Gjøvik . Lillehammer.

Apresentamos, a seguir, análise de cada uma das questões da 2ª fase dos exames de 2001 a 2003 da UNICAMP e que envolvem Álgebra. As questões serão analisadas da mesma forma que fizemos para os exames da 1ª fase da UNICAMP e dos demais vestibulares analisados. Cabe ressaltar que as questões de matemática da 2ª fase da UNICAMP são dissertativas como ocorre na 1ª fase. É interessante observar que, nos três vestibulares que analisaremos, as questões de Álgebra correspondem à metade da prova de Matemática.

3.2.4.1 UNICAMP 2001

1. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Plano Custo fixo mensal_(R$) Custo adicional por minuto_(R$)

A 35,00 0,50

B 20,00 0,80

C — 1,20

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês? b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que

os outros dois? Comentário

Trata-se de uma questão apresentando conteúdos do Ensino Médio, na qual em cada item deve ser tomada uma decisão, utilizando-se de uma situação matemática estabelecida. No item a, é suficiente o candidato fazer cálculos

aritméticos e concluir qual é o plano mais vantajoso. Já no item b, o candidato precisa escrever três expressões, em função do tempo, que fornecem os respectivos custos, resolver duas inequações do 1° grau e, decidir qual é o plano mais vantajoso. Requer H4 (habilidade de ler e interpretar diferentes linguagens e representações envolvendo variações de grandezas) e H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). A principal dimensão da Álgebra envolvida é a Funcional (as letras são usadas para expressar relações). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; o contexto é matemático, e a questão não apresenta caráter interdisciplinar. A nota média foi 3,5.

2. Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?

b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? Comentário

É uma questão do Ensino Fundamental que envolve conceitos de Geometria Plana, mas a sua resolução é algébrica em que se utiliza, no item a, uma equação do 2° grau. O contexto é matemático, e exige H6 (habilidade de utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão apresenta caráter interdisciplinar (articulação entre eixos temáticos da Matemática), e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 3,5.

3. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.

a) Escrava o sistema linear que representa a situação descrita acima.

b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

Comentário

É uma questão do Ensino Médio apresentando uma situação-problema em que no item a solicita-se apenas escrever o sistema linear de três equações a três incógnitas, correspondente à situação descrita. O item b pede para resolver o sistema estabelecido no item a. O contexto é matemático e a questão exige H4 (habilidade de ler e interpretar diferentes linguagens e representações envolvendo variações de grandezas) e H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 2,4.

4. As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log8 (1 + t)6 e B(t) = log2 (4t + 4), onde a variável t

representa o tempo em anos.

a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior

que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.

Comentário

Trata-se de uma questão do Ensino Médio que envolve duas funções logarítmicas num contexto matemático. Essa questão requer a obtenção de valores numéricos das funções e também a resolução de uma inequação logarítmica. Requer H2 (habilidade de compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana) e H5 (identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter

interdisciplinar, e a principal dimensão da Álgebra envolvida é a Funcional (as letras são usadas como variáveis). A nota média foi 2,6.

5. Considere o polinômio p(x) = x3 _{– 2x}2 _{+ 5x + 26.}

a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio. b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x > –2.

Comentário

Esse item apresenta conteúdo do Ensino Médio envolvendo equação polinomial, números complexos e inequação do 2° grau, e o contexto é matemático. Requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis), o funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável, e a questão não apresenta caráter interdisciplinar. As dimensões da Álgebra envolvidas são a de Equação (as letras são usadas como incógnitas) e a Funcional (as letras são vistas como variáveis). A nota média foi 1,2.

3.2.4.2 UNICAMP 2002

1. Em uma empresa, 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais de 40 anos.

a) Quantos funcionários têm a referida empresa? b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?

Comentário

Essa questão do Ensino Fundamental apresenta uma situação-problema na qual o conteúdo necessário para a sua resolução é equação do 1° grau. Requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis), e o contexto é matemático. O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 3,8.

2. Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.

a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?

