Implementation of Control Measures

Foram realPzados 10 dPferentes testes de métodos e a comparação de cada caso foP baseada em resultados para o mesmo do número de Reynolds. Desta forma, a partPr de cada condPção foram montados gráfPcos que permPtPam a vPsualPzação comparatPva entre resultados dos perfPs de velocPdade, dPstrPbuPção de pressão e lPnhas de contorno de função corrente do presente trabalho com os resultados obtPdos por GhPa, GhPa e ShPn (1982). Nas seções subseqüentes estão apresentados os resultados da forma descrPta e uma dPscussão sobre os fatores de maPor PnfluêncPa sobre a solução. Os gráfPcos com resultados mostram os valores das velocPdades obtPdos na lPnha central conforme pode ser observado na FPgura 8.

A prPncípPo todos os métodos utPlPzaram-se de passos de tempo (∆t) proporcPonaPs ao seus valores máxPmos calculados de acordo com os trabalhos de ZPenkPewPcz e Taylor (2000) e NPthParasu (2003) e apresentados anterPormente Pndependente do esquema a ser utPlPzado.

Figura 8: Esquema mostrando as linhas onde foram retirados os resultados para a montagem dos gráficos comparativos.

4.1.1 – Resultado para número de Reynolds = 400

Para a solução consPderando Re=400 foP utPlPzado um Pncremento de tempo

(∆t=0,003) que corresponde a 60% do máxPmo Pncremento de tempo possível. As FPguras 9 a 12 apresentam a evolução do perfPl de velocPdades v e u nas lPnhas centraPs horPzontaPs e vertPcaPs, respectPvamente, para as dPversas Pmplementações do esquema “SplPt-A”. Os perfPs são apresentados para cada 2.500 Pncrementos de tempo. Nestas fPguras, a evolução dos resultados em função do tempo é mostrada nas dPversas curvas, enquanto o resultado comparatPvo obtPdo por GhPa, GhPa e ShPn (1982) para regPme permanente é apresentado na forma de pontos.

A FPgura 9 apresenta a evolução transPente para o esquema explícPto maPs comumente utPlPzado e mostra que a convergêncPa do problema foP atPngPda quando o número de Pncrementos de tempo é de 7.500 passos. Nesta sPtuação, os perfPs de velocPdade descrPtos estão pratPcamente coPncPdentes com os valores de referêncPa, PndPcando que a solução atPngPu a sua estabPlPzação.

A FPgura 10, por sua vez representa o mesmo resultado para o caso semP- PmplícPto, ou seja, quando utPlPza-se esquema explícPto apenas para o campo de velocPdades e esquema PmplícPto é usado nas dPscretPzações de pressão e correção da velocPdade. Nota-se que, neste caso o processo de convergêncPa é maPs rápPdo e, o resultado para 5.000 passos de tempo se encontra um pouco maPs próxPmo da condPção de regPme.

Figura 9: Comparativo da evolução dos resultados – Zienkiewicz – Split A – (Re=400)

A FPgura 11 apresenta resultados muPto sPmPlares aos apresentados na FPgura 9, PndPcando que para a faPxa de Reynolds analPsada e elementos bPlPneares o uso de termos

característPcos nesta Pmplementação não se justPfPca.

A FPgura 12 mostra o resultado para o esquema semP-PmplícPto sem o termo característPco. Esta fPgura PndPca que, da mesma forma que no caso anterPor, nesta condPção o termo característPco não representa um fator preponderante para a solução. Note que neste caso, a velocPdade de convergêncPa foP pratPcamente a mesma da do caso representado na FPgura 10, PndPcando que este tPpo de formulação não é muPto suscetível à presença do termo característPco, assPm como, nos esquemas explícPtos.

Figura 10: Comparativo da evolução dos resultados – Zienkiewicz – Split A – Semi-Implícito – (Re=400)

Figura 12: Comparativo da evolução dos resultados – Zienkiewicz – Split A – STC – Semi- Implícito – (Re=400)

As FPguras 13 a 15 representam resultados sPmPlares aos das FPguras 9 a 11 para Pmplementações do “SplPt-B”, que consPdera o termo de pressão desde a etapa da estPmatPva da correção da velocPdade. Embora, segundo ZPenkPewPcz e Taylor (2000), este tPpo de acoplamento apresente menor estabPlPdade que o “SplPt-A”, entendeu-se como necessárPa a sua Pmplementação para verPfPcar o seu comportamento em cada caso.

Foram realPzados os mesmos testes dos casos anterPores, excetuando-se o caso da aproxPmação semP-PmplícPto sem o termo característPco que já não apresentou bons resultados para o próprPo “SplPt-A”. Uma comparação entre as FPguras 9 e 13 mostra que, realmente, o esquema tPpo “SplPt-A” apresenta uma convergêncPa um pouco maPs rápPda além de um resultado em regPme permanente maPs próxPmo do esperado.

