Historicamente pode-se constatar a existência de uma fronteira entre a aritmética e a álgebra, promovida pelo trabalho desenvolvido e condicionado por cada uma dessas áreas. No conceito global, a aritmética está associada à manipulação de quantidades conhecidas, estando centrada nos algoritmos e nos procedimentos de cálculo. Por sua vez, o trabalho desenvolvido pela álgebra centra-se na resolução de problemas que envolvem quantidades desconhecidas, sendo esta área concebida como uma generalização da aritmética. O processo de generalização é uma das características do trabalho algébrico e corresponderá, segundo Blanton (2008), à descrição de uma regra geral sobre determinado conjunto de dados.
Relativamente ao trabalho que pode ser desenvolvido durante o ensino da aritmética, salienta-se a existência de uma relação biunívoca entre essa área da matemática e a aprendizagem da álgebra, considerando-se que há algo inerentemente aritmético na
álgebra e algo inerentemente algébrico na aritmética (Radford, 2012, p.2). Segundo
esta perspetiva, a álgebra está enraizada na aritmética, dependendo do raciocínio aritmético (Drijvers & Hendrikus, 2003), pelo que se entende que se deverá estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico desde os primeiros anos do ensino básico. Interessará compreender como se poderá trabalhar a aritmética e a álgebra como se tratassem de uma só área, procurando-se reconhecer semelhanças e fazer associações. Visando identificar e compreender as ligações e contribuições de uma área sob a outra, bem como dar sentido ao problema deste estudo, apresenta-se, seguidamente, uma abordagem contextual e histórica das duas áreas.
De acordo com Lins e Giménez (1997), para se compreender a razão das dificuldades promovidas pela aprendizagem algébrica deve-se começar por analisar as semelhanças
e diferenças existentes entre essas duas áreas da matemática, segundo três prismas distintos: o saber social - senso comum, a Matemática Académica e a Educação Matemática.
O saber social associa a aprendizagem aritmética à arte de contar, estando essa arte presente na etimologia da própria palavra. A origem do termo aritmética remonta ao grego, arithmetiké, e ao latim, arithmetica, o ramo mais antigo e elementar da matemática. Desenvolve o seu trabalho junto de números simples, determinados, lindando com propriedades e operações numéricas que contribuem para o desenvolvimento de atividades do quotidiano, tais como operações comerciais, podendo, igualmente, contribuir para a realização de cálculos numéricos mais
complexos1.
No campo da Matemática Académica, a aritmética parece estar associada à teoria dos números, cujo foco de estudo é a divisibilidade nos números inteiros, distinguindo-se em aritmética comum, associada ao cálculo com números determinados, e em aritmética literal, que inclui o cálculo com números representados por letras do alfabeto (Newman,1964).
No que respeita ao domínio da Educação Matemática, Lins e Giménez (1997) consideram que a aritmética contempla características determinantes para a realização do cálculo numérico, estando associada ao ensino de regras e técnicas. Segundo estes autores, os
conceitos matemáticos lecionados durante o ensino da aritmética implicam a
identificação de associações e relações quantitativas, a construção de algoritmos e o entendimento da divisibilidade, a manipulação, a apresentação de formas diferenciadas de representação, a utilização de regras, técnicas, destrezas e habilidades, bem como a aplicação de conjeturas e processos de raciocínio.
O ensino da aritmética acompanhou, à semelhança de outras áreas da Matemática, a evolução da ciência, ao procurar dar resposta a problemas do quotidiano. Lins e Giménez (1997) referem-se à existência de uma nova aritmética, a matemática discreta, cuja aplicabilidade se tornou visível através da criptografia, bem como da resolução de problemas de minimização, de iteração e de análise numérica. A aritmética passou, então, a trabalhar com outros números para além dos naturais, preocupando-se com o desenvolvimento de habilidades e destrezas que facilitam a resolução de problemas.
Considerando-se o trabalho desenvolvido pela álgebra e o interesse em estabelecer uma comparação entre esta área da matemática e a aritmética, segue-se um breve resumo da sua evolução histórica. Ter-se-ão em consideração os mesmos campos de análise
priveligiados na descrição da evolução da aritmética, designadamente o senso comum,a Matemática Académica e a Educação Matemática.