Comentário

Trata-se de uma questão do Ensino Médio envolvendo um sistema não linear de duas equações a duas incógnitas, e o contexto é matemático. Requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis) e H6 (utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos). É uma questão que apresenta uma Álgebra rotineira, porém bastante ampla. O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 1,9.

3. Uma piscina, cuja capacidade é de 120 m3, leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dados pela função V(t) = a(b – t)2 _{para 0 • t • 20 e V(t) = 0 para t • 20.}

a) Calcule as constantes a e b.

b) Faça o gráfico da função V(t) para 0 • t • 30. Comentário

Essa questão, cujo conteúdo é do Ensino Médio, e, de fato, bastante apropriada para alunos do Ensino Médio, apresenta uma situação-problema num contexto matemático, envolvendo cálculo de volume, em que a Álgebra é a parte predominante. Os conteúdos envolvidos de Álgebra são equação do 2° grau e função do 2° grau. Requer H2 (habilidade de compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana) e H6 (habilidade de utilizar e interpretar

modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão apresenta caráter interdisciplinar (articulação entre eixos temáticos da Matemática), e a principal dimensão da Álgebra envolvida é a Funcional (as letras são usadas como variáveis). A nota média foi 1,8.

4. Considere o sistema linear abaixo, no qual a é um parâmetro real:

     − = + + = + + = + + 3 az y x 2 z ay x 1 z y ax

a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível

b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem solução única.

Comentário

Trata-se de uma questão do Ensino Médio sobre sistema linear em que sua resolução recai numa equação do 3° polinomial grau. O contexto é matemático, e a questão requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são vistas como incógnitas). A nota média foi 1,2.

5. Considere a equação 2x + m22 – x – 2m – 2 = 0, onde m é um número real. a) Resolva essa equação para m = 1.

b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.

Comentário

Essa questão do Ensino Médio cujos conteúdos envolvidos estão relacionados à resolução de uma equação exponencial e uma equação polinomial

em que se tem, inicialmente, um parâmetro a se determinar apresenta um contexto matemático. Requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 0,6.

3.2.4.3 UNICAMP 2003

1. Suponha que uma tabela (incompleta) para o cálculo do imposto de renda fosse a seguinte:

Renda em reais % Parcela a deduzir em reais

• 1000 isento 000 1000 a 2000 15 150 2000 a 3000 20

• 3000 475

OBS.: O imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado para a parcela a deduzir.

a) Calcule os valores dos impostos a serem pagos por dois contribuintes, cujas rendas são de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00.

b) Escreva a tabela acima no caderno de respostas, completando-a com a parcela a deduzir para faixa de R$ 2.000,00 a R$ 3.000,00 e com a alíquota que corresponde à faixa de renda superior a R$ 3.000,00.

Comentário

Essa questão, cujo conteúdo é do Ensino Fundamental, apresenta uma situação-problema na qual os dados são fornecidos por uma tabela, os conteúdos necessários para a sua resolução são: porcentagem e equação do 1° grau. O contexto é matemático e a questão requer H2 (habilidade de compreender o

conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana) e H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 2,4.

2. Considere o conjunto S = {n ∈ IN: 20 • n • 500}.

a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7?

b) Escolhendo-se ao acaso um elemento de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7?

Comentário

Trata-se de uma questão do Ensino Médio em que é solicitado o número de múltiplos de 3 e de 7 e também de 3 ou de 7, num determinado intervalo de números naturais. Basicamente o conteúdo que aqui se exige é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. Requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis), e o nível do funcionamento do conhecimento é o mobilizável. O contexto é matemático; a questão não apresenta caráter interdisciplinar, e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 1,5.

3. O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA +

• 3βt_{, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado}

em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e • e β são

constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de – 18°C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a –16°C após 270 minutos.

a) Encontre os valores numéricos das constantes • e β.

b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas       3

Comentário

Uma questão do Ensino Médio sobre função exponencial em que seu contexto é matemático. A questão é bastante interessante no que se refere às habilidades exigidas: H2 (habilidade de compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana) e H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão apresenta caráter interdisciplinar (conexão com outras disciplinas), e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 1,2.

