 3c 3d 3e 3f 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7b F re qüê nc ia ERROS E ERROS C
GRÁFICO 2 – PERCENTUAL DE ERROS DOS GRUPOS E e C
Percebemos pelos resultados obtidos, os alunos apresentaram maiores dificuldades nas questões 1c, J1b, J1c, J2a, J2d, 4a e 4b, que se referem, respectivamente:
• à semelhança em quadriláteros em que foram dados somente os ângulos; • à necessidade da explicitação da congruência dos ângulos;
• à proporcionalidade dos lados para a semelhança de quadriláteros; • à justificativa da semelhança no caso LAL;
• à justificativa de não podermos afirmar a semelhança em triângulos com somente dois lados proporcionais;
• à semelhança em triângulos em posição não-homotética com lados correspondentes proporcionais;
• à semelhança em figuras não-poligonais e justificativa.
Observamos que as questões 5, 6, 7 e 8 não apresentaram índices muito altos de erro, porém o índice de questões não resolvidas foi muito elevado em relação às outras questões.
A seguir, o gráfico que representa o percentual dos alunos nas questões não realizadas. 0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0% 60,0% 70,0% 80,0% 90,0% 100,0% 1a 1b 1c J1aJ1bJ1c 2a 2b 2c 2d 2e 2f J2a J2b J2c J2d J2e J2f 3a 3b 3c 3d 3e 3f 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7b F re q Ü ên ci a
NÃO FEZ E NÃO FEZ C
GRÁFICO 3 – PERCENTUAL DE QUESTÕES NÃO REALIZADAS DOS GRUPOS E e C
Na análise dos resultados, verificamos que as questões nas quais era necessária a realização de cálculos foram as que apresentaram o maior índice de questões não realizadas. Entre elas, o cálculo do valor na paralela foi o que apresentou o maior índice.
Neste item, realizamos uma apresentação geral dos resultados obtidos nos dois grupos. A seguir, procuramos apresentar os principais resultados encontrados em cada uma das partes por nós divididas na análise a priori do pré-teste.
3.5.3 Análise da Parte Referente às Condições Necessárias e Suficientes
Na questão 1a, observamos que 35,9% e 37,5%, para as turmas E e C,
erraram a questão, ou seja, disseram que os quadriláteros são semelhantes. Suas justificativas relacionavam apenas a proporcionalidade dos lados correspondentes, não considerando a questão da desigualdade dos ângulos correspondentes.
Alunos de ambas as turmas obtiveram um maior número de acerto na questão 1b (84,6% e 78,1%, respectivamente). Porém, nas justificativas das
questões, apresentaram um baixo índice de acerto (10,3% e 6,3%). Suas justificativas ficaram em torno da questão de proporcionalidade entre os lados correspondentes, não percebendo provavelmente a necessidade da justificativa da congruência dos ângulos.
O maior índice de erro ocorreu na questão 1c, com 79,5% e 93,8% para as turmas E e C, respectivamente. Acertos na questão (alunos que disseram que não poderíamos afirmar que os quadriláteros são semelhantes) ocorreram para 6 alunos da turma E e 1 aluno da turma C. No caso dos dois quadriláteros, nenhum aluno deu como justificativa o fato de não ser possível afirmar que são semelhantes devido ao fato de não conhecermos os valores dos lados.
Visualmente, as medidas das bases parecem ser iguais, enquanto os outros dois lados paralelos, nos dois paralelogramos, são visivelmente diferentes. Quanto às justificativas realizadas, consideramos correta somente a resposta do E42 (“Não, pois as medidas dos quadriláteros não estão em proporção.”). Esse aluno utilizou a percepção visual em sua resposta, pois as medidas dos lados dos quadriláteros para a realização de tal justificativa não foram dadas.
Na questão 2, nos itens 2b (caso AA) e 2c (caso LLL) temos figuras em que
os triângulos encontram-se na posição homotética, e nas questões 2e e 2f temos configurações de triângulos em posição não-homotética. Percebemos que os alunos tiveram mais facilidade para verificar a semelhança no caso AA e no caso LLL para triângulos em posição homotética.
