1 INNLEDNING
7.3 Fremtidig forskning
A sequência de Ensino foi composta de dez atividades que foram elaboradas e selecionadas em conjunto com a Doutoranda Maria Patrícia Freitas de Lemos, de tal forma que, no transcorrer da sequência, pudéssemos discutir suas resoluções, enaltecendo os significados de moda, média aritmética e mediana, procurando fazer com que as professoras participassem ativamente das discussões. O critério de escolha das atividades baseou-se em uma sequência crescente de dificuldades na introdução do conteúdo e das propriedades relacionadas à média aritmética, moda e mediana, fundamentadas nos autores que estudamos. Os nomes das professoras são fictícios para resguardarmos sua
privacidade. A sequência didática na integra encontra-se no apêndice deste estudo.
Atividade 1
Tenho quatro potes de balas, o pote A tem 5 balas, o pote B tem 8; o pote C tem 6 e o pote D tem 5.
Num quinto pote quero colocar uma quantidade de balas que represente a média dos quatro potes anteriores. Qual a composição do quinto pote para que ele apresente o número médio de balas dos quatro potes A, B, C e D?
Análise a priori
O objetivo da atividade é introduzir a idéia de média, segundo Novaes e Coutinho (2009), “como sendo o ponto de equilíbrio dos desvios dos valores da
distribuição. Além disso, a atividade envolve variáveis quantitativas e será
utilizada para apresentar as seguintes propriedades:
• A média é um valor que está entre os extremos da distribuição. • A soma dos desvios em relação à média é igual a zero.
Uma das estratégias que esperávamos que as professoras resolvessem a atividade, era por meio do algoritmo, ou seja, que somassem o número de balas e dividissem por quatro:
4 24 = X 6 = X
Portanto, no quinto pote, deveríamos ter 6 balas.
Outra estratégia que esperávamos das professoras, era por meio de uma representação lúdica utilizando um gráfico pictórico.
Não tínhamos a expectativa de que todas indicassem o significado de média, como o ponto de equilíbrio da distribuição, ou como o valor que melhor
representa um conjunto de valores. Nesse primeiro momento, esperávamos que elas justificassem a média somente por meio do algoritmo.
A respeito do tipo de variável, qualitativa ou quantitativa, esperávamos que as professoras tivessem dificuldades, em um primeiro momento, para diferenciar essas características, mas, após a discussão acreditávamos que isso fosse esclarecido.
Optamos que a estratégia para o processo ensino e aprendizagem deveria ter a participação ativa das professoras; portanto, as propriedades deveriam ser discutidas e enunciadas, com base em suas considerações e registros na lousa.
Segundo os níveis de funcionamento dos conhecimentos de Robert (1998): A atividade é dissertativa, o que sugere liberdade para a resolução podendo ser resolvida de mais de uma forma, e é apresentada na linguagem natural, é necessário conhecer o algoritmo da média aritmética ou ter noção de equidade de um conjunto de elementos.
Supõe-se que o saber é antigo, mas existe a possibilidade de algum participante não o conhecer completamente. Existem duas etapas, se realizada pelo uso do algoritmo da média, a soma das balas dos potes e a divisão por 4, sendo estas, portanto, atividades interligadas. Ou ainda, se feitas, com a mudança de registro, do natural para o gráfico, duas etapas. A mudança para o registro gráfico e a troca das balas, dos potes com maior quantidade para os com menor quantidade, equilibrando a distribuição das balas, poderá ser feita por aplicação direta e lógica elementar e o nível de conhecimento esperado será o de conhecimento técnico.
A calculadora poderá ser utilizada, mas a atividade não apresenta dificuldade de cálculo que indique a necessidade de seu uso, portanto, a operação poderia ser feita sem a mesma. É possível que a atividade seja resolvida por meio de um modelo ou, pela escolha de um método, uma ferramenta, por exemplo, o algoritmo usado para o cálculo da média aritmética e cada cálculo poderá ser resolvido por duas etapas.
Análise a posteriori
A participação das professoras superou nossas expectativas, todas se envolveram e resolveram a atividade, relatando o raciocínio para a realização da atividade. Elas resolveram as atividades individualmente.
A professora Ana estava apreensiva e perguntou: É para fazer do nosso jeito?”
