O aluno vindo do curso primário e admissão, tem no curso de Aritmética uma continuidade e aprofundamento desses conteúdos, mas, em tempo algum, aprendera Álgebra. Assim, os cálculos realizados na resolução de problemas organizam-se sempre aritmeticamente. Em nossos dias, a resolução aritmética foi banida, em muitos casos, em beneficio de uma maior simplicidade na resolução. Veja-se por exemplo a seguinte questão: A diferença dos quadrados de dois números consecutivos é 729.457; quais são esses números? Hoje resolveríamos facilmente montando uma equação da forma
(
+1) ( )
2− 2=729457x
x .
Agora, note-se como é resolvida a questão, por um aluno, em 1924, num Exame Final de Aritmética de 2a época, 2o ano:
Mesmo que o aluno tenha idéia de como resolveria o problema, fica muito difícil confirmar a resposta através de uma prova, pois os números são tão grandes que dificultam o cálculo, mesmo usando uma calculadora seria impossível visualizar todos os dígitos no visor.
Tentando determinar os dois números pedidos no problema, o aluno inicia pela soma de 729 457 com ele mesmo, obtendo 1 458 914. Para confirmar a soma, ou talvez pensar em uma provável solução, tira a prova real e logo abaixo torna a fazer a mesma soma. Novamente soma 729 457 a 1 458 914 e extrai a raiz quadrada do número obtido. Com este cálculo não consegue nada, então tira a raiz quadrada do número obtido inicialmente 1 458 914 e escreve como solução final 1 202 e 1 203.
O mesmo pode-se dizer do 2o exercício encontrado no Exame Final de 1927, um exame de 2a época:
Para resolvê-lo, montaríamos logo uma equação do tipo .40 5 2 40 40 − = x ,
determinando o valor de x, o que não ocorre na resposta dada pelo aluno como se observar a seguir:
Inicia o cálculo determinando 5 2 de 40. Do 40 subtrai seus 5 2 , dividindo-o
pelo resultado da subtração, 24. Como solução encontra a dizima periódica 1,666...
Outro que se enquadra no mesmo raciocínio, é o 2o problema da prova de novembro de 1929, um Exame de Promoção:
2) Qual o valor de um candelabro se a diferença entre os ¾ e os 2/5 dele é igual a 14$000?
Hoje resolveríamos com a equação 14000 5 2 4 3 = − x x encontrando x = 40000.
Já o aluno resolve o problema usando apenas o cálculo com as frações, como demonstra a figura seguinte:
Subtrai 5 2 4 3 e encontrando 20 7
. Para determinar o valor do candelabro
divide 14 000 por 20
7
fazendo: 14x20 = 280 e dividido por 7.
Do mesmo modo pode-se observar a prova do 2o ano de março de 1929, um Exame Final onde o 2o problema pede:
2) O produto de dois números é 240, se juntarmos 3 ao multiplicador o produto torna-se 276. Achar estes dois números.
Hoje, montaríamos um sistema como este:
(
)
= + = 276 3 240 y x xy encontrandoInicia fazendo a subtração de 276 e 240, correspondente ao produto de dois números, como afirma o enunciado. Como um dos números é acrescido de 3, divide o resultado da subtração, 36, por 3 obtendo 12, um dos números pedidos. Se o produto dos dois números é 240, então divide 240 por 12 para obter o outro número procurado.
Quando se monta uma equação, os cálculos realizados organizam-se num grau mais alto de abstração, o que não acontece com um exercício resolvido aritmeticamente. O aluno tem de compreender exata e concretamente o porquê da conta que está fazendo, por que subtrair ou dividir.
Em resumo as questões escolhidas para os exames do curso de Aritmética de 1920 a 1930 giravam em torno de:
• Juros e Descontos
• Frações, ordinárias e decimais.
• Raízes
• Divisibilidade
• Números primos
• Regra de três simples e composta
• Razão e proporção
• Sistema de medidas Inglesas
• Regra de mistura e liga
Os conteúdos do curso de Aritmética são de início, um aprofundamento dos conteúdos vistos no exame de admissão, onde somente eram cobrados os critérios de divisibilidade. No curso de Aritmética, além dos critérios de divisibilidade, era necessário saber demonstrar esses critérios. Para o exame de admissão o aluno deveria dominar: cálculos com frações ordinárias e decimais; problemas envolvendo razão e proporção; noções do sistema métrico e decimal e expressões numéricas envolvendo frações e números decimais, conteúdos que o aluno revia no curso de Aritmética e necessários para a continuação de seus estudos.
Esses conteúdos em forma de problemas ou questões, eram analisados pelos três professores examinadores que atribuíam notas às provas escritas e
orais, assinando-as também. Estas notas aparecem até 1925 no cabeçalho da prova. Desde 1926 as notas aparecem na margem direita da prova. Somente a partir de 1925 pode-se ver o certo ou errado marcado nas questões das provas escritas, e em raras ocasiões o valor atribuído a cada uma. Nunca consideravam totalmente correto um exercício com qualquer erro de cálculo, por menor que fosse. Em vista disso pode-se pensar que o objetivo do curso era a destreza para o cálculo, usando frações e raízes como ferramentas.