A resolução da questão 2e envolve o uso do caso LLL com os triângulos em posição não-homotética. Nesse caso, o índice de acerto foi bastante inferior ao da questão 2c. Alguns valores na configuração 2e apresentam-se na forma decimal, fator que pode influenciar na percepção da razão existente. Na questão 2c, os valores dos lados são números inteiros, o que torna provavelmente mais fácil a percepção da razão de semelhança nos triângulos.
Verificando as justificativas realizadas pelos alunos, observamos que a condição que apresenta menor dificuldade é o caso AA. Para esse caso, a posição dos triângulos não parece ser uma dificuldade à percepção da semelhança.
Apenas a resposta do aluno C4 (“Sim, pois o ângulo é igual e a medida das laterais do menor é 3 vezes menor que o maior.”) deixou explícito que seriam semelhantes devido à
congruência do ângulo compreendido entre os lados correspondentes. As outras respostas (8 alunos) diziam que poderíamos afirmar devido à congruência do ângulo e à proporcionalidade dos lados correspondentes, não explicitando que o ângulo é o formado pelos lados proporcionais conhecidos.
A maioria das justificativas para essa questão ficou em torno da congruência dos ângulos ou da proporcionalidade dos lados. Bastou um ângulo para os alunos dizerem que os demais seriam congruentes. Outro tipo de resposta colocava que os lados eram proporcionais, sem justificar que o terceiro lado seria proporcional devido à congruência do ângulo entre os dois lados proporcionais.
Para a questão 2d, cuja figura apresentava apenas dois lados proporcionais de dois triângulos, 41% e 37,5% dos alunos acertaram, dizendo que não poderíamos afirmar que os triângulos são semelhantes. A maioria das justificativas ficou em torno das medidas serem diferentes. Outra resposta referiu-se ao fato de os triângulos serem diferentes e houve, ainda, uma terceira relacionada às formas diferentes. Entre os alunos que disseram que não poderíamos afirmar a semelhança, encontramos três respostas que se aproximaram de uma melhor justificativa para a questão.
E02 – “Não, pois seus ângulos são diferentes.”
E06 – “Apesar das medidas serem proporcionais, um triângulo é isósceles e o outro é escaleno.” E14 – “Não. Porque apesar dos lados serem proporcionalmente iguais os ângulos são diferentes.”
Esses alunos parecem se apoiar na percepção visual da figura ao dizerem que os triângulos possuem ângulos diferentes (E2 e E14) e que um triângulo é isósceles e outro escaleno, pois não apresentamos essas medidas na questão. Entre os alunos que disseram que poderíamos afirmar que os triângulos são semelhantes (51,3% e 62,5%), a maioria justificou sua resposta dizendo que os triângulos seriam semelhantes devido à proporcionalidade dos lados. Podemos dizer que, para esses alunos, a condição de proporcionalidade entre dois lados de dois triângulos é uma condição suficiente para a semelhança.
Na questão 3, item 3c, obtivemos baixos índices de acerto (38,5% e 25%).
Alguns alunos que consideraram que a questão falsa justificaram suas respostas dizendo que nem todos os retângulos seriam semelhantes, pois teriam de ter os lados proporcionais. Muitos fizeram desenhos para justificar suas respostas. Outros alunos também consideraram falsa a questão, porém justificaram dizendo que os retângulos poderiam possuir lados diferentes.
Observamos que 56,4% e 71,9% dos alunos erraram a questão. Muitos deles, tanto do grupo experimental quanto do de controle, justificaram que todos os retângulos são semelhantes devido à congruência dos ângulos, pois todos têm 90º . Outros justificaram a resposta dizendo que os retângulos apresentam a mesma forma e, portanto, são semelhantes. Acreditamos que eles disseram ter a mesma forma devido à congruência dos ângulos, não importando a proporcionalidade das medidas dos lados.
