Kapittel 3. Konflikten som Fangenes dilemma
3.4 Fangenes dilemma spill med ukjent horisont
de wavelets, baseando-se principalmente nos trabalhos desenvolvidos pelo "Grupo de Bordeaux", liderado por Alain Ameodo [Ameodo et aI., 1995]. as livros de Mathias Holschneider [Holschneider, 1995] e Ameodo [Ameodo et aI., 1995] fomecem maiores detalhes e resultados rigorosos. Dentro desse contexto, os desenvolvimentos desta tese buscam generalizar os resultados ja existentes para 0 caso de curvas
parametricas para aplica<;:oes em analise de formas. Tendo isso em vista, adota-se a defini<;:aoda transformada em wavelets apenas nesta se<;:ao:
UIjJ(b,a)
=
aOf)
or.
f\}J*(a
co)
u(co) e'W I dco2
n _or.Vma medida fractal f.1 pode, geralmente, ser caracterizada por urn conjunto de
expoentes ou dimens5es locais. A extrayao de tais expoentes pode ser realizada atraves do metoda de contagem de caixas ("box-counting"), isto e, 0 expoente no ponto X o E
supp j.1 (suporte da medida) e definido por
em que Bxo(E) e uma bola centrada em Xo e de diametro c, e IJ(Bx0(E)) e sua medida,
definida por:
Essa defmiyao pode ser generalizada dentro do espirito da transformada em wavelets:
em que a wavelet analisadora IjI pode ser vista como uma caixa generalizada. Nesse
sentido, a Equayao 5.7 pode ser vista como uma transformada em wavelets da medida,
T [IjI,f.1}(b=xo,c), em que a wavelet analisadora IjIreIaciona-se com a caixa B. 0 expoente
local a(xo) e dado per:
. In111j1,j.1](b
=
xo,a)a(xo)= hm ---
1. Os maximos locais do modulo
ITI
fomecem uma parti9ao natural da medida que pode ser usada na constru9ao de uma fun9ao de parti9ao para analise multi-fractal; '") Usando uma fun9ao continua como wavelet analisadora, os problemas provenientesde descontinuidades da caixa da Equa9ao 5.7 sao eliminados;
3. 0 comportamento singular da medida pode ser dissimulado por algum
comportamento regular. Tal componente regular pode ser extraido utilizando-se uma wavelet com urn numero suficiente de momentos nulos.
A Equa9ao 5.8 tambem fomece uma ponte entre a analise fractal de uma medida e a analise fractal de uma distribui9ao. Seja u(x)
=
Ji([O,xj) a fun9ao de distribui9ao da medida Ji. Entao, exceto pela normaliza9ao, a defini9ao 5.8 pode ser vista como a transformada continua em wavelets da fun9ao u, em que a wavelet analisadora e a derivada de 1.jI, isto e:Essa defini9ao nao e restrita a fun90es u que derivem de uma medida, podendo ser usada para analise de regularidade de uma fun9ao u. Seja a fun9ao u Lipschitz emxo:
em que Pn e urn polinomio de ordem n. Seja
viI)
a wavelet analisadora com N=n+ 1momentos nulos. Tem-se que:
2. C a r a c t e r i z a < ; a o : Ao longo dessa linha Lv, 0 modulo da transformada em wavelets
Portanto, a transformada em wavelets pode ser usada no estudo de regularidade de funyoes (ou, de forma mais geral, de distribuiyoes; veja a discussao na Seyao 5.6). Uma vez que 0 esqueleto vertical de T [ l f / , f l J fornece urna partiyao natural da medida, 0
esqueleto de T [ v / l ) , U J fornece uma partiyao natural da funyao u . Nesse sentido, de maneira analoga ao caso da analise multi fractal de uma medida (estatistica de expoentes locais a ) , urna analise multi fractal tambem pode ser realizada em urna distribuiyao (estatistica do expoente de HOlder h ) . Tal abordagem foi aplicada a diferentes problemas
como analise de sinais de turbulencia e seqiiencias de ADN [Arneodo et ai., 1995; M uzy et ai., 1994].
a curva exatamente auto-similar rea uniao de N capias transladadas,
rotacionadas e dilatadas de si mesmas [Tricot, 1993]:
N
r=UF/r)
j = l
em que os F j representam aplicayoes afms do plano. Aplica90esfj podem ser associadas aF j da seguinte maneira [Tricot, 1993]:
Uma vez que rea imagem de urn intervalo 1a partir de u , as aplica90es f j
verificam:
N
1
=
U f
j ( 1 ) j = lAs fun90es f j nao saD defmidas unicamente e dependem da escolha da
parametrizayao. Uma conseqiiencia disso e que a fun9ao u nao reflete necessariamente a estrutura da curva r . Em outras palavras, a curva r defme diferentes medidas sobre 0
intervalo 1,0 que leva itprocura da defmiyao de uma p a r a m e t r i z a 9 a o n a t u r a l u ( t ) . Sejam
P j os fatores de dilata9ao das aplicayoes F j, e D a dimensao fractal da curva. Uma
p a r a m e t r i z a 9 i i o n a t u r a l [Tricot, 1993; pagina 201] e defmida por:
• A medida do arco F j ( f ') e
p l .
