Significado Parte-Todo
Na literatura baseada em Nunes et al (2003), a ideia presente nesse significado é a da partição de um todo (contínuo ou discreto) em n partes iguais, em que cada parte pode ser representada como n/1. Como já referendado neste significado apresentaremos exemplos para além das frações egípcias. Assim sendo, o recurso de dupla contagem não poderá ser o único a ser utilizado na tentativa de chegar a representação correta.
QUESTÃO 4
Caroline repartiu sua barra de chocolate em cinco partes iguais e deu dois pedaços a Pedro. Que fração representa a
quantidade de chocolate que Pedro recebeu? 100 % de respostas aceitáveis
Situações como as expostas acima, principalmente a de número 4, apresentam dificuldade restrita e fazem parte, de forma sistemática, das vivências dos docentes investigados. Em relação à questão 5, a metade dos professores relacionou 2/6 a 1/3 mostrando uso da noção de equivalência, relação cuja experiência no sexto ano possibilita o uso dessa tecnologia. Observando-se as considerações feitas no enfoque anterior pode-se ratificar a presença de representações tipo porque essa atividade é usual nas práticas pedagógicas.
Em se tratando da questão 4, justamente por ser a mais usual, algumas ponderações tem sido feitas, tais como, as citadas por Campos et al. (1995) e Kerslake (1996) ao afirmarem que a ênfase nessa abordagem pode trazer limitações à compreensão do conceito de números fracionários por evidenciar os aspectos perceptivos em detrimento dos lógico- matemáticos, o que corrobora os autores já citados no enfoque invariante. Essa crítica surge com o propósito de chamar atenção para as práticas didáticas em que predominam o significado parte-todo (fração unitária) como significado quase exclusivo do conceito de fração.
Mesmo mediante essa chamada de atenção, não se pode negar a contribuição desse significado ao pensamento matemático, principalmente na questão da formação da linguagem fracionária, Kieren (1988) e Nunes e Bryant (1997), que visam orientar a aprendizagem ao domínio da imagem de dupla contagem implicando: (a) contar as partes em que o inteiro foi dividido (denominador) e, (b) contar quantas dessas partes foram consideradas (numerador). Isso significa dizer que o recurso de dupla contagem é importante quando o objetivo é iniciar a formação da linguagem fracionária, porém é preciso observar que, quando se pretende construir um pensamento ligado aos elementos lógico-matemáticos, esse recurso é limitado para compreender situações que envolvem o conceito de área.
Conforme Vergnaud (1993) ressalta, a ênfase no contexto parte-todo em situações de quantidades contínuas com representação visual marcante pode centrar a aprendizagem somente no aspecto de dupla contagem, ao invés de orientar o pensamento para a divisão de “n” partes e sua representação matemática 1/n.
Corroborando a ideia que a ênfase no ensino de números fracionários pelo domínio perceptivo é limitante, autores como Escolano e Gairín (2005) chamam atenção para o uso da cardinalidade frente ao processo de dupla contagem (identificação das partes) no significado parte-todo de frações unitárias, uma vez que na identificação de um número fracionário o aluno pode considerar aspectos como a cardinalidade e, assim, passa a identificar cada um dos identificadores da fração (numerador e denominador) como número natural.
Essa atitude pode minimizar a compreensão de atributos como a conservação da área e a omissão da grandeza utilizada e, assim, o sujeito acaba por não sentir a necessidade de inserir em seus procedimentos nenhuma estrutura numérica superior à estrutura dos números naturais, como exige a notação a/b.
QUESTÃO 5
Numa loja para presentes há 4 bonés vermelhos e 2 azuis. Que fração representa a quantidade de bonés azuis em relação ao total de bonés?
100% de respostas aceitáveis (dos 21 participantes, 11 relacionam 2/6 a 1/3)
QUESTÃO 3
Renato ganhou duas barras de chocolate. Dividiu-as em 6 partes iguais e comeu certa quantidade (parte hachurada). Que fração representa a quantidade de chocolate que Renato comeu?
Considerando a situação-problema posta, comente a resposta apresentada abaixo:
R = Renato comeu 11/12. 12 Respostas aceitáveis: 57,1%
Como já foi apresentado anteriormente, a ideia de fração advinda da concepção de fração unitária apresenta domínio por parte dos docentes, contudo, em relação a ideia que extrapola o inteiro é possível perceber alguns equívocos. Nove docentes (14,8%) tiveram a compreensão de que, na questão 8, o inteiro seria 16/16,considerando nesta situação o uso de fração imprópria ou de número misto, como é possível indicar que o professor usou um referencial para cada subitem.
Das notações apresentadas, chama atenção alguns protocolos de respostas como é o caso do professor PG, que considerou como correta a resposta 4/12. A partir desse resultado, é possível dizer que o docente ao ter que considerar o inteiro como 16/8, em virtude da representação figural, tendo a dificuldade de reconstruir o inteiro na fração imprópria, pois ao
registrar a notação:
+ =
induz dizer que o docente considerou cada pizza como inteiro. Nota-se que, além de considerar um novo todo, o docente utiliza uma técnica que não condiz com as regras de soma de frações homogêneas ao somar os denominadores reforçando as recomendações de Nunes (2005) sobre representação visual.Outra resposta que também chama atenção vem a ser a do professor PE registrando e a resposta do professor PQ que considera oito oitavos como todo-referência. Mas, como a representação visual apresenta duas pizzas o referido professor divide o todo por dois, como exposto ( 6/8 : 2 = 3/4), concluindo que a parte não consumida corresponde a
¾
das suas pizzas. Outros professores, como por exemplo, PR e PN confundem o todo-referência, assumem 8/8 como todo, registrando 6/8 como a parte de pizza não consumida e, assim, passa a considerar apenas uma das pizzas. Com tais procedimentos, é possível dizer que os professores ao considerarem apenas uma pizza explicitam uma visão de fração como fração unitária.Pelo exposto, há indicação de que a representação visual parece ter contribuído para respostas não aceitáveis, como pode-se verificar a resposta do professor PH.
A forte ênfase da representação visual no ensino de fração tem sido investigado como elemento estruturante do pensamento matemático. Autores como Marshall (1993), Sweller e
P.H: Está certo, pois as barras foram divididas em 6 partes cada,