Foi Aahmesu, autor do papiro de Ahmes, que, ao procurar dar solução aos problemas do seu quotidiano, associou a álgebra ao trabalho com números desconhecidos. Segundo Boyer (1974), ele terá utilizado a chamada regra da falsa posição, um procedimento aritmético que envolve proporções e que parte de um número qualquer, denominado valor falso, para se obter o valor desejado da solução. Ahmes terá dado início ao estudo da álgebra retórica, caracterizada por problemas textuais, com total ausência de símbolos, para representar incógnitas. O exemplo que se segue, regra da falsa posição, exemplifica um desses problemas:
“ A idade da Ana, somada de outro tanto como ela, somada com a sua metade, com a sua terça parte e com a sua quarta parte dá o resultado 148. Qual é a idade da Ana?” Para aplicar a regra da falsa posição seguem-se os seguintes procedimentos:
(1) Escolher um número falso, por exemplo 12;
(2) Aplicar as operações indicadas no enunciado: 12 + 12 + 6 + 4 + 3 = 37; (3) Ajustar o valor:
Figura 2.1 – Regra da falsa posição
Com Diofante de Alexandria passaram-se a utilizar símbolos algébricos que abreviavam dados e operações, dando lugar à álgebra sincopada. As letras passaram a incógnitas, fazendo-se uso simultâneo de palavras e abreviações (Struik, 1989). A álgebra
geométrica surgiu com Euclides, o qual procurou substituir objetos e estruturas
algébricas por representações geométricas. As quantidades desconhecidas passaram a estar associadas a figuras geométricas (300 a.C), que constituíram um método eficaz para a resolução de problemas (Boyer,1974) e (Struik, 1989). No século VIII, al- Khowarizwi apresentou uma resolução muito semelhante à atual para as equações, utilizando apenas três elementos: raízes, quadrados e números. No entanto, não foi capaz de as expressar totalmente por símbolos, tendo isso acontecido mais tarde, como resultado das profundas mudanças por que passou a Europa na transição da Idade Média
para a Idade Moderna. Sequencialmente, as palavras que ainda eram utilizadas foram sendo substituídas por letras e sinais, como os operatórios, dando origem à álgebra
simbólica. Esta álgebra é dotada de um simbolismo próprio, em que o objeto de estudo
deixa de ser o procedimento, passando a ser a estrutura. Algumas palavras significativas representavam uma classe especial de símbolos, tal como pode constatar na figura seguinte:
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Contudo, foi com Viète (1540-1603) que os objetos de estudo deixaram de se relacionar apenas com problemas numéricos, dando-se início à utilização de expressões algébricas. Viète introduziu o uso sistemático de letras para indicar números desconhecidos e símbolos operacionais, aperfeiçoado, anos mais tarde, por Descartes (1596-1650) que criou a notação para expoentes.
Com Gauss (1777-1855) e Galois (1811-1832) desenvolveu-se a Teoria de Grupos, iniciando-se a álgebra moderna. Na segunda metade do século XIX, a álgebra adquiriu como principal objeto o estudo das estruturas algébricas abstratas, surgindo a teoria dos corpos com Kjummer e a noção de anel com Dedekind. No final do século XIX, os trabalhos desenvolvidos no âmbito da álgebra passaram a ter aplicações em outros campos da ciência, tais como na análise, na geometria, na mecânica e na física teórica (Chambadal,1978).
Atualmente, e de acordo com o lugar que a álgebra foi assumindo ao longo dos tempos, ela é entendida, pelo senso comum, como a área da matemática que trabalha com
equações que dão solução a determinados problemas3.
Por sua vez, a álgebra constitui um dos principais ramos da Matemática Pura, diferenciando-se em álgebra elementar e álgebra abstrata. A álgebra elementar
2 http://montalvoeascinciasdonossotempo.blogspot.pt/2010/12/fascinios-da-matematica- evolucao-dos.html, 06/06/14
3http://www.infopedia.pt/, 15/07/13
introduz o conceito de variável, a manipulação, operacionalização e a resolução de equações e, através da álgebra abstrata, a adição e a multiplicação são generalizadas e as suas definições exatas conduzem ao estudo das estruturas algébricas, as quais
englobam os conceitos de grupos, anéis, corpos e espaços vetoriais4.
No domínio da Matemática Académica, e de acordo com as definições apresentadas pelo “Atlas des Mathématiques” e da enciclopédia de Matemática (Newman,1964), a álgebra engloba o estudo das leis e dos processos formais de operações com entidades abstratas. Segundo Dienes (1961), Skemp (1978) e Wilson (1976), a importância da álgebra observa-se nas propriedades e nas estruturas da matemática, bem como na simplificação e na factorização de expressões algébricas. Por sua vez, para Radford (2006), a álgebra é um sistema caracterizado pela indeterminação dos seus objetos, pela natureza analítica do pensamento e pelas formas simbólicas de representar os
objetos.
De acordo com estudos desenvolvidos no campo da Educação Matemática, Lins e Giménez (1997) concluíram que a álgebra consiste num conjunto de afirmações possuidoras de significado numérico, associadas a operações aritméticas, igualdades e desigualdades, pelo que, segundo esses investigadores, deverá constar nos currículos escolares. Segundo Garcia (1997), a álgebra destaca-se por constituir-se como uma ferramenta essencial para a resolução de problemas, para além de ser entendida como objeto matemático indispensável ao desenvolvimento de outras disciplinas científicas. Para Souza e Diniz (1996), a álgebra é a linguagem da Matemática utilizada para expressar factos genéricos, tendo ao seu dispor símbolos, letras, sinais e regras próprias.
