Este trabalho encontra-se organizado em seis capítulos, dos quais se apresenta, seguidamente, uma breve descrição.
O capítulo um contextualiza a investigação, os interesses e a experiência pessoal da investigadora. Na primeira secção são enunciados o problema, os objetivos do estudo e as questões de investigação. Na segunda secção enquadra-se e faz-se referência à relevância do estudo.
No capítulo dois surgem os referentes teóricos, diferenciados em três secções: (1) A transição entre a aritmética e a álgebra, (2) A dimensão individual, social e cultural da aprendizagem da álgebra e (3) O modelo teórico RBC+C – A influência do contexto na
abstração e na construção do conhecimento. Na primeira secção faz-se referência à
relação estabelecida entre a aritmética e a álgebra e às dificuldades promovidas pela transição para aprendizagem algébrica, sugerindo-se metodologias a adotar aquando do ensino da aritmética. Segue-se uma abordagem histórica da evolução das duas áreas, com apresentação de definições e referência à abrangência dos dois temas. São indicadas ruturas e filiações entre a aritmética e a álgebra, apresentando-se alguns resultados de investigações. As dificuldades dos alunos na aprendizagem da álgebra são também contempladas nesta secção, apresentando-se alguns exemplos dados por investigadores, visando uma aproximação ao problema do estudo. Segue-se uma abordagem às novas perspetivas curriculares, destacando-se o Early algebra. Relativamente ao desenvolvimento do pensamento algébrico faz-se referência à aritmética generalizada, ao pensamento funcional e ao pensamento relacional. Na
segunda secção faz-se uma abordagem introdutória aos aspetos que influenciam a aprendizagem de um aluno e que estarão relacionadas com o próprio indivíduo, com o meio social e cultural onde está inserido e com outros aspetos particulares que se inserem nestes e que dizem respeito aos currículos, à natureza das tarefas e à mediação promovida durante a aprendizagem. Na terceira secção apresenta-se o modelo teórico adotado, fazendo-se referência à influência do contexto na abstração e à construção do conhecimento. Apresentam-se definições para o termo abstração, destacam-se as ações epistémicas envolvidas no processo de abstração e dão-se indicações em relação ao contexto de aprendizagem.
O capítulo três respeita à apresentação da metodologia de investigação adotada,
iniciando-se com uma breve descrição da componente empírica do estudo e com
indicações sobre as opções metodológicas tomadas. É também neste capítulo que se efetua a caracterização dos alunos, da professora e do contexto envolvente e que se prestam informações acerca dos instrumentos de recolha de dados, dos procedimentos aplicados durante a análise de dados e da proposta pedagógica apresentada.
Com o capítulo quatro inicia-se a análise e apresentação dos resultados recolhidos, designadamente dos registos audiovisuais e dos registos escritos dos alunos e da professora. Este capítulo resulta da análise dos resultados de cada tarefa, interpretados de acordo com os modelos teóricos adotados e que respeitam ao desenvolvimento do processo de abstração na construção do novo conhecimento matemático, bem como à influência que a mediação possa ter nessa construção.
No capítulo cinco expõem-se os resultados da análise de terceira ordem, respeitante à análise transversal dos resultados apresentados no capítulo quatro e às características evidenciadas pelas subcategorias e categorias de análise definidas.
No capítulo seis apresentam-se as conclusões do estudo, procurando-se dar resposta às questões de investigação. Fazem-se considerações acerca dos modelos teóricos adotados, designadamente à utilização do modelo RBC+C (Dreyfus, Hershkowitz & Schwarz, 2001) para analisar como ocorre o processo de abstração na construção do novo conhecimento matemático e ao Ciclo didático de Bussi e Mariotti (2008) para descrever a influência da mediação estabelecida pela professora e entre alunos. Paralelamente, procura-se avaliar a relevância deste estudo e os efeitos que esse possa ter na prática educativa, prestando-se, igualmente, algumas recomendações.
Ultimando o trabalho, seguem-se o glossário, as referências bibliográficas e uma secção referente a anexos.
Capítulo 2
Referentes teóricos
As dificuldades evidenciadas pelos alunos durante a aprendizagem da álgebra têm merecido a preocupação de professores e investigadores. Alguns investigadores, tais como Guimarães, Arcavi, Gómez, Ponte e Silva (2006), consideram que essas dificuldades podem residir no facto da aritmética e da álgebra serem abordadas, em algumas situações, como duas áreas distintas, entre as quais não se estabelecem ligações. Radford (2012), por sua vez, acrescentou que a utilização de linguagem simbólica e a aplicação do pensamento analítico, presente quando se trabalha com quantidades indeterminadas, justificam também algumas das dificuldades manifestadas pelos alunos.
Algumas investigações traduzem a preocupação de se identificarem dificuldades e aplicarem metodologias que permitam melhorar o desempenho dos alunos. Realça-se a necessidade de estimular, nos alunos mais jovens, o desenvolvimento do pensamento algébrico e, em particular, o sentido do número (Ponte, 2006) e do símbolo (Arcavi, 2006), sugerindo-se a resolução de tarefas que incentivem a observação de regularidades e propriedades numéricas, a interpretação e utilização de linguagem simbólica, bem como a generalização de relações identificadas.
O conceito Early algebra ganha expressão, apresentando-se como proposta curricular a adotar nos primeiros anos do ensino básico. Nessa proposta, destacam-se as vantagens que resultam do desenvolvimento do pensamento algébrico, considerando-se ser uma oportunidade para os alunos mais jovens adquirirem formas de pensamento diferenciadas que permitam o trabalho e o desenvolvimento da compreensão significativa dos conceitos matemáticos trabalhados. Entende-se que ao trabalhar a aritmética com o sentido de compreender relações e propriedades numéricas, os alunos desenvolvem competências essenciais à aprendizagem da álgebra.
A resolução de tarefas exploratórias e de problemas de natureza algébrica são atividades valorizadas quando se pretende estimular o desenvolvimento do pensamento algébrico. Porém, para que os objetivos a que se propõem sejam atingidos pesará, igualmente, a assertividade revelada pelo professor na sua elaboração, apresentação e condução.
O presente capítulo encontra-se dividido em três subcapítulos. O primeiro faz referência à transição entre a aritmética e a álgebra dando, sobretudo, indicações
sobre como as duas áreas se devem relacionar para que as dificuldades de aprendizagem algébrica se atenuem. Neste, são ainda abordados aspetos relacionados com a evolução histórica destas duas áreas da matemática, fazendo-se referência às características que as diferenciam ou aproximam e às situações que poderão contribuir para a manifestação de dificuldades, por parte dos alunos, quando esses iniciam a aprendizagem da álgebra. É também nesta fase que se dá destaque à proposta curricular Early algebra, evidenciando-se os seus aspetos mais relevantes, e se desenvolve o conceito de pensamento algébrico. O segundo subcapítulo aborda a dimensão individual, social e cultural da aprendizagem, fazendo referência ao papel do professor, das ferramentas psicológicas e da mediação semiótica no processo de aprendizagem. Por fim, faz-se referência ao modelo teórico RBC+C (Dreyfus et al., 2001), tecendo-se considerações acerca do processo de abstração, de ascensão do abstrato ao concreto, das ações epistémicas envolvidas no processo de abstração e da influência do contexto na construção do novo conhecimento.