Bia: Vou fazer como eu faria para os meus alunos.
As professoras Ana e Duda resolveram as atividades com figuras que representariam os potes e a quantidade de balas indicada na atividade; a seguir, somaram o número de balas e dividiram por 4, respondendo que no quinto pode deveria ter 6 balas.
As professoras Bia, Cida, Ester e Fran, também, fizeram a representação por meio de uma figura, mas em vez de desenhar as representações das balas uma a uma, colocaram o número que representa as balas; a seguir, como as outras professoras, calcularam a média e encontraram o número de balas do quinto pote.
A seguir, na Figura 1, apresentamos a resolução da professora Bia.
A professora Bia usou as noções que possuia sobre distribuição equitativa, em decorrência de sua vivência para resolver a atividade, aproveitou “situações de referência” (ROBERT, 1998) para a solução. Observamos que, no registro escrito da resolução da professora Bia, ela se preocupou em justificar as operações com as habilidades trabalhadas no Ensino Fundamental, que é o nível em que leciona.
Aparentemente, as professoras não demonstraram dificuldades para realizar a atividade, mobilizaram noções que conheciam que estavam guardadas em suas experiências “situações de referência” (ROBERT, 1998, p. 6), porém pareceu-nos que, durante a discussão da resolução, elas conheciam o algoritmo da média aritmética, mas confundiam seu significado.
Quando perguntamos qual o significado da média: Cida: É a quantidade que está no meio dos potes. Fran: É o número mais comum.
Duda: É o número que mais aparece. A professora Ana respondeu que:
“É o valor que equipara a quantidade de balas nos potes.” Nossa estratégia para a introdução das duas propriedades:
• A média aritmética é um valor que está entre os extremos da
distribuição.
• A soma dos desvios em relação à média é igual a zero.
Primeiro, ouvimos a resolução de cada uma das professoras, anotamos no quadro negro e, a seguir, desenhamos um gráfico em que pudemos mostrar que a média poderia ser encontrada trocando as balas dos potes com maior quantidade, colocando nos potes com menor quantidade de balas e observando que, procurando fazer uma distribuição equitativa, a média estaria sempre no intervalo entre o menor e o maior valor, incluindo os da distribuição.
Observamos, também, que fazendo isso, nessa estratégia os desvios em relação à média se anulam, “Encontrar a média é encontrar o valor que equilibra
os dados com se fosse o fiel da balança”. (Novaes e Coutinho, 2009, p. 80).
Conduzimos a realização da atividade de forma que as professoras pudessem se sentir, efetivamente, participantes da formulação das propriedades e do significado da média aritmética, além disso a mudança de registro é uma constante na resolução da atividade:
Uma mudança de registro apresenta vantagens do ponto de vista do tratamento, porque facilita a compreensão ou a descoberta de novos conteúdos, principalmente para os sujeitos que estão se iniciando em tarefas que envolvem coordenação de registros. (ALMOLOUD, 2007, p. 79)
Nesse sentido, observamos a importância da mudança de registro para a melhor compreensão da atividade. Ao final, institucionalizamos as novas propriedades:
• A média aritmética é um valor que está entre os extremos da
distribuição.
• A soma dos desvios em relação à média é igual a zero.
Atividade 2
Uma pesquisa feita pelo IBGE, em 2008, relatou que o número médio de crianças por família no Brasil é de 1,86.
a) Explique o que esta frase significa para você.
b) b) Foram escolhidas 10 famílias brasileiras, cujo número médio de filhos por família é de 2,2. Destes, o casal João e Márcia têm 4 filhos e o casal Marcos e Lúcia, 1 filho. Quantos filhos terão as outras 8 famílias, para que o número médio de filhos nas 10 famílias seja de 2,2? Justifique sua resposta.
Análises a priori
Esta atividade foi adaptada de Watson (2000) e retirada do trabalho de pesquisa elaborado por Mayén et al. (2007). O objetivo da atividade é retomar a
ideia de média, como ponto de equilíbrio de uma distribuição, verificar se as professoras tinham o entendimento do algoritmo suficiente para, dado o número total de famílias e a média aritmética, encontrar um elemento da distribuição, além de introduzir as propriedades:
• O valor da média não precisa, necessariamente, ser igual a um dos
valores da distribuição;
• O valor da média pode não parecer ter significado dentro do contexto
dos elementos dados.