Na primeira classe (grupo C) em que aplicamos o pré-teste, um aluno perguntou o que seria “regulares”. Falamos que o termo se referia ao polígono com lados congruentes. Dessa forma, na outra classe em que aplicamos o teste também oferecemos essa observação. Já prevíamos que os alunos não estariam familiarizados com o termo “triângulos regulares”.
Na questão 3b, obtivemos índices de acerto de 56,4% e 75,0% para os grupos E e C, respectivamente. Nas justificativas realizadas, encontramos alguns casos em que os alunos faziam referência à proporcionalidade dos lados nos dois triângulos. Poucos alunos indicaram a congruência dos ângulos, enquanto outros comentaram que seriam semelhantes por possuírem a mesma forma. Entre os alunos que erraram a questão, observamos a justificativa de que os triângulos com lados congruentes podem possuir ângulos diferentes.
Na questão 4, obtivemos um alto índice de erro (74,4% e 56,3%) para os grupos E e C, respectivamente.
Alguns alunos disseram que as garrafas são semelhantes, pois as medidas são proporcionais, sem levar em consideração as medidas das tampinhas, que permaneceram a mesma. Outra questão novamente levantada foi o fato de terem a mesma forma. O aluno E15, por exemplo, disse o seguinte: “Sim. Pelo formato e pelo seu
permaneceu com a mesma medida, o aluno insistiu em dizer que as garrafas seriam semelhantes.
Apenas 23,1% e 37,5% acertaram a questão, dizendo que as figuras não seriam semelhantes. A maioria das justificativas ficou em torno de que, para que a semelhança fosse possível, as tampinhas deveriam ter medidas com razão 2. 3.5.4 Análise da Parte Referente ao Cálculo de Valores Desconhecidos
As questões 5 e 6 foram as que obtiveram maiores índices de questões não realizadas. Para a questão 5 (triângulos sobrepostos), no que se refere ao cálculo do valor de x obtivemos índices de acerto de 10,3% e 6,3% para os grupos experimental e de controle, respectivamente. Com relação ao cálculo do valor de y, observamos baixo índice de acerto (2,6% e 3,1%) nas duas turmas.
Como previmos na análise a priori, o cálculo da medida do segmento na paralela (y) foi o que apresentou maior dificuldade. Para o cálculo da medida do segmento na transversal (x), tivemos melhores índices, em relação ao de y, talvez pelo fato de poder ser calculado pelos quatro pontos de vista.
Na questão 6, obtivemos melhores índices, em relação à questão 5, nas duas turmas. Para o cálculo do valor do segmento na transversal (x), tivemos índices de acerto de 20,5% e 15,6% nas duas turmas. Para o cálculo do valor do segmento na paralela (y), obtivemos índices um pouco melhores (23,1% e 25%) para as turmas E e C.
3.5.5 Análise da Parte Referente à Aplicação do Conceito em Situação de Formação de Sombra
Na parte 3 de nosso teste, aplicamos uma questão contextualizada (de sombra) com o objetivo de verificar como o aluno age diante de situações de aplicação do conceito de semelhança nesse contexto. Essa parte foi composta de apenas uma questão.
Na questão 7a, na qual tínhamos uma situação de formação de sombra com a utilização de uma fonte puntiforme, alguns alunos (38,5% e 25%, para os grupos E e C) apresentaram dificuldades na explicação da formação da sombra.
Também verificamos um índice considerável de questões não realizadas (23,0% e 34,4%) para os grupos E e C, talvez pelo fato de a questão não ser muito comum. Na questão 7b, na qual os alunos tinham de calcular o valor do comprimento do lado CD da figura formada pela sombra, tivemos índices de acerto muito baixos: 2,4% (1 aluna) para o grupo E e nenhum acerto para o grupo C.
Para realizar o cálculo do valor de CD , o aluno teria de interpretar a questão sob o ponto de vista da dilatação, visto CD ser um segmento formado em uma das paralelas em triângulos sobrepostos. Como apresentaram dificuldades no cálculo do valor do segmento formado na paralela em triângulos sobrepostos (5b), também apresentaram a mesma dificuldade na questão contextualizada.
