A condi¸c˜ao de simetria esf´erica para um campo tensorial ´e a seguinte: existe um sistema de referˆencia tal, que depois de uma rota¸c˜ao arbitr´aria em torno do centro de si- metria, as novas componentes T′
µν do tensor possuem a mesma forma funcional em rela¸c˜ao
`as novas coordenadas x′µ que as componentes antigas do tensor T
µν possu´ıam em rela¸c˜ao
`as coordenadas antigas xµ.
Vamos tomar o centro de simetria como sendo a origem de nosso sistema de coorde- nadas e considerar uma rota¸c˜ao infinitesimal dada por:
sendo δǫ infinitesimal e
ξ0 = 0, ξ1 = 0 ξ2 = A cos(φ + B) ,
ξ3 = −A sin(φ + B) cot θ + C. (B.8)
´
E claro de considera¸c˜oes gerais que transforma¸c˜oes arbitr´arias das coordenadas r e t manter˜ao a simetria esf´erica de uma express˜ao tensorial inalterada. Ent˜ao, em B.8 s˜ao consideradas transforma¸c˜oes somente nas coordenadas θ e ϕ estipulando-se que ξ0 = ξ1 =
0.
O crit´erio de simetria esf´erica de um tensor Tµν ´e:
Tµν′ (x′µ) = Tµν(x′µ). (B.9)
Substituindo de B.7 os valores de xµ no segundo membro de B.9, expandindo em s´erie de
Taylor e considerando somente os termos da ordem de δǫ, podemos escrever o crit´erio de simetria esf´erica como:
Tµν′ (x′µ) = Tµν(xµ) + Tµν , µξµδǫ. (B.10)
Por outro lado, aplicando a lei de transforma¸c˜ao tensorial a Tµν, n´os teremos:
Tµν′ (x′µ) = Tµν(xµ) − [ξα, µTαν + ξα, νTαµ]δǫ. (B.11)
Subtraindo B.10 e B.11, chegamos na seguinte equa¸c˜ao:
ξα, µTαν+ ξα, νTαµ+ Tµν , αξα = 0, (B.12)
a qual ´e chamada de equa¸c˜ao de Killing.
Os dois primeiros termos do primeiro membro da equa¸c˜ao acima surgem a partir da lei de transforma¸c˜ao de um tensor, enquanto o terceiro, o qual pode ser chamado de termo de transporte, surge porque o valor de Tµν no ponto xµ´e comparado com Tµν transformado
no ponto que possui, depois da transforma¸c˜ao, coordenada xµ (e portanto, originalmente
tinha coordenadas xµ− ξµδǫ).
´
E f´acil verificar que, como resultado de B.12, T10 e T23cossecθ tˆem de satisfazer so-
mente uma equa¸c˜ao da forma:
A solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao acima ´e dada por:
z = f (w, r, t), (B.14)
w = Asen(ϕ +B)senθ + C cos θ, (B.15)
sendo f uma fun¸c˜ao arbitr´aria dos seus argumentos.
Como a transforma¸c˜ao das coordenadas r e t, em campos esfericamente sim´etricos, podem ser estudadas independentemente das transforma¸c˜oes das coordenadas θ e ϕ, vamos primeiramente escrever a fun¸c˜ao f como um produto de uma fun¸c˜ao de (r, t) por uma fun¸c˜ao de (θ, ϕ), onde a forma das fun¸c˜oes de (θ, ϕ) ser´a determinada pelo crit´erio B.12, enquanto a forma das fun¸c˜oes de (r, t) ser´a decidida pelas equa¸c˜oes de campo que governam Tµν. Portanto, de B.12, n´os podemos escrever:
T10= H(r, t)h(w) ; T23= E(r, t)senθk(w) , (B.16)
onde H, E, h e k s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de seus argumentos.
Escrevendo as outras componentes de Tµν como produtos de fun¸c˜oes de (r, t) por
fun¸c˜oes de (θ, ϕ), encontraremos que B.12 nos d´a a seguinte forma para as mesmas:
T12 = P (r, t)v(θ, ϕ), T13 = −P (r, t)u(θ, ϕ)senθ,
T20 = Q(r, t)v(θ, ϕ), T30 = −Q(r, t)u(θ, ϕ)senθ.
Obviamente, todas as fun¸c˜oes de (r, t) s˜ao arbitr´arias, mas u(θ, ϕ) e u(θ, ϕ) tˆem de satis- fazer as seguintes equa¸c˜oes:
−Asen(ϕ + B)u(θ, ϕ)cosecθ + ξ2(∂v(θ, ϕ)/∂θ) + ξ3(∂v(θ, ϕ)/∂ϕ) = 0, (B.17) −Asen(ϕ + B)v(θ, ϕ)cosecθ + ξ2(∂u(θ, ϕ)/∂θ) + ξ3(∂u(θ, ϕ)/∂ϕ) = 0. (B.18)
Combinando, ent˜ao as equa¸c˜oes acima n´os obtemos:
ξα[∂(u2 + v2)/∂xα] = 0, (B.19)
e
De B.19 n´os encontramos imediatamente que
u2+ v2 = f2, (B.21)
onde f = f (w) ´e uma fun¸c˜ao arbitr´aria de w.