Espera-se que, ao término da atividade, os participantes tenham compreendido a definição da média aritmética e entendam as propriedades trabalhadas na atividade.
Esperávamos que, em virtude do primeiro encontro, as professoras respondessem que 1,86 era o valor que melhor representava o número de filhos por família ou o ponto de equilíbrio da distribuição.
Em relação à média dos filhos das 10 famílias, uma das estratégias para resolver a atividade seria colocar as oito famílias em uma folha e distribuir o número de filhos ou encontrar o valor total do número de filhos que é 22 e subtrair 5, que é o número de filhos que os casais João e Márcia; Marcos e Lúcia tinham e dizer que as outras oito famílias tinham 17 filhos.
Tínhamos a questão de, como a média de filhos, tanto na introdução da atividade como no item B do problema era um valor que não teria significado aparente na variável, 1,86 filhos e 2,2 filhos, queríamos verificar como as professoras entendiam o fato.
Significa que o número médio de filhos é de 1,86 ou que 1,86 é o valor que equilibra a distribuição, ou ainda, 1,86 é o valor que representa o número de filhos por família brasileira.
Uma estratégia para a resolução do item B era encontrar o total de crianças, fazendo o produto 10 x 2,2 = 22 e como o casal João e Márcia e o casal Marcos e Lúcia têm, juntos, 5 filhos. Subtrair 22 – 5 = 17.
Portanto, as outras oito famílias têm, juntas, 17 filhos que podem ser distribuídos de diversas formas.
Segundo os níveis de funcionamento dos conhecimentos de Robert (1998), podemos fazer a análise:
A atividade é dissertativa, e é apresentada na linguagem natural. É necessário conhecer o algoritmo da média aritmética ou ter noção de equidade de um conjunto de elementos, além de conhecer algumas características e propriedades. Esta questão exige do aluno um nível de funcionamento de conhecimento mobilizável, pois é necessário conhecer e aplicar uma propriedade, a soma dos dados é igual ao produto da média pelo número de elementos.
Supõe-se que o saber é antigo, mas existe a possibilidade de algum participante não o conhecer completamente.
Em uma das possíveis estratégias, existem três etapas, se for feita pelo uso do algoritmo da média, multiplicamos a média pelo total de famílias, subtraímos o número das duas famílias já indicadas no problema e, em seguida, podemos distribuir o total de filhos pelas oito famílias, sendo estas, portanto, atividades interligadas. Ou ainda, pode ser feito, a partir da mudança para o registro gráfico, e a seguir seguem-se as etapas anteriores. Apresentam dificuldades para serem feitas por aplicação direta e lógica elementar.
Podemos utilizar a calculadora. É possível que a atividade seja resolvida por meio de um modelo, elaborando algumas etapas para a resolução ou escolher um método, uma ferramenta, por exemplo, o algoritmo usado para o cálculo da média aritmética e operações de multiplicação, adição, subtração divisão, deverá ser resolvida em, pelo menos, três etapas.
Segundo a pesquisa realizada por Mayen et al. (2007), esse tipo de atividade é considerada de simples solução para os estudantes pois não apresentam dificuldade na realização do cálculo da média aritmética.
Análise a posteriori
Tivemos respostas diversas no item A, três professoras utilizaram o algoritmo da média aritmética para justificar a resposta, uma das professoras respondeu: “significa que a maioria das famílias brasileiras possuem dois filhos”, confundindo o significado da média com o significado da moda, embora essa resposta, provavelmente, esteja certa.
Outras duas professoras justificaram a atividade de forma confusa, uma delas respondeu:
Cida: Entendi que algumas famílias têm mais filhos e outras famílias menos filhos. 1,86 é a variável quantitativa de crianças.
A outra professora respondeu:
Ana: Esta frase informa a quantidade (média) de crianças por famílias, geralmente, este tipo de informação, neste caso, em 2008, serve para que haja uma comparação com décadas (ou anos) anteriores, por exemplo.
Observamos que as professoras entenderam a atividade, utilizaram o algoritmo para resolvê-la, ou seja, mobilizaram noções sobre o objeto estudado e procuraram o significado que melhor se adaptava à média aritmética para justificar a atividade. Ao final desse item, na discussão da resolução, procuramos
enfatizar a propriedade de que a média não precisa ser nenhum dos elementos da distribuição nem ter significado aparente.