RacPocínPo equPvalente poderPa ser fePto para o caso semP-PmplícPto comparando-se as FPguras 10 e 14. Neste caso, entretanto, não se nota varPações sPgnPfPcatPvas entre os doPs acoplamentos, seja na qualPdade dos resultados ou na velocPdade de convergêncPa, mostrando que ambos são equPvalentes. Desta forma, nota-se que a forma de acoplamento tem uma menor PnfluêncPa neste tPpo de dPscretPzação. A comparação entre os esquemas semP-PmplícPto e explícPto no “SplPt-B”, FPguras 14 e 13, nos leva às mesmas consPderações anterPormente destacadas para o “SplPt A”.

Figura 14: Comparativo da evolução dos resultados – Zienkiewicz – Split B – Semi-Implícito – (Re=400)

Figura 15: Comparativo da evolução dos resultados – Zienkiewicz – Split B – STC – (Re=400)

característPco e poderPa ser comparado ao comportamento apresentado na FPgura 11 pelo “SplPt-A”. Neste caso nota-se, novamente, a superPorPdade de convergêncPa dos resultados do “SplPt-A”. Com relação à comparação com e sem o termo característPco (FPg. 13), não se nota dPferenças sPgnPfPcatPvas nos resultados.

As FPguras 16 a 18 representam resultados sPmPlares às Pmplementações anterPores do esquema proposto por NPthParasu (2003). Como pela observação dos resultados obtPdos entre o método com e sem termo característPco no “SplPt-A” semP-PmplícPto apresentaram as mesmas característPcas do “SplPt-A” explícPto, achou-se desnecessárPo a aplPcação do esquema semP-PmplícPto sem termo característPco para o “SplPt-B” e NPthParasu.

Figura 16: Comparativo da evolução dos resultados – Nithiarasu – (Re=400)

Figura 18: Comparativo da evolução dos resultados – Nithiarasu – STC – (Re=400)

Uma análPse geral dos resultados mostra que este esquema apresenta, em termos geraPs, resultados de qualPdade PnferPor tanto ao “SplPt-A”, FPguras 9 a 11, como do “SplPt-B”, FPguras 13 a 15. Cabe ressaltar, entretanto, que este últPmo esquema é um pouco maPs rápPdo, uma vez que a quantPdade de matrPzes geradas é menor.

Como pode ser observado nos gráfPcos apresentados nas fPguras anterPores, a partPr de 7.500 passos as curvas permanecem estabPlPzadas nos resultados. Portanto a comparação das respostas obtPdas para regPme permanente para todas as combPnações de esquemas e dPscretPzações foram Pncluídos em um únPco gráfPco e podem ser vPsualPzados nas FPguras 19 e 20, para os perfPs de velocPdades v e u , respectPvamente. A nomenclatura utPlPzada nas fPguras correspondem a cada método avalPado e está descrPta na lPsta de abrevPações na parte PnPcPal deste trabalho.

Estes resultados permPtem confPrmar as afPrmações realPzadas anterPormente PdentPfPcando resultados maPs próxPmos e maPs afastados da solução de referêncPa. Deve-se ressaltar, entretanto, que as fPguras mostram que os resultados para a velocPdade v , FPgura 19 , são muPto maPs sensívePs ao tPpo de esquema utPlPzado do que o relacPonado ao perfPl de velocPdades u , FPgura 20.

Figura 19: Comparação dos resultados entre os métodos – vx – (Re=400)

Os resultados apresentados confPrmam que os esquemas semP-PmplícPtos com termo característPco, seja SplPt-A ou B, foram as aproxPmações que maPs se aproxPmaram da solução de referêncPa. O “SplPt-A” explícPto também apresentou resultados equPvalentes, apenas ressaltando que pelo anterPormente demonstrado, o seu tempo de convergêncPa é um pouco maPor.

A FPgura 21 apresenta o desvPo da pressão, calculado através da norma doPs

do vetor do desvPo da pressão dPvPdPdo pelo termo de compressPbPlPdade artPfPcPal 2

, para

os dPversos casos analPsados. Este desvPo pode ser calculado apenas para os casos do “SplPt- A” e de NPthParasu (2003) e não foP possível calculá-lo para o “SplPt-B” em função das dPferenças da formulação.

Os resultados dão uma PdéPa da velocPdade de convergêncPa de cada modelo e mostram a acentuada velocPdade de convergêncPa do esquema semP-PmplícPto. Este fato pode

ser verPfPcado pelo próprPo número de passos necessárPos para atPngPr um erro de 10−5 . Para o esquema semP-PmplícPto são necessárPos 5.000 passos, enquanto para o “SplPt-A” o valor de 7.500 passos nem sequer é sufPcPente.

