5.3. Gjennomføring av kompetanseutvikling
5.3.2. Faglig og ikke –faglig kompetanseutvikling
Para realizarmos as análises dos Cadernos do Professor de Matemática da rede pública de São Paulo de 2008 e 2009 consideramos necessário, além de investigarmos o que os documentos oficiais recomendam para o ensino de sistemas de equações lineares, investigar também de que forma é abordado esse tema em livros didáticos aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) direcionados aos professores para fins de comparação.
Nosso critério para a seleção dos livros didáticos baseou-se na escolha de uma coleção do mesmo autor que contemplasse tanto o Ensino Fundamental quanto o Médio, para identificar como esse aborda os conteúdos de sistema de equações lineares.
A escolha partiu de uma lista de dez livros aprovados pelo PNLD de 2011 referentes ao Ensino Fundamental e outra com sete, aprovados pelo PNLD de 2012 referentes ao Ensino Médio. Dentre esses, quatro coleções produzidas pelos mesmos autores fazem parte do Ensino Fundamental e Médio, e para o efeito de nossa análise, selecionamos a coleção Matemática e Realidade do Ensino Fundamental e a coleção Ciência e Aplicações do Ensino Médio, devido esses fazerem parte dos livros escolhidos pela escola estadual que leciono.
Escolhidas as coleções dos livros didáticos para a análise, fizemos uma leitura completa dos volumes para identificar em quais capítulos nosso tema de pesquisa é abordado.
Após a recolha dos dados passamos à fase da análise com o propósito de investigar como esses autores abordam os conteúdos de sistemas de equações lineares, em especial se esses fazem a conexão do tema do Ensino Fundamental para o Médio.
A seguir, descrevemos de que forma os autores da coleção Matemática e Realidade abordam sistemas de equações lineares nos livros destinados ao Ensino Fundamental.
4.1 – Análise da Coleção Matemática e Realidade
A coleção Matemática e Realidade de Iezzi, Dolce e Machado (2009) que está em sua 6ª edição, é composta por quatro volumes, cada um relativo a um ano do Ensino Fundamental. Os volumes estão compostos por capítulos organizados em unidades. Estas unidades em sua maioria contêm exercícios; desafios; notícias de jornais, revistas e artigos relacionando a Matemática; e em algumas, temas da história da Matemática. Ao final de cada volume encontram-se as respostas dos exercícios e o manual do professor.
No manual do professor dos quatro volumes, os autores ressaltam que:
[...] a obra procura estimular o aluno a compreender as definições mais importantes e as propriedades centrais da Matemática em nível elementar. Os conceitos são introduzidos a partir de exemplos concretos. As propriedades são quase sempre deduzidas em linguagem coloquial e enunciadas a posteriori. Na medida do possível, evitam-se definições formais e receitas prontas (IEZZI et al, 2009, p.2).
Referentes aos conteúdos de sistema de equações lineares os autores abordam o tema no 7º ano, 8 º ano e 9º ano, com maior ênfase no volume destinado ao 8º ano.
No volume destinado ao 7º ano do Ensino Fundamental, o tema é abordado no vigésimo quarto capítulo da sexta unidade, após o estudo de equações do 1º grau e anterior ao estudo de inequações do primeiro grau.
Neste volume o estudo de sistemas de equações lineares tem início por meio de um problema, para que duas equações sejam escritas para então formar um sistema de equações, e a seguir apresentam dois métodos de resolução para esse sistema: o método de substituição e o método de comparação.
A Figura 5 ilustra o problema apresentado pelos autores e a Figura 6 ilustra passo a passo a resolução pelos métodos de substituição e comparação.
Figura 5 – Problema com duas incógnitas Fonte: IEZZI et al, 2009a, p.192
Figura 6 – Resolução do sistema de equações pelos métodos de substituição e comparação Fonte: IEZZI et al, 2009, p.192
Apesar de os autores mostrarem preocupação em mobilizar o aluno a transcrever o enunciado da língua materna para a linguagem algébrica, assim como recomendam os documentos oficiais que ressaltam ser esse método a peça central para o ensino de Matemática, e logo em seguida, propõem a aplicação de métodos para a resolução do problema. Neste caso, os autores poderiam propor uma atividade anterior à apresentação dos métodos, no qual exigisse do aluno a resolução do problema, engajando-os ativamente no enfrentamento do desafio, assim como foi feito no trabalho de Bianchini e Almouloud (1996).
Os autores prosseguem o estudo apresentando quatro exercícios para que os alunos resolvam pelos métodos de substituição e comparação, e em seguida propõem problemas para que sejam escritas na forma de sistemas de equações. Entre esses problemas, os autores pedem que o aluno retorne ao capítulo anterior e resolva dois exercícios por meio de sistemas de equações.