A equa¸c˜ao B.20 pode ser integrada fornecendo o seguinte resultado:
u/v = A cos(ϕ + B){∂w/∂θ}−1, (B.22)
de forma que chegamos a:
v = A cos(ϕ + B)(A2+ C2− w2)−1/2f (w), (B.23) u = (Asen(ϕ + B) cos θ − Csenθ)(A2 + C2− w2)−1/2f (w). (B.24)
Assim, a express˜ao final de Tµν que satisfaz o crit´erio B.12 ´e:
Tµν = 0 −Hh −Qv Qusenθ Hh 0 P v −P usenθ Qv −P v 0 Eksenθ
−Qusenθ P usenθ −Eksenθ 0
, (B.25)
onde P, Q, E e H s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de r e t; h e k s˜ao fun¸c˜oes arbitr´arias de w, dada por B.15. As fun¸c˜oes v e u s˜ao dadas por B.23 e B.24, respectivamente. Devemos observar que B.25 n˜ao ´e a solu¸c˜ao mais geral de B.12, j´a que admitimos transforma¸c˜oes separadas para as coordenadas (r, t) e (θ, ϕ).
B.3
A polariza¸c˜ao do campo T
µνVamos agora considerar, com mais detalhes, a dependˆencia das componentes de Tµν
nas vari´aveis θ e ϕ. Essa dependˆencia ´e encontrada principalmente nas fun¸c˜oes u, v e w. Temos de B.25 que Tµν cont´em componentes radiais, T10 e T23, e tamb´em componen-
tes transversas T12, T20, T13 e T30. Temos que as componentes transversas de um tensor
anti-sim´etrico de segunda ordem com simetria esf´erica s˜ao tomadas em cada ponto do plano tangente a uma esfera. ´E bem conhecido do eletromagnetismo que, no plano tan-
gente, as componentes transversas do campo eletromagn´etico podem tomar algum par de dire¸c˜oes ortogonais dependendo da polariza¸c˜ao da respectiva onda. Ent˜ao uma onda ele- tromagn´etica polarizada pode escolher, devido a sua polariza¸c˜ao, uma dire¸c˜ao preferencial sempre que ela possuir simetria esf´erica. Efeitos de polariza¸c˜ao, os quais ocorrem no plano tangente `a esfera em cada ponto, dever˜ao ent˜ao ser exibidos nas componentes transversas de nosso tensor anti-sim´etrico. Dessa forma, as fun¸c˜oes u e v, as quais s´o ocorrem nas componentes transversas de Tµν, podem ser tomadas para indicar polariza¸c˜ao.
H´a, ainda, uma outra forma na qual as fun¸c˜oes de θ e ϕ podem aparecer em nosso campo tensorial. Se uma rota¸c˜ao infinitesimal dada por B.7 e B.8 ´e feita em torno de um diˆametro QOQ’ da esfera, ´e claro que campos tensoriais que possuam simetria axial em torno de QOQ’, mas que n˜ao possuam simetria esf´erica em torno do ponto O, ir˜ao obedecer ao crit´erio B.12 e podem estar presentes em sua solu¸c˜ao. ´E f´acil ver que fun¸c˜oes indicando simetria axial em torno de QOQ’ ser˜ao, tamb´em, fun¸c˜oes de θ e ϕ. Na se¸c˜ao B.2 vimos que a fun¸c˜ao w ´e proporcional ao cosseno de um ˆangulo P ˆOQ, onde P ´e o ponto da esfera sobre o qual o valor do tensor ´e calculado. ´E portanto claro que w, a qual ocorre tanto nas componentes radiais como nas transversas, indica simetria axial em torno de um eixo. Dessa forma, n´os podemos remover todas as fun¸c˜oes de w do nosso tensor fazendo-as iguais `a unidade. Al´em disso, podemos escolher as orienta¸c˜oes dos eixos das nossas coordenadas polares de forma que possamos obter valores simplificados para as fun¸c˜oes u(θ, ϕ) e v(θ, ϕ) :
v = 0 , u = 1, (B.26)
obtemos, assim, a forma final de Tµν esfericamente sim´etrico:
Tµν = 0 −H 0 qsenθ H 0 0 −psenθ 0 0 0 Esenθ
−qsenθ psenθ −Esenθ 0
.