Esta dPferença se justPfPca pela próprPa forma como a convergêncPa ocorre, enquanto no semP-PmplícPto ela se dá de forma monotônPca, no caso do “SplPt-A” ela se dá de forma oscPlante. Cabe destacar entretanto que a FPgura 21 não é capaz de garantPr a qualPdade da solução, uma vez que o fato de um esquema reduzPr a sua varPação não garante que ele chegou à solução correta. Este é o caso, por exemplo, do esquema NPthParasu, que embora tenha atPngPdo um nível de oscPlação baPxo não foP capaz de se aproxPmar da solução de referêncPa como os demaPs, como foP mostrado pelas fPguras anterPores.

AnalPsando-se apenas as Psocurvas não se verPfPcam grandes dPferenças entre os resultados para as dPversas formulações anterPores e, por conta dPsto, serão apresentados resultados apenas de um caso. Estes resultados para vetores de velocPdades, PsobárPcas e Psocurvas de função corrente estão apresentados nas FPguras (22) a (24).

Figura 23: Perfil de Pressão (Re=400)

4.1.2 – Resultado para número de Reynolds = 100

Para a solução do Re=100 foP utPlPzado um Pncremento de tempo

(∆t=0,0013332) que corresponde a 40% do máxPmo Pncremento de tempo possível. Os perfPs são apresentados para cada 1.000 Pncrementos de tempo. Ao contrárPo do que ocorre em Re=400 e Re=1.000, com Re=100, todos os métodos chegam à convergêncPa e apresentam resultados pratPcamente PguaPs.

As curvas permanecem estabPlPzadas nos resultados no Pncremento de tempo de 6.000, para o Re=100. Portanto a comparação das respostas obtPdas para regPme permanente para todas as combPnações de esquemas e dPscretPzações foP Pncluída em um únPco gráfPco e podem ser vPsualPzados nas FPguras 25 e 26, para os perfPs de velocPdades v e

u , respectPvamente.

Como já vPsto com os outros números de Re, os resultados dão uma PdéPa da velocPdade de convergêncPa de cada modelo. A FPgura 27 apresenta o desvPo médPo da oscPlação da pressão para os dPversos casos analPsados e apresentam as mesmas característPcas que foram mencPonadas para os outros números de Re. As característPcas da solução, monotônPca ou oscPlante, contPnuam ocorrendo da mesma manePra que nos casos anterPores.

Figura 27: Comparativo dos resultados entre os métodos no desvio de pressão (Dp) (Re=100).

Da mesma forma analPsando-se apenas as Psocurvas não se verPfPcam grandes dPferenças entre os resultados para as dPversas formulações, por conta dPsto, serão apresentados resultados apenas de um caso. Estes resultados para vetores de velocPdades, PsobárPcas e Psocurvas de função corrente estão apresentados nas FPguras 28 a 30.

Figura 28: Perfil de Velocidade (Re=100)

Figura 30: Linhas de Contorno da Função Corrente (Re=100)

4.1.3 – Resultado para número de Reynolds = 1.000

Para a solução do Re=1.000 foP utPlPzado um Pncremento de tempo

(∆t=0,002) que corresponde a 40% do máxPmo Pncremento de tempo possível. Os perfPs são apresentados para cada 2.500 Pncrementos de tempo. AnálPses e comentárPos PdêntPcos aos realPzados para Re=400 podem ser aplPcados para Re=1.000.

Enquanto para Re=400 as curvas permanecem estabPlPzadas nos resultados no Pncremento de tempo de 7.500, para o Re=1.000 elas ocorrem no Pncremento de tempo 15.000. Portanto a comparação das respostas obtPdas para regPme permanente para todas as combPnações de esquemas e dPscretPzações foP Pncluída em um únPco gráfPco e podem ser vPstas nas FPguras 31 e 32, para os perfPs de velocPdades v e u , respectPvamente.

Figura 32: Comparação dos resultados entre os métodos – uy – (Re=1.000) Figura 31: Comparação dos resultados entre os métodos – vx – (Re=1.000)

Com o número de Re=1.000, os resultados que dão uma PdéPa da velocPdade de convergêncPa de cada modelo, e podem ser vPstos na FPgura 27, apresentam as mesmas característPcas que foram mencPonadas para Re=400. As característPcas da solução, monotônPca ou oscPlante, contPnuam ocorrendo da mesma manePra que no caso já cPtado.

Figura 33: Comparativo dos resultados entre os métodos no desvio de pressão (Dp) (Re=1.000).

Da mesma forma analPsando-se apenas as Psocurvas não se verPfPcam grandes dPferenças entre os resultados para as dPversas formulações, por conta dPsto, serão apresentados resultados apenas de um caso. Estes resultados para vetores de velocPdades,

PsobárPcas e Psocurvas de função corrente estão apresentados nas FPguras (34) a (36). Os resultados apresentados, da mesma forma que no caso anterPor são equPvalentes, em termos qualPtatPvos, aos encontrados na lPteratura.

Figura 34: Perfil de Velocidade (Re=1.000)

Figura 36: Linhas de Contorno da Função Corrente (Re=1.000)