A observação dos exames escritos mostra que as maiores notas, durante toda a década, eram obtidas nas provas orais. Se o aluno era promovido, não era devido à nota da prova escrita, que na maioria das vezes variava entre um e três num total de dez19.
De 1920 a 1925 o aluno contava, para a promoção, com a nota da prova oral e a nota de conta do ano, pois apesar da nota da prova escrita ser muito baixa, a média composta com as três notas era o suficiente para a promoção. Já nos exames de 2a época, o aluno teria apenas a média aritmética da nota da prova escrita e oral.
De 1926 a 1930 ocorrem mudanças. De acordo com o decreto de 1926, a nota anual era obtida pela soma das notas do 1o bimestre com a média do 2o bimestre multiplicada por dois, a média do 3o bimestre multiplicada por três e a média do 4o bimestre multiplicada por quatro. O resultado seria dividido por 10. Pelo que se observa nos exames, o resultado final escrito na prova de promoção é apenas da nota dada pelos três examinadores da prova escrita. Já nos exames finais o resultado era obtido pela média aritmética da nota da prova escrita e da oral. Estes resultados são iguais aos que aparecem nos certificados de promoção.
Em virtude de se ter apenas uma nota, e o regulamento especificar para o primeiro ano apenas questões práticas, de 1926 a 1930, o exame de promoção contava com exercícios mais simples no sentido de aparecerem expressões com números menores, problemas com regra de três, porém direta, extrair raiz quadrada com números decimais e juros simples. Os exercícios das provas finais
19A comprovação desse fato pode ser verificada ao analisar as notas obtidas pelos alunos nos exames de
1926, 1927 e 1928. Num total de 75 alunos em 1926, 69 obtiveram nota da prova oral superior à da prova escrita. Em 1927, de 58, 41 alunos obtiveram notas maiores nas provas orais e em 1928, de 96, 87. Anexo 3.
eram problemas que envolviam regra de três inversa, demonstrações, raiz quadrada com frações na forma mista, etc.
Observando estes exercícios fica a impressão de que em alguns momentos houve a tentativa de modificar o modo de correção, ou seja, de considerar não somente a resposta correta. Deduz-se isto, em virtude das notas obtidas, apesar dos exercícios errados.
A Aritmética, analisada a partir das provas e exames, apresenta-se como um adestramento no cálculo. Cabe ao aluno desembaraçar-se o mais breve possível de questões que envolvem, em geral, grande quantidade de operações aritméticas, com números, muitas vezes, com muitos algarismos.
5.2- A Disciplina Álgebra
Cândido Gonçalves Gomide ministrou o curso de Álgebra durante toda a década de 1920. Nas palavras de Castrucci encontram-se alguns elementos que ajudam a conhecer melhor o professor:
Embora, tendo recebido um preparo quase totalmente profissional e técnico, com exceção do curso secundário, encontrou Gomide, no magistério a sua verdadeira vocação. Nasceu Candido Gonçalves Gomide, em Itapetininga, a 14 de agosto de 1892, onde fez os estudos primários e secundários, terminando o curso da Escola Complementar, em 1907. Vindo para São Paulo, com sua família, em 1920, era, em 1911, aluno da Escola Politécnica, de onde saiu, no 3o ano, a fim de seguir para a Europa. Ali, tendo refeito o Collège de Genebra em um ano, ingressou na École Polytechnique de Lausanne, transferindo-se em seguida para a de Toulouse, onde recebeu o grau de Engenheiro Eletricista, em 1927. Teve uma vida profissional muito rápida: trabalhou na estrada de ferro, em Agen, em 1919 e, depois, regressando ao Brasil, exerceu a profissão na Estrada de Fero Sorocabana. Em 1921, ganhava o concurso para a cátedra de Aritmética e Álgebra do Ginásio da Capital, vencendo brilhantemente notáveis concorrentes. Assim, durante quatro anos ouvimos o grande mestre desenvolvendo integralmente os programas de Aritmética e Álgebra20.
De acordo com o decreto de 1918, as primeiras noções sobre Álgebra seriam introduzidas já no 2o ano e se complementariam no 3o e 4o ano do curso ginasial. Porém, de acordo com os documentos e provas que analisamos, a Álgebra aparece, até 1926, apenas nos exames do 3o e 4o ano do curso. No 3o ano o aluno fazia um Exame de Promoção e, no 4o, um Exame Final.
Em 1926 o curso foi reorganizado e os alunos que ingressassem nessa data teriam o curso de Álgebra apenas no 3o ano do Ginásio (decreto de 1926). Os repetentes também seriam matriculados no novo regime. Então, Álgebra era a continuação dos estudos de Matemática no Ginásio da Capital, e seu programa pode ser observado a seguir.
20
Palestra proferida pelo professor Benedito Castrucci, na Sociedade de Matemática de São Paulo, em 16/12/1955.