No item B da atividade, tivemos cinco professoras resolvendo de forma semelhante, fizeram a mudança para o registro gráfico, distribuíram os números que representavam as famílias, todas utilizaram o cálculo aritmético para encontrar o valor do número de filhos que faltava para o total do valor do produto de número de famílias pelo número da média.
FIGURA 2: Resolução da Professora Fran
A professora Fran mudou o registro e usou novamente “situações de referência” para organizar o conhecimento. (ROBERT, 1998, p. 6)
É importante frisar que a resolução das professoras foi feita da mesma forma que nós resolvemos e discutimos a primeira atividade, portanto, aparentemente, as professoras utilizaram-na como modelo.
A professora, Ana tentou utilizar o raciocínio lógico para responder à questão, porém, a resposta não ficou muito clara, como podemos verificar na Figura 3.
FIGURA 3: Resolução da Professora Ana
A professora Ana procurou justificar sua resposta de seu jeito, de fato a forma para a resolução das atividades de Estatística, normalmente, é rica, pois temos muitos pontos de vista “pequenas mudanças no ângulo de ataque, ou da tradução de um enunciado dado” (ROBERT, 1998, p. 9), porém, a justificativa não ficou bem clara.
Ao final, institucionalizamos as novas propriedades:
• O valor da média não precisa, necessariamente, ser igual a um dos
valores da distribuição;
• O valor da média pode não parecer ter significado, dentro do contexto
dos elementos dados.
Atividade 3
Lúcia, Antônio e Rosana foram a uma festa. Cada um levou certo número de doces. Juntando todos os doces a média foi de 11 por pessoa.
a) Quantos doces levaram cada um?
Lúcia__________ Antônio __________ Rosana __________
b) Esta é a única possibilidade? Explique como você obteve os seus resultados. c) Uma quarta pessoa chega à festa e não tem nenhum doce. Qual é agora a média
Análise a priori
A atividade foi adaptada de Gattuso (1996) e retirada do trabalho de pesquisa elaborado por Mayén et al. (2007). O objetivo da atividade é encontrar uma distribuição para uma média aritmética dada, reafirmar as primeiras propriedades da média e introduzir, por meio da participação de todo o grupo, outras duas:
• A mesma média pode representar diversas distribuições; • o zero deve ser levado em consideração no cálculo da média.
Como possíveis estratégias de solução no item A, esperávamos que as professoras respondessem que a quantidade de doces levada para a festa por pessoa fosse 11. Esperávamos que, como as participantes já conheciam o algoritmo da média, o cálculo seria feito multiplicando 11 por 3, ou seja, 11 x 3 = 33, e encontrassem três parcelas inteiras e positivas, cuja soma seria igual a 33 e, finalmente, as distribuíssem entre Lúcia, Antonio e Rosana, por exemplo: 7, 12 e 14.
Nossa expectativa era que na resolução do item B, as professores refletissem na possibilidade da mesma média representar mais de uma distribuição. Isso faz parte de nossa estratégia para introduzir a propriedade de que uma média pode ser a representante de várias distribuições, que é um dos objetivos de análise do item B. Acreditávamos que, em função da clareza da atividade, essa propriedade fosse assimilada facilmente por todo o grupo de professoras.
No item C, pretendíamos discutir a influência do zero como elemento que deve ser considerado no cálculo da média. Procuramos chamar a atenção para a forma como as professoras reconhecem esta propriedade, embora já tivéssemos comentado sobre o zero na atividade anterior, “número de filhos por casal”.
Nesta atividade, Mayén et al. (2007) perceberam em seus estudos que os estudantes não apresentaram dificuldade, tanto para encontrar uma distribuição de valores, conhecendo apenas a média aritmética como para reconhecer que não existia apenas uma única solução.
Segundo os níveis de funcionamento dos conhecimentos de Robert (1998), podemos fazer a análise:
Esta atividade pertence à Estatística Descritiva que envolve a média aritmética e as seguintes propriedades, citadas em Batanero (2000):
a) A média é um valor que está entre os extremos dos dados. b) A soma dos desvios da média é igual a zero.
c) O valor da média é influenciado pelos valores de cada um dos dados.
d) A média não é necessariamente igual a um dos valores dos dados.
e) O valor médio dos números pode ser um número que não faz sentido no contexto dos dados.
f) Temos que levar em conta valores zero no cálculo da média. g) O valor médio é representativo dos valores dados.