Chamamos atenção para os exercícios 119 e 120 da página 195, em que os autores sugerem a aplicação de sistemas de equações lineares para os exercícios do capítulo anterior, Resolução de problemas do primeiro grau, uma forma de mostrar ao aluno que há diferentes maneiras de resolver o mesmo problema.
Figura 7 - Exercícios propostos Fonte: IEZZI et al, 2009, p.192
No volume destinado ao 8º ano do Ensino Fundamental, o tema de sistemas de equações lineares é abordado no vigésimo primeiro capítulo da oitava unidade, após os estudos de equações do primeiro grau e anterior aos estudos de inequações do primeiro grau.
Neste volume são apresentados: métodos de resolução, a interpretação geométrica das retas no plano cartesiano, testes para avaliar os conhecimentos do aluno, desafios, um recorte de uma notícia de jornal acompanhada de três questões e um texto referente às coordenadas cartesianas.
Semelhante ao procedimento utilizado no volume destinado ao 7º ano os autores apresentam um problema para que o aluno escreva duas equações para
então formar um sistema e em seguida, apresentam a resolução do sistema de equações pelo método de adição.
A Figura 8 ilustra o problema apresentado pelos autores e a Figura 9 ilustra passo a passo a resolução pelo método adição.
Figura 8 - Problema com duas incógnitas Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.262
Figura 9 - Resolução do sistema de equações pelo método da adição Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.263
Neste capítulo, os autores apresentam também a resolução de sistemas de equações lineares pelo método de adição quando os coeficientes das incógnitas não são simétricos e retomam os métodos de substituição e de comparação, estudados na série anterior.
Após a apresentação de cada método são propostos quatro exercícios e três problemas para que sejam resolvidos pelos métodos ensinados.
Nesta parte do capítulo os autores propõem dois exercícios interessantes, um para que o aluno invente um problema e resolva-o por meio de um sistema de equações e outro, para que invente um problema para o sistema de equações lineares determinado pelos autores.
A Figura 10 mostra os exercícios.
Figura 10 – Problemas propostos para que o aluno invente Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.270
Consideramos os exercícios interessantes, pois exige a criatividade, a estratégia e os conhecimentos adquiridos até então, para a resolução dos problemas.
Seguindo conforme a apresentação do livro, os autores iniciam o estudo do significado geométrico a partir de uma equação com duas incógnitas, e explicam o significado de par ordenado da seguinte forma:
[...] o par de números é indicado pelos parênteses e os números são separados por ponto e vírgula (ou apenas por vírgula, se ficar bem claro quais são os dois números do par). Além disso, o primeiro número adotado é o que vai no lugar da primeira incógnita, x, e o segundo número é o que vai no lugar da segunda incógnita, y. Por isso, dizemos que é um par
ordenado de números (IEZZI et al, 2009b, p.272).
Finalizam esta parte apresentando mais exemplos de pares ordenados que satisfaçam ou não a solução do problema proposto e mais oito exercícios, os quais os alunos são motivados a verificar se os pares ordenados satisfaçam ou não a solução da equação linear com duas incógnitas, escrever a equação linear e apresentar pares ordenados que satisfaçam a solução da equação e pares ordenados que não e encontrar o valor do segundo membro da equação linear sabendo o valor dos pares ordenados.
Em seguida os autores fazem a representação de dois pares ordenados no plano cartesiano, concomitante às explicações a respeito dos termos que representam as abscissas e que representam as ordenadas.
Figura 11 – Interpretação dos pares ordenados no plano cartesiano Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.275
Os autores prosseguem o estudo da interpretação gráfica utilizando tabelas para encontrar os pares ordenados da equação e definem gráfico da equação da seguinte forma:
[...] O gráfico da equação ax+by=c, com a ≠0 ou b≠0, é uma reta. Todo
ponto dessa reta representa um par ordenado que é solução da equação. Toda solução da equação é representada num ponto dessa reta (IEZZI et al, 2009b, p.277).
A Figura 12 ilustra a solução de um sistema de equações lineares determinado por um ponto que pertence as duas retas.
Considere o sistema de equações linear apresentado pelos autores:
Figura 12 - Interpretação geométrica de um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas
Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.278
Para abordagem de sistema de equações que não tem solução e que têm infinitas soluções, os autores utilizaram o método de adição e a visualização de sua representação gráfica, conforme podemos observar nas Figuras 13, 14 e 15.
Figura 13 - Resolução pelo método da adição e a interpretação da solução geométrica de um sistema de equações lineares
Figura 14 - Interpretação geométrica de um sistema de equações lineares com infinitas soluções Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.280
Figura 15 – Resolução pelo método da adição e classificação do sistema de equações lineares Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.281
Entre os exercícios propostos destacamos um que merece comentário, no qual os autores propõem condições para que o aluno encontre o valor desconhecido para determinar a solução do sistema de equações lineares. A Figura 16 ilustra o exercício proposto.