3.5.6 Observações Gerais do Pré-Teste
Na realização do pré-teste, no que diz respeito às condições necessárias e suficientes para a existência de semelhança entre figuras, os alunos apresentaram mais facilidade na percepção da semelhança dos quadriláteros, quando são dadas as medidas dos ângulos e dos lados. Muitos alunos consideraram como condição suficiente para a existência de semelhança em quadriláteros o fato de os ângulos serem congruentes sem conhecimento dos valores dos lados.
Com relação à semelhança entre triângulos, os alunos apresentaram mais facilidade quando os triângulos foram colocados de forma homotética do que quando colocados de forma não-homotética.
Os alunos apresentaram mais facilidade na percepção da semelhança no caso AA do que no caso LLL, tanto em triângulos homotéticos quanto em não- homotéticos.
A congruência dos ângulos aparece como a propriedade mais importante ou, digamos, até suficiente para o aluno, com relação à sua percepção de semelhança, tanto para triângulos quanto para quadriláteros. Com relação ao triângulo, a condição é suficiente mas para quadriláteros não ocorre o mesmo. Devido a esse fato os alunos apresentaram alto índice de erro nas questões 1c e 3c.
como quando foram dadas apenas as medidas dos ângulos de dois quadriláteros, o que mostra que os alunos não parecem conhecer as condições necessárias e suficientes para a semelhança entre polígonos.
Muitos alunos disseram que as figuras não são semelhantes porque são diferentes ou porque possuem medidas diferentes. Na opinião deles, para duas figuras serem semelhantes é necessário que tenham as medidas congruentes, o que demonstra não apresentarem conhecimento sobre o conceito científico de semelhança.
Nos triângulos sobrepostos, o cálculo do valor na paralela foi o mais difícil para os alunos, enquanto nos triângulos opostos pelo vértice houve maiores índices de acerto para o cálculo do valor na paralela. Vale lembrar que essa melhora talvez se deva ao fato de que as medidas, nessa configuração, apresentam como valor da constante um número inteiro.
Nos exercícios para o cálculo dos valores desconhecidos, os alunos teriam que analisar e interpretar as diferentes configurações envolvidas nas representações figurais dadas, pois devido ao paralelismo dos lados eles deveriam verificar a propriedade da proporcionalidade, que não foi dada no enunciado do problema. Os baixos índices de acerto e os altos índices de questões não realizadas nas atividades podem evidenciar uma grande dificuldade na realização da apreensão discursiva da figura, no que diz respeito à montagem correta da proporção.
Para o cálculo dos valores desconhecidos, muitos alunos não perceberam que poderiam aplicar o teorema de Thales ou a propriedade da proporcionalidade dos lados correspondentes em triângulos semelhantes. Nas situações em que alguns alunos tentaram aplicar o teorema de Pitágoras para determinar esses valores, percebemos que eles não realizaram qualquer tentativa lógica de resolução.
CAPÍTULO 4
PROBLEMÁTICA E FUNDAMENTOS TEÓRICOS
4.1 INTRODUÇÃO
Nas análises realizadas sobre o objeto matemático “semelhança”, relatamos que esse conceito pode utilizar mais de uma forma de expressão: apresenta-se registrado em representações figural, discursiva e simbólica. Também verificamos várias noções que podem estar relacionadas a ele, além de aplicações no contexto matemático e no contexto da Física. Diante dessas inúmeras variáveis, nosso grande desafio, com relação à formação desse conceito, é escolher um caminho para o seu ensino-aprendizagem.
Neste capítulo, apresentamos, inicialmente, os problemas levantados sobre o ensino-aprendizagem desse conceito e definimos nossa questão de pesquisa, assim como as hipóteses consideradas. Por último, justificamos e fundamentamos a nossa problemática, utilizando-se do referencial teórico por nós adotado.
4.2 RESUMO DOS PROBLEMAS SOBRE O ENSINO-APRENDIZAGEM DO