Lins e Giménez (1997) consideram que a álgebra não pode ser concebida unicamente de acordo com as suas características linguísticas e transformistas, próprias da manipulação e do cálculo algébrico, devendo também ser explorada no sentido do desenvolvimento do pensamento algébrico. Acrescenta-se que, segundo esta perspetiva, o desenvolvimento do pensamento algébrico é acessível aos alunos mais jovens, pelo que deve ser estimulado desde os primeiros anos do ensino básico. Após uma compreensão global do que trata a aritmética e a álgebra, e como essas evoluíram ao longo da história da matemática, aceita-se que devem ser vistas como duas faces da mesma atividade, pois a ideia de se tratar de áreas incompatíveis é
apenas aparente (Guimarães et al., 2006). A álgebra ajuda a compreender as relações
aritméticas, verificando-se que a própria aritmética tem vindo a adotar, para melhorar a compreensão dos alunos, a linguagem algébrica. A utilização de propriedades, tais
como a distributiva, 23 × 24 = (20 + 3) × (20 + 3), é um exemplo de como a álgebra tem vindo a ser utilizada para explicar algoritmos.
Em particular, alguns investigadores consideram que se deverá promover uma aprendizagem da aritmética e da álgebra que contemple o desenvolvimento do sentido do número (Borralho, Cabrita, Palhares & Vale, 2007), de modo a conduzir os alunos à produção de significados e à aquisição de competências que promovam a compreensão, a relação de dados e a aplicação de conhecimentos matemáticos a novas situações, preparando-os para responderem aos desafios de uma sociedade em constante e rápida mudança.
Em 1989, o NCTM considerou que para promover o desenvolvimento do sentido de número, seria necessário promover junto dos alunos: (1) o desenvolvimento dos conceitos elementares de número, incluindo os conceitos de cardinal e ordinal, (2) a exploração de relações numéricas, (3) a compreensão do valor relativo dos números, (4) o desenvolvimento da intuição do efeito que as operações têm nos números – sentido de operação – e (5) o desenvolvimento de referenciais para medir objetos comuns e situações do mundo que nos rodeia. Segundo esta perspetiva, o sentido do número relaciona-se com a compreensão dos números e suas operações e com os seus diferentes significados e relações. Anghileri (2001) valoriza a compreensão do modo como os números se relacionam entre si, as suas representações e significados, considerando que um aluno terá um bom sentido de número quando conseguir estabelecer relações diversas, tais como as presentes na igualdade: 12 = 10 + 2 = 20 − 8 = 2 × 6 = 4 × 3. Nesta situação, a produção de significados torna-se visível através da habilidade demonstrada pelo aluno ao estabelecer estas relações de igualdade.
Também McIntosh, Reys e Reys (1992), consideram que ter sentido do número significa possuir uma compreensão pessoal e global desse e das operações envolvidas, bem como ter habilidade para utilizar essa compreensão para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias úteis que permitam lidar com os números e com as suas operações. Para estes investigadores, ter sentido de número significa conhecer e utilizá-los com destreza para: (1) observar as regularidades e representações múltiplas, identificar o sentido de grandeza relativa e absoluta e o uso de sistemas de referência que permitam avaliar uma resposta ou arredondar um número; (2) operacionalizar, englobando a compreensão para relacionar o conteúdo matemático envolvente e os respetivos cálculos, a consciencialização da existência de múltiplas estratégias, a apetência para usar representações eficazes e (3) a sensibilidade para rever os dados e o resultado.
Por sua vez, entende-se que para valorizar, no ensino da aritmética e da álgebra, o desenvolvimento do sentido de número e a produção de significados, a aprendizagem
dos alunos não se pode reduzir à memorização e à aplicação de procedimentos lecionados de forma descontextualizada. Interessará, antes, estimular a identificação de relações quantitativas.
Síntese. Os raciocínios presentes no pensamento aritmético podem ser estimulados no
sentido da aprendizagem algébrica. O trabalho desenvolvido na aritmética está relacionado, na sua globalidade, com as relações numéricas e operacionalização, com a identificação e utilização de propriedades, bem como com a aplicação de procedimentos matemáticos, estando associado à resolução de problemas.Por sua vez, a álgebra é dotada de um simbolismo próprio, trabalhando com quantidades indeterminadas, estando, também, associada ao conceito de variável e à generalização. Considera-se que a álgebra deve ser trabalhada desde o ensino da aritmética, através da promoção do desenvolvimento do pensamento algébrico.