Figura 16 – Exercício proposto Fonte: IEZZI et al, 2009b, p.281
No encerramento deste capítulo os autores apresentam um texto que aborda a história da criação e do desenvolvimento do estudo das coordenadas cartesianas, além de utilizá-la para estimular o gosto pela leitura, os autores propõem também uma visão abrangente da história das descobertas matemáticas (Manual do Professor 2009).
Segundo os PCNEF (1998), a História da Matemática é um dos recursos para ensino de qualquer disciplina, principalmente a Matemática. Por meio dela é possível o aluno compreender que o avanço tecnológico não seria possível sem as heranças passadas.
[...] A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. (BRASIL, 1998, p. 42).
Ainda segundo os PCNEF (1998), isto não significa que em cada conteúdo trabalhado o professor deva utilizar este recurso, mas encare como uma das muitas possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem resumi-las a fatos, datas ou nomes a serem memorizados.
No volume destinado ao 9º ano do Ensino Fundamental, no oitavo capítulo, os autores abordam de forma breve o estudo de sistemas de equações do 2º grau, após os estudos de equações do segundo grau e anterior aos estudos de equações fracionárias. Neste capítulo, também contém o estudo de equações biquadradas, equações irracionais, dois artigos acompanhados de cinco questões, testes para avaliar os conhecimentos do aluno, quatro desafios, e um texto referente à fórmula de Bhaskara.
Os autores iniciam o tema utilizando um problema acompanhado de três figuras geométricas para o estudo de sistemas de equações do 2º grau, e em seguida sua resolução pelo método da substituição, conforme ilustram as Figuras 17 e 18.
Figura 17 - Problema com duas incógnitas Fonte: IEZZI et al, 2009c, p.262
Figura 18 - Resolução do sistema de equações pelo método da substituição Fonte: IEZZI et al, 2009c, p.281
Com sete exercícios os autores finalizam o estudo de sistemas de equações no Ensino Fundamental.
Nossas considerações baseiam-se no que está escrito no Quadro 1 das páginas 34 e 35, sendo que, para essa Coleção iremos confrontar com as recomendações nos PCNEF (1998).
Constatamos nesta coleção que os autores tiveram a preocupação de iniciar os conteúdos de sistemas de equações lineares em todos os volumes por meio de situações-problema, utilizaram diversos exercícios que contemplam a transcrição do enunciado, tais como na língua materna para a linguagem algébrica, na linguagem algébrica para a linguagem gráfica e na linguagem algébrica para a língua materna. Seguindo ao encontro às recomendações dos PCNEF (1998) com relação ao eixo organizador do processo de ensino aprendizagem de Matemática:
[...] a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (BRASIL, 1998, p.40).
No 8º ano do Ensino Fundamental, abordam o tema com maior ênfase, apresentam o método de adição e retomam os métodos de substituição e comparação apresentados no volume anterior. Discutem também neste volume, as soluções e as classificações dos sistemas na linguagem algébrica e na representação gráfica e finalizam o tema no volume destinado ao 9º ano, com sistemas de equações do 2º grau, apresentando o método de substituição para a sua resolução.
Há de se ressaltar nesta coleção, artigos de jornais e revistas acompanhados de questões relacionadas à Matemática, textos que abordam a história da criação e do desenvolvimento de um tema matemático, com o propósito de que o aluno compreenda o que foi proposto e de uma resposta aplicando procedimentos estudados, além de desenvolver no aluno o hábito de leitura, assim como recomendam os documentos oficiais.
Em síntese, os métodos que os autores apresentaram em sua coleção destinada ao Ensino Fundamental são: substituição e comparação no 7º ano; adição, substituição, comparação e representação gráfica das equações dos sistemas no 8º ano; e no 9º apresentam o método de substituição. Constatamos também oitenta exercícios ao todo nestes volumes, referentes a sistemas de
equações, os quais vinte estão presentes no volume destinado ao 7º ano, cinquenta e três no 8º ano e sete no 9º ano.
Notamos que os autores dessa coleção apresentam a abordagem de sistemas de equações lineares de forma espiral7, ou seja, o conteúdo é retomado em outro volume e posteriormente aprofundado, ou ainda, é apresentado como uma ferramenta para a resolução de problemas de outro tema da própria Matemática.
A seguir descrevemos a abordagem de sistemas de equações lineares na Coleção Matemática Ciência e Aplicações destinada ao Ensino Médio.