4. Seja a um número real e seja:

( )

          − − − − − = x 1 4 0 1 x a 0 2 1 x 3 det x p

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única raiz real.

Comentário

Esse item do Ensino Médio envolve o cálculo do determinante de uma matriz, mas o que predomina são os conteúdos de Álgebra, pois, o candidato é solicitado a resolver uma equação do 3° grau no conjunto dos números complexos e também uma inequação produto para se discutir o número de raízes reais da equação. A questão é bastante ampla é bastante ampla no que se refere à utilização de conceitos e propriedades matemáticas. Requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). Seu contexto é matemático; o funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável, e a questão não apresenta caráter interdisciplinar. As dimensões da Álgebra envolvidas são a de Equação (as letras são vistas como incógnitas) e a

Funcional (as letras são usadas como variáveis). A nota média foi 0,6. 5. Considere a função quadrática f(x) = x2 _{+ xcos• + sen• .}

a) Resolva a equação f(x) = 0 para

2 3 π =

α .

b) Encontre os valores de • para os quais o número complexo i 2 3 2 1 + é raiz da equação f(x) + 1 = 0. Comentário

Essa questão apresentando conteúdo do Ensino Médio, envolve conceitos de Trigonometria, mas os conteúdos de Álgebra são predominantes. No item a, o aluno é solicitado a resolver uma equação do 2° grau; e, no item b, comparecem conceitos e cálculos com números complexos e a análise de uma função do 2° grau. Uma questão cujo contexto é matemático, requer H5 (habilidade de identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis). O funcionamento do conhecimento é o de nível mobilizável; a questão apresenta caráter interdisciplinar (articulação entre eixos temáticos da Matemática), e a dimensão da Álgebra envolvida é a de Equação (as letras são usadas como incógnitas). A nota média foi 0,9.

3.2.4.4 Considerações gerais sobre os exames da UNICAMP - 2ª fase de 2001 a 2003

Pela análise das 15 questões de Álgebra, dos vestibulares da 2ª fase da UNICAMP, de 2001 a 2003, podemos constatar que a maioria delas apresentam conteúdos do Ensino Médio, e contextos matemáticos na forma de situação- problema. Quanto às habilidades, o que se observa na análise, é a predominância da H5 (Identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis), presente em 13 das 15 questões. Em geral, solicita-se do candidato conceitos e propriedades matemáticas, ao contrário do que ocorre nos exames da 1ª fase da UNICAMP analisados, onde constatamos, com maior freqüência, a

interpretação e análise de dados, bem como fazer previsões através de gráficos ou tabelas fornecidos.

Com relação ao nível de funcionamento do conhecimento mobilizado, classificação formulada por Aline Robert, as questões apresentam o nível mobilizável, pois os conhecimentos utilizados são bem identificados, mas necessitam de alguma adaptação ou de uma reflexão antes de serem colocados em funcionamento.

Quanto ao caráter interdisciplinar, conforme propõe Aline Robert (integração, articulação ou conexão entre grandes temáticos da Matemática, ou ainda, com outros temas curriculares), das 15 questões, 4 apresentam caráter interdisciplinar (3 com eixos temáticos da Matemática e 1 com outras disciplinas).

Vale ressaltar que as questões da 2ª fase abordam, em geral, conteúdos bastante relevantes com relação a requisitos necessários para o ingresso numa universidade. São eles: porcentagem, sistemas lineares, equações e inequações do 1° grau e, ainda, funções trigonométricas e logarítmicas.

A maioria das questões da 2ª fase da UNICAMP apresentam dois subitens para serem resolvidos, sendo que, em alguns casos, o segundo item é dependente do primeiro. Observa-se que as questões são tecnicamente bem construídas apresentando enunciados claros e precisos.