A atividade é dissertativa, sendo apresentada na linguagem natural. Para sua resolução, é necessário conhecer o algoritmo da média e distribuir os elementos de forma que a soma seja igual ao produto da média, multiplicado pela quantidade de elementos.
Supõe-se que o saber é antigo, mas existe a possibilidade de algum participante não o conhecer completamente.
Existem três itens, uma das estratégias é fazer o primeiro usando o algoritmo da média; o segundo, pela propriedade de que a mesma média pode ser a medida representante de mais de uma distribuição e o terceiro item, também, pode ser resolvido com o algoritmo da média e, portanto, as atividades são interligadas. Ou ainda poderia ser feita, também, com a mudança para o registro gráfico.
Poderia ser feita por aplicação direta e lógica elementar, por exemplo, multiplicando a média aritmética por 3 e depois encontrando três parcelas, cuja soma é 33, e o nível de funcionamento esperado será o de conhecimento técnico.
Pode-se utilizar a calculadora, mas a atividade não apresenta dificuldade de cálculo que indique a necessidade de tal uso, portanto, poderia ser feita sem, tranquilamente.
É possível que a atividade fosse resolvida por meio de um modelo ou escolha de um método, uma ferramenta, por exemplo, o algoritmo usado para o cálculo da média aritmética e uso das operações de adição, multiplicação subtração e divisão.
Análise a posteriori
As professoras receberam a atividade e mostraram-se bastante tranquilas para resolvê-la.
No item A, as professoras Ana e Duda fizeram uma distribuição uniforme, ou seja, 11 para cada, e as professoras Bia, Cida e Ester fizeram uma distribuição com número de doces diferentes para cada pessoa, a professora Fran confundiu- se na resposta:
Fran: Eu me confundi, deu um branco.
A Figura 4 mostra a resolução da professora Fran.
A professora Fran utilizou vários tipos de questionamentos, para resolver a atividade e, isso, foi possível graças a seu “estoque de conhecimentos organizados” (ROBERT, 1998, p. 6).
Embora a professora Fran tenha se atrapalhado na hora de resolver a atividade, na discussão feita, após a resolução das professoras parece que ficou fácil o entendimento da propriedade.
No item B, tínhamos como objetivo que as professoras observassem que a média aritmética pode ser representante de conjuntos de dados distintos.
Ana: A média dos alunos pode ser a mesma, mesmo quando tiveram notas mensais e trimestrais diferentes.
Na escola, onde as professoras trabalham o ano letivo é dividido em três trimestres e a média dos alunos é calculada pelas professoras.
Pela discussão e observação das professoras, parece que esta propriedade foi facilmente assimilada.
No item C, todas as professoras incluíram o zero e dividiram 33 por 4 o que indica que elas assimilaram a propriedade.
Ao final da atividade, aproveitamos para comentar as propriedades:
• A média é um valor que está entre os extremos dos dados; • a soma dos desvios da média é igual a zero;
• o valor da média é influenciado pelos valores de cada um dos dados; • a média não é necessariamente igual a um dos valores dos dados;
• o valor médio dos números pode ser um número que não faz sentido no
contexto dos dados;
• temos que levar em conta valores zero no cálculo da média; e • o valor médio é representativo dos valores dados.
Observamos que as professoras estavam comentando a respeito dessas propriedades e participando da formulação desses enunciados, durante a
discussão, portanto, acreditamos que a sequência estava ajudando na (re)construção desses significados.
Atividade 4:
As notas obtidas por Carlos nas diferentes disciplinas, no 2º ano do Ensino Fundamental, foram as seguintes: 8,0; 6,0; 5,5; 8,0; 8,0; 6,0 e 7,5.
a) Qual a nota média que Carlos obteve nas disciplinas? b) Qual é a nota mais comum?
c) É possível dividir esse grupo de notas em dois outros grupos com exatamente a mesma quantidade de elementos? Se sim, justifique? Se não, o que é preciso fazer para obter esses dois grupos?