4.2 – Análise da Coleção Matemática: Ciência e Aplicações
A segunda coleção a ser analisada foi Ciência e Aplicações de Iezzi, Dolce, Desenszajn, Périgo e Almeida (2010) que está em sua 6ª edição. A coleção é composta por três volumes, cada um relativo a uma série do Ensino Médio. Os volumes estão organizados em capítulos que são encerrados com um desafio. Em cada capítulo discute-se um conteúdo acompanhado de exercícios resolvidos, propostos e sugestões de exercícios complementares. Em alguns capítulos estão presentes textos de introdução e em outros textos referentes à história do conteúdo em questão. No final de cada volume encontram-se as respostas dos exercícios, o índice dos conteúdos por ordem alfabética e o manual do professor.
Assim como na coleção do Ensino Fundamental, a introdução de vários conteúdos nesta coleção é feita por meio de situações-problema, que segundo os autores tem como objetivo
[...] mobilizar o aluno na busca de soluções e motivá-lo para a construção dos conceitos que serão trabalhados e que poderão auxiliá-lo na busca de caminhos para resolver os problemas propostos. (MANUAL DO PROFESSOR, 2010, p.6)
Ainda segundo os autores, além de situações-problema reais e do cotidiano do aluno, os artigos apresentados nos volumes têm como propósito mostrar aos alunos que os conhecimentos matemáticos adquiridos podem ser aplicados em outros campos, estabelecendo o elo entre a Matemática e outras áreas.
A preocupação dos autores é desenvolver no aluno habilidades que possibilitem a competição no mercado de trabalho, assim como adaptação a novas
7 Abordagem espiralada, o que significa dizer que os grandes temas podem aparecer tanto nas séries do Ensino
Fundamental quanto nas do Ensino Médio,sendo que a diferença será a escala de tratamento dada ao tema.(SÃO PAULO, SEE, p.46, 2008a)
profissões, proporcionando-lhes a continuação de seus estudos em cursos tecnológicos ou universitários, além de adquirir uma formação científica geral a partir dos conhecimentos básicos assimilados da Matemática. (MANUAL DO PROFESSOR, p. 8-9)
Referentes aos conteúdos de sistema de equações lineares, os autores abordam o tema no sétimo capítulo do 2º ano do Ensino Médio, após o estudo de Matrizes e anterior aos estudos de áreas de figuras planas.
Para a introdução de sistema de equações lineares os autores retomam todo o conteúdo estudado no Ensino Fundamental, bem como as soluções de uma equação com duas e três incógnitas, os procedimentos de resolução do método de adição, a interpretação e a classificação dos sistemas lineares por meio da representação geométrica, para então iniciar o estudo de sistema de equação linear mxn.
Segundo Iezzi et al. (2010), “um conjunto de m equações lineares e n incógnitas x1,x2,...,xn é chamado sistema linear de m equações e n incógnitas
(p.109)”. E “a sequência de números reais (α1, α2,...,αn) é solução de um sistema linear de n incógnitas quando é solução de cada uma das equações lineares”. (p.110).
Após as definições, os autores propõem o estudo de sistema linear associando a representação matricial, retomando as propriedades de multiplicação de matrizes estudada no capítulo anterior deste volume.
Para a resolução dos exercícios propostos, os autores solicitam ao aluno a verificação se a terna ordenada é a solução das equações lineares, propõem também exercícios que exigem a transcrição de sistemas lineares da representação algébrica para a representação matricial e vice-versa, e ainda, nos últimos exercícios dessa seção, propõem ao aluno encontrar o valor do parâmetro para determinar a solução dos sistemas lineares.
Para iniciar a discussão referente ao método de escalonamento, os autores apresentam dois tipos de sistemas de equações lineares escalonados e suas resoluções. As Figuras 19 e 20 ilustram os exemplos propostos.
Figura 19 - Resolução de sistemas com número de equações igual ao número de incógnitas Fonte: IEZZI et al, 2010, p.112
Figura 20 - Resolução de sistemas com número de equações menor que o número de incógnitas
Observa-se que na Figura 18 os autores apresentam um sistema de equações escalonado do tipo 3x3, isto é, três equações com três incógnitas e definem que nesse tipo de sistema a solução é possível e determinada. Já na Figura 19 o sistema linear é do tipo 3x2, três equações com duas incógnitas. Neste caso colocam as incógnitas x e y em função de z, assim esse sistema tem infinitas soluções, então, um sistema possível e indeterminado.
Na Figura 21 apresentamos os procedimentos realizados pelos autores para resolução de sistemas impossível pelo método de escalonamento.
Figura 21 - Resolução de um sistema impossível Fonte: IEZZI et al, 2010, p.118
Continuando a análise, os autores apresentam um problema, transcrevem da língua materna para a linguagem algébrica e apresentam os procedimentos da resolução. Encerram o estudo de escalonamento apresentando mais quatro exemplos e suas resoluções, sendo dois referentes aos sistemas de equações lineares de soluções possíveis e indeterminados e dois sistemas de equações lineares de soluções impossíveis. E ainda propõem mais dezessete exercícios e um texto a respeito da origem dos determinantes.