(P.2)• A medida do arco F j ] ( . . ( F j k ( r ) ) . . . ) e{ P j ] '" P i k l . (p.3)
Tomando 0 caso da curva triadica de Koch como exemplo, os fatores de dilata9ao Fi sao dados por p
=
1 /13
e sua dimensao fractale
log 4 / log 3. Portanto, no caso daparametriza9ao natural eI = [0,1] tem-se que r f
=
lIz e u verifica a rela9ao 5.10. A partir da representa9ao u, adotando-se a parametriza9ao natural, a dimensao fractal de uma curva pode ser obtida a partir da defmi9ao de tamanho local [Tricot, 1993], istoe:
I l i D T1t,a) ~a
A fun9ao "size" da Equa9ao 5.11 inclui diferentes equa90es equivalentes [Tricot, 1993], sendo a disttlncia entre os pontos u(t-a) e u(t+a) a mais simples, isto
e:
Recordando a abordagem de medidas explorada anteriormente, seria interessante definir a fun9ao T(t,a) como 0modulo da representa9ao-W de u(t), e 0 esqueleto vertical
correspondente como uma parti9ao escala-espa90 natural da curva r . A transformada em wavelets da curva
r e
definida pelas Equa90es 5.1 e 5.2. Em uma parametriza9ao natural u(t), A le
igual apF,
de maneira que espera-se que 0 modulo da transformada se comporte ao longo de uma linha de maximos como a = liD . Esse resultado nao-rigorosoe
analogo (para a transformada em wavelets) ao teorema de Tricot que indica T(t,a) - al l Dpara 0 caso da parametriza9ao natural. Assim, conjectura-se os seguintes resultados para 0 caso de uma parametriza9ao natural de uma curva fractal r :
1. Parti~ao: a representa9ao-W de r admite urn esqueleto vertical que fomece uma parti9ao natural da curva;
2. Caracteriza~ao: ao longo de uma linha de maximos verticais, 0 modulo da transformada em wavelets comporta-se como:
M[lfI,uJ(b,a) - al /D
Figura (5.19): Aproxima9ao poligonal multi-escala da curva de Koch que captura a lei de gera9ao dessa curva.
5.8.2.1 Exemplo: a curva tritidica de Koch
o esqueleto da representa9ao-W da curva de Koch e apresentado na Figura 5.9, evidenciando que a transformada em wavelets captura a regra de constru9ao multi-escala auto-similar dessa curva. A aplica9ao do metodo de detec9ao de vertices desenvolvido na Se9ao 5.6 com diferentes valores de limiar fomece uma familia de aproxima90es poligonais multi-escala da curva (veja a Figura 5.19).
0
grafico de M(b,a) ao longo de uma linha de maximos e apresentado na Figura 5.20 (escala logaritmica dos eixos). As oscila90es de periodo log 4 saD caracteristicas da auto-similaridade da curva. No intervalo de fractalidade tem-se que log M(b,a) em fun9ao de log a e peri6dico de periodo log 4. Esse intervalo de escala e denominado regitio de escalonamento, sendo a inclina9ao de uma linha reta, ajustada manualmente a essa regiao, usada na estima9ao da dimensao fractal da curva de Koch ( a = O .768 ~ liD ) ...-. ..-. t'il ~15 'c O o
- ,
-3 log (a)Figura (5.20):
Gratico do modulo da representayaO-WaO longo de uma linha de maximos verticais (log-log plot).5.9
ANALISE DE FORMAS POR REPRESENTA90ES TEMPO-FREQUENCIAti!
transfarmada de Fourier jane/ado [Allen & Rabiner, 1977; Riaul & Vetterli, 1991] pode ser usada como uma altemativa a representayao- W para analise de contomos de maneira analoga aos metodos desenvolvidos ate entao neste capitulo. Na verdade, a transformada de Gabor (isto e, a transformada de Fourier janelada com uma janela gaussiana) possui varias semelhanyas com relayao a transformada em waveletsusando a wavelet de Morlet, sendo, nesse sentido, melhor adaptada para analise de escalas naturais. No entanto, a transformada de Gabor tambem responde de maneira mais forte a vertices, embora a analise de singularidades seja melhor realizada utilizando-se uma das derivadas da gaussiana, por exemplo, a wavelet de Marr, como wavelet mae. Uma outra caracteristica que pode ser percebida atraves do estudo da literatura em analise tempo-escala e tempo-frequencia e que, em geral, a transformada de Gabor e bastante adotada para demonstrayoes algebricas. Uma das diferenyas mais marcantes entre a transformada em wavelets e a transformada de Gabor (cujos nucleos SaDtambem chamados de gaborettes) e que, enquanto as gaborettes oscilam mais nipido para analise de altas frequencias e mais lentamente para a analise das baixas frequencias, as wavelets mudam apenas sua escala, mantendo constante 0 numero de oscilayoes (veja a
Figura
5.21). Essa caracteristica explica uma das vantagens das wavelets em relayao as gaborettes para analise de singularidades.
F i l t r o s d e G a b o r o u " G a b o r e t t e s " 0.5