Quanto ao desempenho dos alunos na UNICAMP, a tabela 5, de percentuais de acertos das questões de Álgebra dos vestibulares analisados, sintetiza os resultados:

Tabela 5 - Percentuais de Acertos das Questões de Álgebra da UNICAMP - 2ª Fase

2001 2002 2003

Questões

Nota média Nota média Nota média

1 3,5 3,8 2,4

2 3,5 1,9 1,5

3 2,4 1,8 1,2

4 2,6 1,2 0,6

5 1,2 0,6 0,9

Obs.: Em cada questão a nota mínima atribuída é 0,0 (zero) e a nota máxima é 5,0.

Com base na tabela 5, podemos concluir que:

a) As questões com maior índice de acertos foram: 1 e 2, de 2001; 1, de 2002; 1 e 2, de 2003.

b) As questões com menor índice de acertos foram: 5, de 2001; 4 e 5, de 2002; 4 e 5, de 2003.

Analisando as questões que tiveram maior índice e as que tiveram menor índice de acertos, podemos concluir que:

1. Por serem questões dissertativas e não de múltipla escolha como no caso da FUVEST (1ª fase) e VUNESP (conhecimentos gerais), seu índice de acertos são menores, já que nas questões tipo teste o acerto pode ocorrer por exclusão de alternativas, eventualmente um “chute” certo e ainda devemos considerar que as alternativas, muitas vezes, dão uma indicação para os cálculos a serem efetuados.

2. As questões que apresentaram maior índice de acertos são as que exigem cálculos aritméticos ou porcentagens com dados fornecidos em forma de tabela. 3. As questões que apresentaram menor índice de acertos são até certo ponto

rotineiras, mas, em geral, para a sua resolução o candidato se depara com uma quantidade maior de conteúdos da Álgebra.

4. Observa-se que as questões em que o candidato é solicitado a discutir ou tomar decisões em função de um parâmetro apresentado, o índice de acertos da questão é baixo.

5. Quanto às habilidades requeridas, tanto as questões com maior índice quanto às de menor índice de acertos exigem, em geral, a utilização de conceitos, propriedades, técnicas matemáticas e reflexão para articular os dados.

6. Tanto as questões com maior índice de acertos quanto as de menor índice de acertos, todas elas apresentam o nível mobilizável de funcionamento do conhecimento.

7. Nesta análise, os conteúdos e o nível de dificuldade que aqui nos defrontamos, tanto nas questões de menor índice quanto nas de maior índice de acertos, estão bastante diversificados.

8. Com relação à interdisciplinaridade, tanto as questões com maior índice quanto as de menor índice de acertos, não apresentam caráter interdisciplinar.

9. Quanto ao contexto da questão, tanto aquelas de maior índice de acertos quanto as de menor índice de acertos apresentam contextos matemáticos que, aliás,é o que ocorre com todas as questões analisadas.

CAPÍTULO 4

UMA ANÁLISE DAS QUESTÕES DE ÁLGEBRA DO

EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO - ENEM

4.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, analisaremos as questões de Álgebra do Exame Nacional do Ensino Médio - ENEM nas versões de 2001 a 2003.

Assim como fizemos no capítulo anterior, com relação às questões de vestibulares, faremos o mesmo tipo de análise para as questões do ENEM. Assim, o objetivo desta análise é verificar, através das questões desse exames, os conteúdos envolvidos, os respectivos contextos e as habilidades exigidas para a resolução de cada item a fim de compará-los com as orientações dos PCNs. Analisaremos também o nível de funcionamento do conhecimento mobilizado, conforme propõe Aline Robert, bem como se a questão apresenta caráter interdisciplinar. Daremos o percentual de cada questão fornecido pelo ENEM.

Podemos constatar que as questões de Álgebra do ENEM têm participação bastante significativa nesses exames como podemos verificar na tabela 6, que mostra a incidência das questões de Álgebra nas provas de Matemática dos anos de 2001 a 2003 dessa instituição.

Tabela 6 - Incidências das Questões de Álgebra do ENEM 2001

(%) 2002(%) 2003(%)

Passamos a analisar as questões de Álgebra, sendo 3 do exame de 2001, 4 do exame de 2002 e 6 do exame de 2003.

In document [publikasjonen i pdf] (sider 135-144)